第八章系统的状态变量分析法ppt课件

1、第八章第八章 系统的状态变量分析法系统的状态变量分析法 引言引言 1、 状态：动态系统状态：动态系统t0时刻的状态是描述系统的时刻的状态是描述系统的最少的一组数变量值），它和最少的一组数变量值），它和tt0的输入一起的输入一起决定系统决定系统tt0的响应。的响应。 2、状态变量：表示系统状态的变量。、状态变量：表示系统状态的变量。 3、状态变量分析法的优点：、状态变量分析法的优点： 4、状态矢量：个状态变量组成的、状态矢量：个状态变量组成的维矢量。维矢量。 5、状态空间：状态矢量所在的空间。、状态空间：状态矢量所在的空间。 6、状态轨迹：状态空间中状态矢量的、状态轨迹：状态空间中状态矢量的端点

2、随时间变化而描出的轨迹。端点随时间变化而描出的轨迹。 iL +vc is 1H 1F 1 sclcLscLiViVitutiViEX110111)()(.则状态方程为状态变量和以cLcLViVi1001输出方程)(sin)()()30cos()(1)(23320233222ttuetVtutetittcL解得状态轨迹：状态轨迹：vc 0iL本章重点：本章重点： 1、连续系统状态方程的建立和求解； 2、离散系统状态方程的建立和求解。81状态方程的建立状态方程的建立一、连续系统状态方程的形式：一、连续系统状态方程的形式：状态方程：（状态方程：（n阶系统有阶系统有n个状态变量，设系个状态变量，设系统

3、输入有统输入有m个，输出有个，输出有r个）个）mnmnnnnnnnmmnnmmnnebebxaxaxaxebebxaxaxaxebebxaxaxax.112211212122221212111112121111输出方程：输出方程：mrmrnrnrrrmmnnededxcxcxcyededxcxcxcy.112211111112121111矩阵标准型：矩阵标准型： 状态方程：状态方程： 输出方程：输出方程： EBXAXmnnn EDXCYmrnr 称为系统矩阵矩阵 A二、状态方程的建立：二、状态方程的建立：1、从微分方程到状态方程：、从微分方程到状态方程：1）、直接形式：）、直接形式：2）、并联

4、形式：）、并联形式：3）、级联形式：）、级联形式： （共同点：在模拟框图和信号流图（共同点：在模拟框图和信号流图中，选积分器的输出为状态变量。）中，选积分器的输出为状态变量。）b)、微分方程、微分方程系统函数系统函数流图或框图）流图或框图）状态方程状态方程a)、微分方程、微分方程状态方程状态方程选积分器的选积分器的输出为状态输出为状态变量。变量。E(s)Y(s)11S1S1S1Sb0b2b1bm-a0-an-1-an-2-am-a2-a1ebpebepbepbyapyaypaypmmmmnnn01110111.微分方程微分方程:xn xn-1 xm+1 x3 x2 x11）、直接形式：）、直接

5、形式：21xx 状态方程：状态方程：32xx 43xx .nnxx1)(.12110texaxaxaxnnn输出方程：输出方程：1322110.)(mmxbxbxbxbty)(10.00.1.000.0.1000.010.1211210121texxxxaaaaxxxxnnnnn状态方程的矩阵形式：状态方程的矩阵形式： nmxxbbbbty.0.0.,)(1210ABC 0D当当m=n时：时：E(s)Y(s)11S1S1S1Sb0b2b1bn-a0-an-1-an-2-am-a2-a1xn xn-1 xm+1 x3 x2 x1输出方程：输出方程：nnnnxbxbxbxbxbty1322110.

6、)(状态方程不变。状态方程不变。输出方程：输出方程：)()(.)()()()(11322211100tebxabbxabbxabbxabbtynnnnnnnn称为称为Kalman形式形式1。加加1后，选积后，选积分器的输出为分器的输出为状态变量。状态变量。ebpebepbepbyapyaypaypmmmmnnn01110111.微分方程微分方程:Y(s)x1x211S1S1S1Sb0b2b1bm-a0-an-1-an-2-am-a2-a1E(s)1111xn2111xxaxn状态方程：状态方程：3122xxaxn.)(11tebxxaxmmnmmn)(1111tebxxaxnn.)(010te

