第9章弹性杆件横截面上的切应力分析习题解

1、工程力学（1）习题全解第9章 弹性杆件横截面上的切应力分析91 扭转切应力公式()=Mx/Ip的应用范围有以下几种，试判断哪一种是正确的。（A）等截面圆轴，弹性范围内加载；（B）等截面圆轴；（C）等截面圆轴与椭圆轴；（D）等截面圆轴与椭圆轴，弹性范围内加载。正确答案是。 解：()=MxIp在推导时利用了等截面圆轴受扭后，其横截面保持平面的假设，同时推导过程中还应用了剪切胡克定律，要求在线弹性范围加载。92 两根长度相等、直径不等的圆轴承受相同的扭矩受扭后，轴表面上母线转过相同的角度。设直径大的轴和直径小的轴的横截面上的最大切应力分别为1max和2max，切变模量分别为G1和G2。试判断下列结论

2、的正确性。（A）1max2max；（B）1max2max；（C）若G1G2，则有1max2max；（D）若G1G2，则有1max2max。正确答案是解：因两圆轴等长，轴表面上母线转过相同角度，指切应变相同，即1=2=由剪切胡克定律=G知G1>G2时，1max>2max。93 承受相同扭矩且长度相等的直径为d1的实心圆轴与内、外径分别为d2、D2(=d2/D2)的空心圆轴，二者横截面上的最大切应力相等。关于二者重之比（W1/W2）有如下结论，试判断哪一种是正确的。（A）(14)2；（B）(14)3(12)；（C）(14)(12)；（D）(14)2/(12)。正确答案是。解：由1max

3、=2max得16Mx3d1=16Mx3D2(14)（1）（2） d 即 1=(14)3 D2W1A1d12 =2W2A2D2(12)1（1）代入（2），得W1(14)= W2194 由两种不同材料组成的圆轴，里层和外层材料的切变模量分别且G1 = 2G2。圆轴尺寸如为G1和G2，图所示。圆轴受扭时，里、外层之间 44 习题9-4图无相对滑动。关于横截面上的切应力分布，有图中所示的四种结论，试判断哪一种是正确的。 正确答案是解：因内、外层间无相对滑动，所以交界面上切应变相等1=2，因G1=2G2，由剪切胡克定律得交界面上：1=22。95图示实心圆轴承受外扭转力偶，其力偶矩T = 3kN·

4、;m。试求： 1轴横截面上的最大切应力；2轴横截面上半径r = 15mm以内部分承受的扭矩所占全部横截面上扭矩的百分比； 3去掉r = 15mm以内部分，横截面上的最大切应力增加的百分比。MxTT3×103×16= 解：11max=70.7MPa WPWPd3×0.06316rMx2Mxr42 Mr=dA= 2d=A10IpIp4Mrr4r42216r41541=16×(=6.25% Mx4Ip6016d4d4432MT3 2max=x=75.4MPaWp14d31()216习题9-5图=2max1max=1max1441()41=2=6.67%4151

5、(296 图示开口和闭口薄壁圆管横截面的平均直径均为D、壁厚均为，横截面上的扭矩均为T = Mx。试：1证明闭口圆管受扭时横截面上最大切应力max2MxD23Mx习题9-6图2证明开口圆管受扭时横截面上最大切应力maxDDdA=D A222Mx=2Mx2 即：max=DD22D3画出两种情形下，切应力沿壁厚方向的分布。 解：1Mx=max2由课本（818）式 max=3Mxhb2=3MxD2=3Mx2Dmax(a-1) (a-2) (b-1) (b-2)97 由同一材料制成的实心和空心圆轴，二者长度和质量均相等。设实心轴半径为R0，空心圆轴的内、外半径分别为R1和R2，且R1/R2 = n，二

6、者所承受的外扭转力偶矩分别为Ts和Th。若二者横截面上的最大切应力相等，试证明：Tsn2=Th1+n2解：由已知长度和质量相等得面积相等： 4522R0=(R2R12)（1）（2）max= max=Tsd316=TsR302Th(2R2)3(1n4)16（3）由（2）、（3）式TsR3=304 （4） ThR2(1n)22由（1） R0=R2R12 代入（4）Ts=Th222(R2R1)3R2(1n4)=(122n)1n4=(1322n)(1n2)(1+n2)=n21+n298 直径d = 25mm的钢轴上焊有两个凸台，凸台上套有外径D = 75mm、壁厚=1.25mm的薄壁管，当杆承受外扭转

7、力遇矩T = 73.6N·m时，将薄壁管与凸台焊在一起，然后再卸去外力偶。假定凸台不变形，薄壁管与轴的材料相同，切变模量G = 40MPa。试： 1分析卸载后轴和薄壁管的横截面上有没有内力，二者如何平衡？ 2确定轴和薄壁管横截面上的最大切应力。 解：设轴受T = 73.6N·m时，相对扭转角为0 且d0T= （1） dxGIp1T撤消后，管受相对扭转角2，则轴受相对扭转角1=02，此时轴、管受扭矩大小相等，方向相反，整个系统平衡。 1+2=0 （2）TlMlMl=x+x GIp1GIp1GIp2Ip2Ip1+Ip2习题9-8图（3） （4） Mx=MxMx=T （5）（6）

