第五章 积分论(总授课时数 14学时)

1、 第五章 积 分 论 （总授课时数 14学时）§5.1 Riemann 积分教学目的 本节给出了函数Riemann可积的几个充要条件, 分析了经典积分存在的不足之处,建立性的积分的必要性.本节要点 函数 Riemann可积当且仅当不连续点及测度为零. Riemann积分关于极限与积分次序可交换要求一致连续， 应用公式要求导数连续， 这些条件限制了Riemann积分应用范围，Lebesgue 积分正好克服了这些不足.本节难点 函数 Riemann可积当且仅当不连续点及测度为零的证明.授课时数 2学时在介绍Lebesgue 积分之前，我们先将它的前身Riemann 积分作一回顾，并从测度

2、观点建立一个可积的充要条件R 积分通常有两种定义，其一是大家熟知的“极限式”定义（即作为积分和的极限），另一是“确界式”定义。一、Riemann 积分的定义1、极限式定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点把区间分成个小区间，各小区间的长度依次为，在各小区间上任取一点（），作乘积 并作和，记，如果不论对怎样的分法，也不论在小区间上点怎样的取法，只要当时，和总趋于确定的极限我们称这个极限为函数在区间上的定积分，记为2、确界式定义设在上有界，表示的任一分划这里为任一自然数,可随而不同.设，分别表示在上的上、下确界.，分别叫作关于分划的大和数与小和数，这里，分别叫作在的Darboux 上积分与下积

3、分，这里上、下确界是对的一切可能分划而取.如果则称在上可积，并称此共同值为在上的积分，记为。两种定义的等价性建立在下面的定理上.达布定理：二、在上可积的充要条件1） 当时， 其中2）这两个可积条件的缺点是没有将函数的可积性归结到函数的其它内在性质（如连续性等）上面去从这一角度看，下面Lebesgue 给出的可积的充要条件就好得多3) 在上连续.引理：设是上有限实函数，则在处连续的充要条件是在处的振幅为0.第三充要条件的证明：若 Riemann可积,则 的Darboux上、下积分相等，从而又因为于故在上几乎处处为零.从而在上的不连续点全体为零测度集，上述过程反之也成立.Riemann 将Cauc

4、hy 以来只对连续函数定义的积分概念扩张成现在我们所知的积分，从而扩大了积分的应用范围但是即使在有界函数范围内，积分还是存在着很大的缺点，主要表现在以下两个方面：（1）积分与极限可交换的条件太严我们知道一列可积函数的极限函数不一定保持R 可积性因此在积分与极限交换问题上，积分的局限性就特别突出大家知道：为了使对加上了一致收敛于的条件可是这一充分条件不但非常苛刻，而且检验起来也非常不便由于积分与极限交换问题不能顺利解决，就大大降低了积分的效果（2）积分运算不完全是微分运算的逆运算我们知道可积时，在的所有连续点上都有也就是说积分后再微分可以还原（积分函数的不连续点集测度为零，可不计）但是另一方面有

5、例子表明，一个可微函数的导数即使有界也不一定可积，因此也就说不上有N-L 公式所以在积分范围内，积分运算只是部分地成为微分运算之逆鉴于积分的上述缺陷，19 世纪后期，不少科学家进行了改进积分的尝试1902 年法国数学家Lebesgue（1875-1941）在Borel 及其他人工作的基础上，建立了他的积分理论他发表于1902 年的论文“积分、长度与面积”被公认为是现代积分论的奠基性工作，由于Lebesgue 积分在很大程度上克服了积分的缺陷，而且大大地扩充了可积函数的范围所以成为现代分析中不可缺少的理论基础作业：补充题：设 ，则在上是否可积. 练习题1 若为上测度为零的子集合，其特征函数在上是