7、bxaxn)(.00.0.001.00.0.100.01.011210121121tebbxxxxaaaaxxxxnnnnnn状态方程的矩阵形式：状态方程的矩阵形式： nxxty.0.0 , 0 , 0 , 1)(1ABC 0D当当m=n时：时：选积分器选积分器的输出为的输出为状态变量。状态变量。11S1S1S1Sb0b2b1bn-a0-an-1-an-2-am-a2-a1E(s)1111xnY(s)bn-1)()(1tebxtyn输出方程：输出方程：x1状态方程状态方程:称为称为Kalman形式形式2。)()(112111tebabxxaxnnnn)()(223121tebabxxaxnnn

8、n.)()(11111tebabxxaxnnnn)()(0010tebabxaxnnEx. 1 写出系统的状态方程。写出系统的状态方程。51164)(23sssssH解：解：)(1006115100010321321texxxxxx 321014)(xxxty或：或：)(4100051011016321321texxxxxx 321001)(xxxtyEx. 2 写出系统的状态方程。写出系统的状态方程。423111)(ssssH解：解：)(111400030001321321texxxxxx 321211)(xxxty2）、并联形式：）、并联形式：并联型的状态方程一般形式：并联型的状态方程一般

9、形式：)(1.11.00.0.00.0.212121texxxxxxnn nnxxxkkkty.)(2121niiisksH1)(A为对角阵。为对角阵。115)1(14)1(1231216)3)(2()1(328)(233ssssssssssH当当为重根时为重根时,矩阵出现约当块矩阵出现约当块”。 1/s x1 -2 1 -16 E(s) 1 1/s X2 1 Y(s) -3 15 14 12 1/s 1 1/s 1 1/s X3 -1 -1 -1 Ex. 3543215432154321151412116)()(100111000011000011000003000002xxxxxtytex

10、xxxxxxxxx约当块约当块Ex. 4213411)(sssssH 写出系统的状态方程。写出系统的状态方程。解：解：)(001211031001321321texxxxxx 321100)(xxxty3）、级联形式：）、级联形式：选独立的电容电压、独立的电感电流选独立的电容电压、独立的电感电流为状态变量，依据为状态变量，依据KCL、KVL列方程，列方程，并整理成标准形式。并整理成标准形式。2、从电路得状态方程：、从电路得状态方程：)(2)(3)(521322321311xxxtvxxxtvxxx + - + - 1H x1 1/3H x2 5 0.5F + 1 v1 x3 v2电路如图电路如

11、图.列写状态方程列写状态方程. Ex.21321321003001022330105vvxxxxxx iL +vc is 1H 1F 1 sclcLscLiViVitutiViEX110111)()(.则状态方程为状态变量和以cLcLViVi1001输出方程EX:列状态方程和输出方程e(t)2231H0.5Fx1x2V0V1 12)( 2)321(2221111xVteVxxxxVx 211 0)(0212123 2 1 1210 xxVtexxxxEX:列状态方程和输出方程2221 2121fyyyyfyy吴大正P4318.6(1)22112311332121322211yy : , , ,

12、xxfxxxxxxfxxxyxyxy则设：Ex. 图示系统，列写状态方程和输出方程。图示系统，列写状态方程和输出方程。2F (s )Y (s )x1x21111s31sx 三、离散系统的状态方程和输出方程：三、离散系统的状态方程和输出方程： （阶系统，个输出，个输入。）（阶系统，个输出，个输入。） 状态方程：状态方程： nxb)n(xb)n(a)n(a)n(a) 1n(nxb)n(xb)n(a)n(a)n(a) 1n(mkm11kkkk22k11kkmm1111kk12121111输出方程：输出方程： nxd)n(xd)n(c)n(c)n(c)n(ynxd)n(xd)n(c)n(c)n(c)n

13、(ympm11pkpk22p11ppmm1111kk12121111它同样可以写成矩阵形式：它同样可以写成矩阵形式： XBnA1nmkkk XDnCnYmpkp0)0(DD4Xy)()()()()(4) 1()()() 1(1212211nnynxnnnnnn变量设延时器的输出为状态解:Ex. 图示系统，列图示系统，列写状态方程和输出写状态方程和输出方程。方程。12DDabx1 (n )x2 (n )y (n )12Ex. 图示系统，列写状态方程和输出方程。图示系统，列写状态方程和输出方程。)()()()()()() 1()() 1(21121221nxnnynxnbnannn8-2 状态方程