8、(a)hmax= Ip1 Ip2Ip2MxTTD=Wp2Ip1+Ip2Wp2Ip1+Ip22d4=(25)4×1012=38349.5×10123232D4=32D24×7541(D)=3272.54412121(75×10=393922×10m 将Ip1、Ip2值代入（6）得 管：hmax轴：smax75×1032=6.38MPa(38349.5+393922)×101273.6×25×393922×103Ip2TMxdd2=21.86 MPaIp12Ip1(Ip1+Ip2)2(38349.5

9、+393922)×38349.5×101273.6×*/(bIz)应用于实心截面的条件，有下列论述，试分析 99 关于弯曲切应力公式=FQSz哪一种是正确的。（A）细长梁、横截面保持平面； 46 （B）弯曲正应力公式成立，切应力沿截面宽度均匀分布；（C）切应力沿截面宽度均匀分布，横截面保持平面；（D）弹性范围加载，横截面保持平面。正确答案是 B 。*bIz)推导时应用了局部截面的正应力合成的轴力，该正应力x则要求解：公式=FQSz弯曲正应力公式成立；另外推导时在Fx=0时，应用了沿截面宽度均匀分布假设。910 试判断梁横截面上的切应力作用线必须沿截面边界切线方向的

10、依据是：（A）横截面保持平面；（B）不发生扭转；（C）切应力公式应用条件；（D）切应力互等定理。正确答案是 D 。911 槽形截面悬臂梁加载如图示。图中C为形心，O为弯曲中心。关于自由端截面位移有下列结论，试判断哪一种是正确的。（A）只有向下的移动，没有转动；（B）只绕点C顺时针方向转动；（C）向下移动且绕点O逆时针方向转动；（D）向下移动且绕点O顺时针方向转动。 正确答案是 D 。习题9-11图912 等边角钢悬臂梁，受力如图所示。关于截面A的位移有以下论述，试分析哪一种是正确的。（A）下移且绕点O转动；（B）下移且绕点C转动；（C）下移且绕z轴转动；（D）下移且绕z轴转动。正确答案是 D

11、。 习题9-12图 913 试判断下列图示的切应力流方向哪一个是正确的。正确答案是。(a) (b) (c) (d) 习题9-13图914 四种不同截面的悬臂梁，在自由端承受集中力，作用方向如图所示，图中O为*/(bIz)计算横截面上的弯曲中心。试分析哪几种情形下可以直接应用x=Mzy/Iz和=FQSz正应力和切应力。（A）仅（a）、（b）可以；（B）仅（b）、（c）可以；（C）除（c）之外都可以；（D）除（d）之外都不可能。正确答案是。习题9-14图 47915 梁的受力及横截面尺寸如图所示。试： 1绘出梁的剪力图和弯矩图；2确定梁内横截面上的最大拉应力和最大压应力； 3确定梁内横截面上的最大

12、切应力； 4画出横截面上的切应力流。 解：1图（a）：MA=0 8q×4×2+FRB4=0 FRB=18kNFy=0，FRA=22kN 剪力与弯矩图如图（b）、（c）； 2形心C位置80×20×10+80×20×60+60×20×110d= 80×20×2+60×20=55.45mmIz=80×20320×803+80×20×45.452+1212习题9-15图RB(a)60×203+60×20×54.552 +20

13、×80×4.552+12=7.855758×10mm64(d)+= maxMmax×55.45×103 Iz33F =max16.2×10×55.45×10=114MPa7.855758×10M=max×64.55×103=133MPa IzzS3*zmax=80×20×45.45+(e)35.459320×35.45×=85287×10m2*FQSzmax(c)max= Iz22×103×85287×10

14、9=11.94MPa 20×10×7.855758×104切应力流如图（e）。916 木制悬臂梁，其截面由7块木料用A、B两种钉子连接而成，形状如图所示。梁在自由端承受沿铅垂对称轴方向的集中力FP作用。已知FP = 6kN，Iz=1.504×109mm4；A种钉子的纵向间距为75mm，B种钉子的纵向间距为40mm，间距在图中未标出。试求： 1A类钉子每个所受的剪力； 2B类钉子每个所受的剪力。1解：Iz=(400×4003250×3003100×2003)12=1504166667mm43*SzA=100×50×150=750000mm A=*FQSzA Iz*FQSzA每根A种然受剪力： FQA=A×75×103=Iz×75×103=6×103×750000×109×75×103=224N1504166667×10123*=2×100×50×150+300×50&#