第2讲.全等三角形辅助线--旋转与平移_图文

1、 三角形全等辅助线旋转与平移共同的特点：都有长度相等，且有一端点重合的线段中点旋转： A'CB等腰直角三角形, 等边三角形旋转 CBAEBA正方形旋转 FDCFEDCBA 【精选例题】旋转 中点类【例1】 以ABC 的两边AB 、AC 为腰分别向外作等腰R t A B D 和等腰R t A C E ，90BAD CAE =连接DE ，M 、N 分别是BC 、DE 的中点探究：AM 与DE 的位置关系及数量关系（1）如图 当ABC 为直角三角形时，AM 与DE 的位置关系是 ；线段AM 与DE 的数量关系是 ； （2）将图中的等腰Rt ABD 绕点A 沿逆时针方向旋转 (090<&

2、lt; 后，如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由 【例2】 （顺义区2009一模第25题）已知：在Rt ABC 中，AB BC =，在Rt ADE 中，AD DE =，连结EC ，取EC 的中点M ，连结DM 和BM 若点D 在边AC 上，点E 在边AB 上且与点B 不重合，如图，探索BM 、DM 的关系并给予证明；图1ABCDEM 如果将图中的ADE 绕点A 逆时针旋转小于45的角，如图，那么中的结论是否仍成立？如果不成立，请举出反例；如果成立，请给予证明图2MEDCBA 【例3】 在四边形ABCD 中，设M , N 分别为CD , AB 的中点，求证(12MN AD

3、BC +，当且仅当AD BC 时等号成立N MDCBA【例4】 如图所示，在ABC 的AB 边上取两点E 、F ，使AE BF =，连接CE 、CF ，求证：AC BC +>EC FC +CBA O E F对角互补类【例5】 如图，90ABC =，BD 为ABC 的角平分线，将一三角板的直角顶点固定在点D ，另外两边分别交AB ，BC 于E ，F 两点，证明：DE DF =EDAB C 【例6】 如图，120ABC =，BD 为ABC 的角平分线，60DEF =且角的两边分别交AB ，BC 于E ，F 两点，证明：DE DF =ABCD【例7】 如图，在四边形ABCD 中，90ADC A

4、BC =，AD CD =，DP AB 于P ，若四边形ABCD的面积为18，求DP 的长PDCBA【例8】 直角三角形ABC 中9068A AB BC =，；P 为BC 的中点，ABC 绕着点P 逆时针旋转90到DEF ，求重叠部分PQKR 的面积 【例9】 已知，在四边形ABCD 中，90ABC ADC =，对角线AC 平分BAD ，在DA 的延长线上任取一点E ，连接EC ，作12ECF BCD =，使CF 与AB 的延长线交于F ，连结EF ，请画出完整图形，探究：线段BF 、EF 、ED 之间具有怎样的数量关系，并说明理由 DCBA【例10】 （1）如图1，四边形ABCD 中，AB C

5、B =，60ABC =，120ADC =，请你猜想线段DA 、DC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论；图1DBA（2）如图2，四边形ABCD 中，AB BC =，60ABC =，若点P 为四边形ABCD 内一点，且120APD =，请你猜想线段PA 、PD 、PC 之和与线段BD 的数量关系，并证明你的结论P图2DC BA 平移【例11】 如图所示，在ABC 中，90B =，M 为AB 上的一点，且AM BC =；N 为BC 上的一点，且CN BM =连接AN 、CM 交于点P ，求证：45APM =PN M CBA【例12】 (07年北京中考 如图，已知ABC 请你在BC 边上分别

6、取两点D 、E (BC 的中点除外 ，连结AD 、AE ，写出使此图中只存在两对面积相等的三角形的相应条件，并表示出面积相等的三角形； CB A请你根据使成立的相应条件，证明AB AC AD AE +>+ DE CB A 【例13】 如图14-1，ABC 的边BC 在直线l 上，AC BC ，且AC BC =；EFP 的边FP 也在直线l 上，边EF 与边AC 重合，且EF FP =（1）在图14-1中，请你通过观察、测量，猜想并写出AB 与AP 所满足的数量关系和位置关系；（2）将EFP 沿直线l 向左平移到图14-2的位置时，EP 交AC 于点Q ，连结AP ，BQ 猜想并写出BQ

7、与AP 所满足的数量关系和位置关系，请证明你的猜想；（3）将EFP 沿直线l 向左平移到图14-3的位置时，EP 的延长线交AC 的延长线于点Q ，连结AP ，BQ 你认为（2）中所猜想的BQ 与AP 的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由 A （E ）B C （F ） PlllB FC 图14-1图14-2图14-3 平移加旋转【例14】 如图，已知E 是正方形ABCD 的边AB 的中点，B 的外角CBG 的平分线BF 交DE 的垂线EF于F 。（1）DE 与EF 是什么关系？（不用证明） （2）若E 为AB 上的任意一点（点A 、B 除外），结论（1）还成立吗

8、？若成立，给出证明，若不成立，请说明理由。 【例15】 (2004年全国初中数学联赛 如图，梯形ABCD 中，AD BC ，以两腰AB ，CD 为一边分别向两边作正方形ABGE 和DCHF ，连接AD 的垂直平分线l 交线段EF 于点M 求证：点M 为EF 的中点MlHFDEBA 旋转不变性08年北京中考真题1. 中点倍长 08年宣武二模25已知正方形ABCD 和等腰Rt BEF ，BE=EF，BEF=90，按图1放置，使点F 在BC 上，取DF 的中点G ，联结EG 、CG.（1）探索EG 、CG 的数量关系和位置关系并证明；（2）将图1中BEF 绕B 点顺时针旋转45，再联结DF ，取DF