14、的时域解状态方程的时域解 EBXAXmnnn EDXCYmrnr00X)t (X zsziXXX:解一、求零输入响应：一、求零输入响应：设解的形式为：设解的形式为： 00 XtXXAXzizizi它应该满足原状态方程。它应该满足原状态方程。 0 0XetXttAzi 00 0XetXttAzi 时，当二、状态转移矩阵：二、状态转移矩阵：1、定义：状态转移矩阵： 的矩阵是nntetA 03322!.!.! 3! 2kkkkktAktAktAtAtAtAIe2、状态转移矩阵的性质 ： 单位阵）() 10IeA0)(1!:)2kkktAtAtAtAktAeeee的逆 0 )(0tXttXzi t )

15、BA(t BtAeeethenABBAIff) 3 AeeAedtd)4tAtAtA 1tAtA1At0A)Ie()Ie(Ade)53 、求状态转移矩阵：1) 用定义。 00 0 0 0 00 0 0 A:A21n为对角阵时，即当 00 0 0 0 00 0 0 (t)e n21Atttteee由定义可得： 2用有限幂级数求解 The Cayley-Hamilton Theorem卡雷哈密尔顿定理） 定义矩阵特征多项式(特征方程）： 它的根i称为矩阵的特征值特征根）。 detIAIAq且特征多项式可写为：且特征多项式可写为： in0iicq定理一：任何方阵都满足其本身的定理一：任何方阵都满足其

16、本身的特征多项式。即：特征多项式。即： iniininiiAcAAcAq :0 100或）（定理二：定理二：f(A)是是n阶方阵的函数，则阶方阵的函数，则f(A)可可以写为：以写为： i1 -n0iiAcAf求出系数求出系数i代入上式，可求出状态转移矩阵。代入上式，可求出状态转移矩阵。 1122101 -n0iic c)(nnitAAcAcAcIAet则：11101 -n0iiccnknkiktccek由下式求由下式求求求ci :定理的应用：定理的应用： 当特征值为单根：当特征值为单根：1nn1n2n2n10t1n21n222210t1n11n212110tccccecccceccccen21

17、当特征值为重根：当特征值为重根：(1为为m阶重根阶重根)mnn1n211m1m1mt1mt1m11m2n11n121tt11n11n212110tc!mn!1nc! 2!1mc!mc!1metedd1ncc2cteeddcccce11111Ex. 1 5610A求状态转移矩阵。求状态转移矩阵。解：求特征值：解：求特征值：0655612AI32103102cceccett得方程：得方程：解得：解得：tttteeceec32132023 tttttttttAeeeeeeeeAcIce3232323210326623Ex. 2 210010001A求状态转移矩阵。求状态转移矩阵。解：求特征值：解：求

18、特征值：0)2() 1(2100100012AI2;132 . 1210221210422cccecctecccettt得方程：得方程：解得：解得：tttttttteeteceetecetec2221202232 ttttttAeeeeeAcAcIce22221000000状态转移矩阵为：状态转移矩阵为：总结：系统的零输入响应为：总结：系统的零输入响应为： 0 )(0tXttXzi 0 )(0tXtCtYzi三、求零状态响应：三、求零状态响应：设零状态响应为：设零状态响应为： tzetX0ttAzs dEBetztttA00注意：注意： 0tX0zs EBXAXzszs 所以得系统的零状态响应

19、：所以得系统的零状态响应： 0 t0ttEBedEBetXtAtttAzs总结：系统的零状态响应为：总结：系统的零状态响应为： 0t t)() B ( ) )( (tEeE(t)BttXtAzs 0t t)()()(C )()(tEtDBttEDtXCtYzszs定义系统的冲激响应矩阵为：定义系统的冲激响应矩阵为： )()(C tDBtth四、全响应：四、全响应： 状态变量：状态变量：也可以写为：也可以写为： tEBeXedEBeXetXtA0)tt (AtttA0)tt (A000 tEBtXtttX00 tEBtXttXt）（时当 000系统输出的完全响应：系统输出的完全响应： 零状态响应

