简明微积分一阶微分方程ppt课件

1、第二节一阶微分方程与可降阶的第二节一阶微分方程与可降阶的 高阶微分方程高阶微分方程二、齐次型微分方程二、齐次型微分方程一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程三、一阶线性微分方程三、一阶线性微分方程四、可降阶的高阶微分方程四、可降阶的高阶微分方程(1) 0dd, 0)( xyyxFx,y,yF或如果能解出 ，那么xyydd(2) ).,(dd ),(yxfxyyxfy或如果一阶微分方程(2)的右端，)0)( )()( ),(yhyhxgyxf则方程(2)可以表示为)3( d)(d)(xxgyyh一、可分离变量的微分方程一、可分离变量的微分方程.)d()d( )3()3()()(是任意常

2、数其中，的通解便得微分方程式两端同时积分，都是连续函数，将，CCxxgyyhyhxg的形式，则称此一阶微分方程为变量可分离的微分方程.2dd的通解求微分方程xyxy，两端同时积分xxyyd2d ，即，得2112eee| |ln 12xCCxyCxy，或记作21ee xCy.e ,e21xCCyC则有若记例1，原方程分离变量得xxyyd2d 解.0d)1 (d)1 ( 22的通解求微分方程yyxxyx，两端积分，有122d1d1 Cxxxyyy，得两端同除以xxxyyyyxd1d1)1)(1 (2222，积分后得122)1ln(21)1ln(21 Cxy，即表示为把任意常数)0( ln21)1l

3、n(21)1ln(21 ,ln21221CCxyCC).1 (1 22xCy化简得例2，移项得xyxyyxd)1 (d)1 ( 22解.60dcos) 1(dsin2 12的特解条件满足初值求微分方程xyyyxxyx12d12dsincos Cxxxyyy两端积分，有).( sin) 1( 2是任意常数其中化简得所给方程的通解CCyx)ln, 0( ln) 1ln(sinln 12CCCCxy积分后，有例3，由原方程得xxxyyyd12dsincos 2解，即代入通解中，得把初值条件1 ,6sin) 11 ( 621CCyx. 1sin) 1( 2yx值条件的特解为于是，所求方程满足初二、齐次

4、型微分方程二、齐次型微分方程形如 d( )dyyfxx (1) 求解这类方程的方法是：利用适当的变换，化成可分离变量的微分方程.设xyu 那么uxy 故有dd(2)ddyuuxxx的一阶微分方程 称为齐次微分方程.将2代入1得)(ddufxuxu即uufxux)(dd分离变量，得xxuufud1)(d两端积分便可求出通解， 再以xyu 代入便可求出原方程的通解.例4 求微分方程的通解.xyxyxytandd解令xyu 代入方程得tanxuuuu或uxuxtandd分离变量，得 xxuud1dcot或Cxu sin再把xyu 回代，即得原方程的通解为Cxxysin两端积分，得Cxulnlnsin

5、ln例5 求下列微分方程的通解)lnln1(ddxyyxyx解原方程可变形为 )ln1 (ddxyxyxy令xyu 代入方程得(1ln )xuuuu分离变量得xxuuudlnd两端积分得 Cxulnlnlnln即Cxu ln故Cxeu 即得原方程的通解为再把回代xyu Cxxysin形如的方程称为一阶线性微分方程，其中P(x)，Q(x)是连续函数，且方程关于y及 是一次的，Q(x)是自由项.(1) )()(ddxQyxPxyxydd)()(ddxQyxPxy为一阶线性非齐次方程，则称如果0)(xQ三、阶线性微分方程三、阶线性微分方程例如，方程xyxxysin1dd是一阶线性微分方程；而右端 ，

6、因此它是一阶线性非齐次方程.它对应的齐次方程就是0sin)(xxQ，01ddyxxy(2) 0)(ddyxPxy，即如果0)(xQ为一阶线性齐次方程.一阶线性非齐次微分方程的求解步骤如下:1.先求(2) 0)(ddyxPxy的通解：分离变量后得xxPyyd)(d，的形式，得任意常数写成CxxPyClnd)(ln ln而方程xxyyxyyyxxyxln2 ,e)( ,dd222等，都不是线性方程.2.利用“常数变易法求线性非齐次方程(1)的通解：设(4) e )()d(，xxPxCy是方程(1)的解，其中C(x)为待定常数,将(4)式求其对x的导数，得，xxPxxPxCxPxCxy)d()d(e