9、 中点G （如图2），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论；（3）将图1中BEF 绕B 点转动任意角度（旋转角在0到90之间），再联结DF ，取DF 的中点G （如图3），问（1）中的结论是否仍然成立？证明你的结论.图1 图图3D A G F E C B G FE C B A D D G FE C B A 2. 旋转拼凑09崇文一模 08朝阳一模 探究操作题（江苏盐城）如图甲，在ABC中，ACB为锐角点D 为射线BC 上一动点，连接AD ，以AD 为一边且在AD 的右侧作正方形ADEF 解答下列问题：（1）如果AB=AC，BAC=90º当点D 在线段BC 上时（与点B 不重合）

10、，如图乙，线段CF 、BD 之间的位置关系为 ，数量关系为 当点D 在线段BC（2）如果ABAC，BAC90º，点D 在线段BC 上运动试探究：当ABC满足一个什么条件时，CFBC（点C 、F 重合除外）？画出相应图形，并说明理由（画图不写作法）（3）若AC BC=3，在（2）的条件下，设正方形ADEF 的边DE 与线段CF 相交于点P ，求线段CP 长的最大值A B C E F 第28题图 图甲 图乙 F E A E C B 图丙 08年门头沟二模25. 如图，把一副三角板如图1放置，其中ACB=DEC=90°，A=45°，D=30°，斜边AB=6cm

11、，DC=7cm，把三角板DCE 绕点C 顺时针旋转15得到D/CE/如图2这时AB 与CD/相交于点O ，D/E/与AB 相交于点F （1）求OFE/的度数； （2）求线段AD/的长 （3）若把三角形D/CE/绕着点C 顺时针再旋转30 得D/CE/，这时点B 在D/CE/的内部、外部、还是边上？证明你的判断A C E 图1 图108东城一模25已知ABC 中，AB=AC=3,BAC=900,点D 为BC 上一点，把一个足够大的直角三角板的直角顶点放在D 处.（1）如图1，若BD=CD, 将三角板绕点D 逆时针旋转，两条直角边分别交AB 、AC 于点E 、点F, 求出重叠部分AEDF 的面积（

12、直接写出结果）；（2）如图2，若BD=CD, 将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AB 于点E 、另一条直角边交AB 的延长线于点F, 设AE x ，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出 y 与x 的函数关系式, 并写出自变量x 的取值范围；（3）若2BD CD =, 将三角板绕点D 逆时针旋转，使一条直角边交AC 于点F 、另一条直角边交射线AB 于点E ，设CF=(1 x x >，两块三角板重叠部分的面积为y ，求出 y 与x 的函数关系，并写出自变量x的取值范围 08年石景山二模25我们做如下的规定：如果一个三角形在运动变化时保持形状和大小不变，则把这样的三角形称为三角形板.

13、把两块边长为4的等边三角形板ABC 和DEF 叠放在一起，使三角形板DEF 的顶点D 与三角形板ABC 的AC 边中点O 重合，把三角形板ABC 固定不动，让三角形板DEF 绕点O 旋转，设射线DE 与射线AB 相交于点M ，射线DF 与线段BC 相交于点N （1）如图1，当射线DF 经过点B ，即点Q 与点B 重合时，易证ADM CND 此 时，AM ·CN= （2）将三角形板DEF 由图1所示的位置绕点O 沿逆时针方向旋转，设旋转角为其中090<< ，问AM ·CN 的值是否改变？说明你的理由（3）在（2）的条件下，设AM= x，两块三角形板重叠面积为y ，

14、求y 与x 的函数关系式（图2，图3供解题用）图2图3图1AB CMND(OAMNEFEA 线段和差问题 08海淀一模25已知：如图，一块三角板的直角顶点P 放在正方形ABCD 的AB 边上，并且使一条直角边经过点C ，三角板的另一条直角边与AD 交于点Q （1）请你写出此时图形中成立的一个结论（任选一个）； （2）当满足什么条件时，有AQ+BC=CQ，请证明你的结论；（3）当点Q 在AD 的什么位置时，可证得PC=3PQ，并写出解答过程等分面积题08石景山一模25阅读下面问题的解决过程： 问题解决：如图，已知四边形ABCD ，过点B 作一直线 （不必写作法），使其等分四边形ABCD 的面积，

15、并证明A B CDP 新定义型（07北京中考真题）我们知道：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形，类似地，我们定义：至少有一组对边相等的四边形叫做等对边四边形. （1）请写出一个你学过的特殊四边形中是等对边四边形的图形的名称；（2）如图，在ABC 中，点D 、E 分别在AB 、AC 上，设CD 、BE 相交于O ，若60A =，12DCB EBC A =，请你写出图中一个与A 相等的角，并猜想图中哪个四边形是等对边四边形；（3）在ABC 中，如果A 是不等于60º的锐角，点D 、E 分别在AB 、AC 上，且12DCB EBC A =，探究：满足上述条件的图形中是否存在等对边四边形，并

16、证明你的结论.08 年房山二模 七、解答题（本题满分 7 分）23四边形一条对角线所在直线上的点，如果到这条对角线的两端点的距 离不相等，但到另一对角线的两个端点的距离相等，则称这点为这个四边形的准等距点如图 l，点 P 为四边形 ABCD 对角线 AC 所在直线上的一点，PD=PB，PAPC，则点 P 为四边形 ABCD 的准等距点 (1如图 2，画出菱形 ABCD 的一个准等距点 (2如图 3，作出四边形 ABCD 的一个准等距点 (尺规作图，保留作图痕迹，不要求写作法 (3如图 4，在四边形 ABCD 中，P 是 AC 上的点，PAPC，延长 BP 交 CD 于点 E，延长 DP 交 BC 于点 F， 且CDF=CBE，CE=CF