20、零输入响应 )(00tEtDBtCXttCtY 零状态响应零输入响应时当 ) (:000tEtDBtCXtCtYtEx. 3 电路如图。求电容电压和电感电电路如图。求电容电压和电感电流的单位阶跃响应。流的单位阶跃响应。解：解：1、列方程：、列方程：LcLLccivdtditeivdtdv)(2、求状态转移矩阵：、求状态转移矩阵：j 12, 1 1 iL 1H +vc 1F 1 -e(t)-jcceejcceejttjtt111010解得：解得：tecttecttsinsincos10 teteteteAcIcetttttAcossinsincos103、求阶跃响应：、求阶跃响应： tBtivt

21、ivLcLc*0)0( tttetttedtedtettetettetetetetttttttttt)cos(sin121)cos(sin121) ( sin) ( cos *sincos*01cossinsincos 0 0 已知矩阵已知矩阵A(t) 零输入响应和零状态零输入响应和零状态响应响应 0 )(XttXzi 0 )(XtCtYzi E(t)BttXzs) )( ( )()(tEDtXCtYzszs zszizsziYYYXXX ，已知已知(t) A： 0)(tdttdAEX： A 2)(22)(2222求tttttttteeeeeeeet8-3 状态方程的频域解状态方程的频域解 E

22、BXAXmnnn EDXCYmrnr0)0(XX对状态方程两边同时进行对状态方程两边同时进行Laplace变换，有：变换，有： sEBsXAXsXs0移项整理得：移项整理得： sEBXsXAIs 0解得：解得： 01sEBXAIssX逆变换可解得状态变量。逆变换可解得状态变量。 sEBAIsXAIssEBXAIssX10101 与前面时域解比较：与前面时域解比较： tEBtXttX）（ 0 tEtDBtCXtCtY) (0 sEDBAIsCXAIsCsY 101对状态转移矩阵有：对状态转移矩阵有： 1 AIssettA在频域，系统的输出为：在频域，系统的输出为： sEDBAIsCXAIsCsY

23、 101 应零输入响应零状态响 )( )( 0sEBsXssX 1 AIss总结：总结： 状态响应零输入响应零 )( )(0sEDBsCXsCsY其中，零状态响应为：其中，零状态响应为： DBsCsH)( sEDBsCsY)(根据系统函数的定义，系统函数矩阵定义为：根据系统函数的定义，系统函数矩阵定义为：反变换得冲激响应矩阵：反变换得冲激响应矩阵： tDBtCth)( sEsHsYzs )( tethtyzs )(连续系统的稳定性：连续系统的稳定性： 0AsI转移函数分母的特征多项式为：转移函数分母的特征多项式为：该方程的根在该方程的根在S平面上的位置决定了系统平面上的位置决定了系统的稳定性。

24、根在左半平面系统稳定。的稳定性。根在左半平面系统稳定。Ex. 电路如图。求电容电压和电感电流电路如图。求电容电压和电感电流为输出的为输出的H(s)、h(t)和和g(t)。 1 x2 1H +x1 1F e1 1 e2 解：解：1、列方程：、列方程：221221211)()(exxdtdxtetexxdtdx2、求状态转移矩阵：、求状态转移矩阵：1111ssAsI111111121sssAsItetetetetttttcossinsincos)(3、求传输函数矩阵H(s): DBsCsH)(C为单位阵，为单位阵，D=0。 1011B tDBtCth)(1) 1(1) 1(11) 1(21) 1(

25、110111) 1(11) 1(11) 1(11) 1(1)(22222222ssssssssssssssH4、求冲激响应矩阵h(t): tttetettetethtttt)sin(cossin)sin(coscos)(5、求阶跃响应g(t):1) 1(11) 1(1111) 1(1) 1(11) 1(21) 1(1)( )()(222222sssssssssssssssEsHsG tttettetgtt)sin(cos2121)sin(cos2121)(8-4 离散状态方程的解离散状态方程的解 一、时域解的一般形式： )() (0 ) 1()( 0) 1()1( 01101 10 nXBAA

