第18章一元二次方程及其解法

1、第18章 一元二次方程及其解法回顾与思考1一元二次方程的定义及其一般形式(1)定义：只含有 未知数，未知数的最高次数是 ，且系数不为 0的 方程叫一元二次方程(2)一般形式： (3)若x1，x2是关于x的方程ax2+bx+c=0的两根，则ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0反之，若ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0，且x1x2，则x1，x2是关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的两根2一元二次方程的解法(1)解一元二次方程的基本思路是：将二次方程化成一次方程，即降次(2)解一元二次方程的方法： 、 、 、 直接开平方法：适合于解形如x2=p(p0)或(mx+n

2、)2=p(p0)得方程，根据平方根的意义，开平方得x= 或mx+n= 配方法：配方法是一种以配方为手段，以开平方为基础的一种解一元二次方程的方法用配方法解一元二次方程ax2bx+c=0(a0)的一般步骤是：一化：化二次项系数为1，即方程两边同除以二次项系数；二移：使方程的左边为二次项和一次项，右边为常数项；三配：方程两边都加上一次项系数的绝对值一半的平方；四变：化原方程为(x+m)2=n的形式；五开：如果n0就可以用两边开平方来求出方程的解；如果n0，则原方程无解公式法：公式法是用求根公式求出一元二次方程的解的方法它是通过配方推导出来的一元二次方程ax2bx+c=0(a0)的求根公式是x= 公

3、式法的步骤是：一化：化原方程为一般形式；二算：确定a、b、c的值，并计算b24ac的值；三代：在b24ac0的情况下，把a、b、c的值代入求根公式求解因式分解法：用因式分解的方法求一元二次方程的根的方法叫做因式分解法它的理论根据是两个因式中至少要有一个等于0，因式分解法的步骤是：一移：将方程右边化为0；二分：将方程左边分解为两个一次因式的乘积；三化：令每个因式等于0，得到两个一元一次方程，四解：解这两个一元一次方程，它们的解就是原一元二次方程的解(3)选择合适的方法解一元二次方程一般地，当一元二次方程一次项系数为0时，即ax2+c=0，应选用 法；若常数项为0，即ax2+bx=0，应选用 法；

4、若一次项系数和常数项都不为0 ，即ax2+bx+c=0，先化为一般形式，看一边的整式是否容易因式分解，若容易，宜选用 法，不然选用 法；不过当二次项系数是1，且一次项系数是偶数时，用 法也较简单公式法虽然是万能的，对任何一元二次方程都适用，但不一定是最简单的，因此在解方程时我们首先考虑能否应用“直接开平方法”、“因式分解法”等简单方法，若不行，再考虑公式法（适当也可考虑配方法）方程中有括号时，应先用整体思想考虑有没有简单方法，若看不出合适的方法时，则把它去括号并整理为一般形式再选取合理的方法。3换元法”是一种重要的数学方法，它可以把较复杂的问题转化为较简单的问题去解决。在解高次方程、分式方程、

5、无理方程的过程中都可以应用换元方法，其要点是把方程中的一些表达形式相同的部分看成一个整体并设新的字母表示，从而达到化简方程并把原方程化归为已经会解的一元一次或一元二次方程的目的。方法与技能【例1】(1)方程(m+2)x|m|+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，求m的值(2)关于x的一元二次方程(a1) x2+x+a 21=0的一个根为0,则求a的值【例2】(1)用直接开平方法解下列方程：(2x1)2=9 9(6x4)296=0(2)用配方法解下列方程：2x24x+5=0 3x25x2=0(3)用公式法解下列方程：2x2=3x+2 3x(3x2)+1=0(4)用因式分解法解下列方程：(x+1