7、 )()(e )(dd (3) ed)(，xxPCy化简后，方程(2)的通解为其中C为任意常数.化简后，得，xxPxQxCd)(e )()(5) de )()(d)(，CxxQxCxxP将上式积分，得其中C为任意常数.(6) ).de )(ed)(d)(CxxQyxxPxxP把(5)式代入(4)式中，即得方程(1)的通解为代入方程(1)中，得，)(e )()( e )()(e )()d()d()d(xQxCxPxCxPxCxxPxxPxxP.e22dd2的通解求微分方程xxxyxy这是一阶线性非齐次微分方程.，即分方程为原方程所对应的齐次微解法xxyyxyxyd2d , 02dd 1，Cxyl

8、nln 2，由常数变易法得2e )( xxCy.e 2xCy即例1 通过把对应的线性齐次方程的通解中的任意常数变易为待定函数，然后求出线性非齐次方程的通解，这种方法称为常数变易法.，代入原方程得及将2222e2e )(2e )(2e )( ddxxxxxxxCxxCxCxyy，化简得xxC2)( .d2)( 2为任意常数其中，积分得CCxxxxC.e )(22xCxy故得原线性非齐次微分方程的通解为，则22e )(2e )( dd xxxxCxCxy解法2 直接用通解公式(6).，2e2)(,2)(xxxQxxP代入公式(6),Cxxyxxxxxdee2ed2d22得所求线性非齐次方程的通解为

9、Cxxxxxdee2e222. )(ed2e222CxCxxxx.edd的通解求微分方程xxyxyxxxQxxPe)(,1)(代入公式(6),得所求线性非齐次方程的通解为Cxyxxxxxdeeed1d1Cxxxxde1Cxxxxdeeeln1ln0 ),ee(1xCxxxx. 0 ,ee xxCxyxx或写成例2xyxxyxe1dd 0 时，把原方程改写为当解.0)0(1sincos 的特解满足初值条件求微分方程yxyxyxxQxxPsec)(tan)(，代入公式(6),得所求线性非齐次方程的通解为Cxxyxxxxdeseced)tan(d)tan(CxxxxCxxxxdcosseccos1d

10、esececoslncosln例3，把原方程改写为xxyysectan 解.seccos , 00)0(xxxxyCy故得所求特解为代入通解中，得),(cos1dcos1CxxCxx.dd3的通解求微分方程yxyxy对于未知函数x(y为自变量)来说，所给方程就是一阶线性非齐次方程，对未知函数x的一阶线性非齐次方程(8) )()(ddyQxyPyx 1dd23即，yxyyyxyx(7) ,1dd 2yxyyx例4对于未知函数y，它不是线性方程，但是方程可改写为解(9) de )(ed)(d)(CyyQxyyPyyP的通解公式为2)(,1)( yyQyyP方程(7)中， 代入(9)式，即得所求上述

11、方程的通解为Cyyxyyyydeed12d1Cyyyydeeln2ln.2d212CyyCyyyy) 1 ( )()(xfyn（一y(n)=f(x)型的微分方程，两端积分一次，即得1)1(d)( Cxxfyn方程可改写为，或xxfyxfyxnnd)( )(d )()(dd)1()1(再积分一次，得，21)2(d)(CCxxfyn 依次积分n次，得方程(1)的含有n个任意常数的通解.四、可降阶的高阶微分方程四、可降阶的高阶微分方程.sin2的通解求微分方程xxyxCxxyd)cos(12，3221432132cos121 dsin31CxCxCxxCxCxCxxy.,cos121,2321322

12、1411都是任意常数其中，即得记CCCCxCxCxxyCC，213sin31CxCxx例1，次，得对所给方程依次积分三12cosd)sin2( Cxxxxxy解( ,) yf x y(二)型的微分方程(2) ),( yxfy 这是关于变量x和p的一阶微分方程，若能求出其通解，设为 ，即有),(1Cxp，或xCxyCxxyd),(d ),(dd 11.dd , pxpypy则通过变量代换微分方程，),(ddpxfxp代入方程(2)，得.d),( 21CxCxy两端积分，得方程(2)的通解.e1的通解求微分方程xxyxy1d1d1deeeCxxpxxxxx这是一阶线性非齐次方程，利用通解公式，可得例2，代入原方程，得，则设xxpxxpxpypye1dd dd解，)e(de11CxCxxxx1lnlndeeeCxxxxx，)e(dd 1CxxyxxxCxxCxyxxd)e( d)e(11于是有再积分一次，得原方程的通解为2212e ) 1(CxCxx).2( e ) 1(11221CCCxCxx.3 , 1:12002的特解满足初值条件求微分方程xxyyyxxy，两端积