26、nixBAAninxBAAnnnniinnniin XDnCnY nXDnixBACACnXDnCnyniinn) 1()(0101 nA怎么求？怎么求？二、状态转移矩阵：二、状态转移矩阵： nAn 求法：求法： 11221010c nnniiinAcAcAcIAcA单根时：单根时：1kk1k2k2k10nk1k21k222210n21k11k212110n1cccccccccccc定出系数，求出状态转移矩阵。定出系数，求出状态转移矩阵。iAI特征值特征多项式：0重根时：重根时：(1为为m阶重根阶重根) mk11k211m1m1m1mn1n11m11m2k11k1211n1n111k11k21

27、2110n1c!mk!1kc!2!1mc!mc!1m!1mn!ndd1kcc2cnddccccEx. 1 5610A求状态转移矩阵。求状态转移矩阵。解：求特征值：解：求特征值：0655612AI33221010ccccKK得方程：得方程：解得：解得：KKKKcc)3()2()3(2)2(310 KKKKKKKKKAcIcA)3(3)2(2)3(6)2(6)3()2()3(2)2(310DD4Xy)()()()()(4) 1()()() 1(1212211kkykxkkkkkk)(变量设延时器的输出为状态Ex. 2 图示系统，列图示系统，列写状态方程和输出方写状态方程和输出方程并求解。程并求解。

28、x(k)=u(k)12 110解：解：2. 求状态转移矩阵。求状态转移矩阵。03214112AI 11331010ccccKK得方程：得方程：) 1()3(41) 1(43)3(4110KKKKcc KKKKKKKKKAcIcA) 1(21)3(21) 1()3() 1()3(41) 1(21)3(2110解得：解得：3. ) 1()1(010kuikxBAAkkiik10 ) 1() 3(21 ) 1( ) 3(41) 1(21) 3(23) 1(41) 3(43kiiiiiKKKKKKKK) 1(43)3(4741) 1(83)3(87 kky1)( ) 1()(0)( )() 1(0)(

29、kxBkkkxBkkk )() 1(0)(kxDBkCkCkY总结：总结：三、状态方程的频域解：三、状态方程的频域解： 0mpkpmkkk)0(XD)n(C)n(YXB)n(A) 1n(方程两边同时取变换：方程两边同时取变换： zXD)z(C)z(YzXB)z(A0z)z(z zXDBAIzCzAIzCzYzXBzAIzz1110)(0)(状态转移矩阵：状态转移矩阵： zAIzzAn1)( 注意注意 zXBzzzz)(0)()( zXDBzzCzCzY)(0)()( )()()(zYzYzYzszi )()()()()(zXzHzXDBzzCzYzs四、传输函数矩阵和单位样值响应矩阵：四、传输

30、函数矩阵和单位样值响应矩阵： )() 1()()()()(111nDnuBACnhzHZnhDBAIzCzHn或 zXzHzCzY)(0)()(离散系统的稳定性：离散系统的稳定性： 0AzI转移函数分母的特征多项式为：转移函数分母的特征多项式为：该方程的根在该方程的根在Z平面上的位置决定了系统平面上的位置决定了系统的稳定性。根在单位圆内系统稳定。的稳定性。根在单位圆内系统稳定。DD4Xy)()(01)()(10)()(1411) 1() 1(212121kkkykxkkkkEx. 2 图示系统，求图示系统，求状态转移矩阵、传输状态转移矩阵、传输矩阵和全响应。矩阵和全响应。x(k)=u(k)12

31、 110解：解： zAIzAk1) 1)(3(1411141111zzzzzzzzAzIz15 . 035 . 013125. 0325. 015 . 035 . 0zzzzzzzzzzzzzzzz kAkkkkkkkkk) 1()3(5 . 0) 1()3() 1()3(25. 0) 1()3(5 . 0 DBAIzCzH1)() 1)(3(1 10) 1)(3(1 ) 1)(3(4) 1)(3(1 ) 1)(3(10 1)(zzzzzzzzzzzzzH零输入响应：零输入响应： 0kkzi kkkkkkkkkkkkkkzi) 1(21) 3(23) 1(41) 3(4311) 1() 3(5 . 0) 1() 3() 1() 3(25. 0) 1() 3(5 . 0零状态响应：零状态响应： 11015 . 035 . 01131125. 0325. 015 . 035 . 0zzzzzzzzzzzzs141341181141381zzzzzzzzzz zXBzzzzs)()( kkkkkkz