6、)(x3)=5 (2x+3)22(2x+3)=8【例3】(1)你能用配方法求代数式3x2+6x5的最小值吗？(2)求证：无论x为任何实数，代数式3x25x+4的值恒大于x2+2x3的值【例4】用适当的方法解下列方程：(1)(x3)2+2x(x3)=0 (2)4(x1)2=9(2x+3)2 (3)(2x1)29=2(x+1)2【例5】阅读材料，解答问题： 为解方程(x21)25(x21)+4=0，我们可以将x2l看作一个整体，然后设x2l=y，那么原方程可化为y25y4=0，解得y1 =1，y2=4当y1=l时， x2l=1所以x2 =2所以x=±；当y=4时，x21=4所以x2 =5

7、所以x=±,故原方程的解为x1=，x2= ，x3=，x4=；上述解题过程，在由原方程得到方程的过程中，利用换元法达到了降次的目的，体现了转化的数学思想请利用以上知识解方程：(1)(x2+1)2=x2+3 (2) ()23()10=0 (3) x4x26 0演练与反馈一、慎重抉择(每小题3分，共30分)1方程2x2=3(x6)化为一般形式后二次项系数、一次项系数和常数项分别为（ ） A2，3，6 B2，3，18 C2，3，6 D2，3，62已知关于x的方程(a21)x2+(1a)x+a2=0，下列结论正确的是（ ）A当a±1时，原方程是一元二次方程 B当a1时，原方程是一元二

8、次方程C当a 1时，原方程是一元二次方程 D原方程是一元二次方程3解方程(x+a)2=b得（ ） Ax=±a Bx=±a+ C当b0时，x=a± D当a0时，x=a±4将二次三项式x24x+1配方后得（ ） A(x2)2+3 B(x2)23 C(x+2)2+3 D(x+2)235若x24x+p=(x+q)2，那么p、q的值分别是（ ） Ap=4，q=2 Bp=4，q= 2 Cp= 4，q=2 Dp= 4，q= 26解方程(x+5)23(x+5)=0较简便的方法是（ ）A直接开平方法 B因式分解法 C配方法 D公式法7如果分式的值为0,则x值为（ ）A3或

9、1 B3 C1 D1或38三角形两边的长是3和4，第三边的长是方程x212x+35=0的根，则该三角形的周长为（ ）A14B12C12或14D以上都不对9如果关于x的方程x2k2+16=0和x23k12=0有相同的实数根,那么k的值是( )A. 7 B7或4 C4 D410方程x24x+3=0的解是( )Ax=±1或x=±3 B.x=1和x=3 C.x= 1或x=-3 D.无实数根二、仔细填空(每小题4分，共20分)11关于x的方程(mn)x2+mx+m=0，当m、n满足_时，是一元一次方程；当m、n满足_时，是一元二次方程12(1)x2+3x+ =(x+ )2； (2)x

10、2x+ =(x )2.13已知y1=x29,y2=3x,当x= 时，y1=y214若(x+y)(x+y+2)=8，则x+y= 15一个小球垂直向上抛的过程中，它离上抛点的距离h（m）与抛出后小球运动的时间t(s)有如下关系：h=24t5t2。经过 秒后，小球离上抛点的高度是16m三、知识理解(每小题6分，共12分)16用配方法解下列方程：(1)x2+15=10x (2) 2x25x2=0 (3)3x2+4x+1=017用适当的方法解下列方程：(1)(3x)2+x2=9 (2) 2(x5)2=x(x5) (3)(2x3)2=9(2x+3)2四、技能掌握(每小题6分，共12分)18解关于x的方程：(1)mnx2(m2+n2)x+mn=0(mn0,m2>n2) (2)()2+5()+6=019已知: (a2+b2)(a2+b23)=10 ，求a2+b2 的值五、问题解决(每小题8分，共16分)20若规定两数a、b通过运算得4ab，即ab=4ab。如26=4×2×6=48(1)求35的值；(2)若xx+2x24=0，求x的值；(3)若无论x 是什么数, 总有a x = x , 求a 的值.21.阅读下列材料：关于x的方程：x+=c+的解为x1=c，x2=；x+=c+的解为x1=c，x2=；x+=c+的解为x1=c，x2=；(1)