6、否可积？ 2 若为上的疏朗集，其特征函数在上是否可积？ 3 若为上测度为零的疏朗集，其特征函数在上是否可积？ 4 若为上测度为零的闭集，其特征函数在上是否可积？§5. 2 Lebesgue 积分的定义教学目的 本节介绍测度有限、函数有界条件下Lebesgue积分定义.本节要点 掌握在此条件下可积的充要条件.本节难点 测度有限、函数有界条件下Lebesgue可积的充要条件证明.授课时数 2学时积分的定义有多种方法，为了便于同积分比较，我们将采用和积分的确界式定义相当的定义. 本节先介绍测度有限、函数有界条件下Lebesgue积分定义.一、Lebesgue积分的定义1、分划定义1 ：设是

7、一非空可测集，如果，其中各为互不相交的非空可测集，则称有限集合族是的一个可测分划，简称分划. 设是的另一分划，如果对于任一，存在，使，称比细.引理1 给定任意两个分划，必存在比它们都细的第三分划且.2 大、小和及性质定义2 设是定义在中测度有限的集上的有界函数，对的任一分划，令， ，则，分别称为关于分划的大和及小和（它们由完全确定），并分别记为及.引理2 （1）设，则（2）设分划比细，则，（3）对于任两个分划总有.（4），这里上、下确界是对的所有可能的分划取的.定义3 设是上的有界函数，记，分别称为在上的上、下积分.如果则称在上可积，并称此共同值为在上的积分，记为.以上是中测度有限可测集上有界

8、函数的积分定义.我们看到它在形式上同积分完全类似.除了“积分区域”更一般之外，主要不同之处在于采用的测度和分划的不同.3 测度有限、函数有界条件下Lebesgue可积的充要条件定理1 设是上的有界函数，则在上可积的分划使其中证明（略）以上条件由于它的导出只利用了分划的一般性质，所以必然是比较形式的，如果我们能进一步利用可测分划的特殊性质就可以得到一个较深刻的条件.定理2 设是上的有界函数，则在上可积在上可测.有了这个定理，对于中测度有限既可测集上的有界函数来说，可测与可积便是一回事了。由可测函数的性质可以立即得到：定理3 设是上有界且可积,则（但），在上都是可积的.4 Lesbesgue积分与

9、Riemann积分的关系 (Lebesgue积分是对Riemann积分的推广) 定理4若在上Riemann可积，则在上Lebesgue可积，且证明：在上Riemann可积，故在上几乎处处连续，从而在上有界可测，并且Lebesgue可积.其次， 对的任一分划根据Lesbesgue积分的可加性，我们有另外 其中从而对上式左、右端关于一切分划各取上、下确界，即得例 Dirichlet函数不Riemann可积. 处处不连续注：Lebesgue积分与广义Riemann积分无必然联系例1有无穷积分, 但不Lebesgue可积.例2有暇积分但不Lebesgue可积, 作业：P142 1, 2 练习题1 设是

10、上的有界可测函数，问是否对使分划满足条件时，有？（即问黎曼积分理论中的达布定理现在是否成立？）§5. 3 Lebesgue 积分的性质教学目的 本节介绍积分的一些基本性质, 包括积分的线性性质, 积分的不等式性质和积分的绝对连续性等.本节要点 学习本节的内容, 除了应了解积分的基本性质外,还应注意掌握一些基本的证明技巧.本节难点 无.授课时数 2学时测度有限可测集上有界函数的L 积分有如下初等性质：定理1 （1）区间可加性：设是的一个分划，定义于，则且线性：（2）设，则，且（3）设，为常数，则且（4）单调性：设，若 则特别地，当，有（5）绝对可积性：设，则，且定理2 （1）设是上可积

11、分，且，则于； （2）绝对连续性：设是上可积分，则及任何可测子集 当时有 证明略作业：P142 3, 4 练习题1 设 ，则在上是否可积.是否勒贝格可积？若可积，计算积分值.2 设为上的康托集，试计算.§5.4 一般可积函数教学目的 本节把测度有限的集合上有界函数的积分拓广到非负函数的积分，进而推广到一般函数的积分，并介绍一般函数积分的一些基本性质, 包括积分的线性性质, 积分的不等式性质和积分的绝对连续性等.本节要点 一般测度空间上的积分,除了具有一些与经典积分类似的性质外,还具有一些新的性质.应注意比较.学习本节的内容, 除了应了解积分的基本性质外,还应注意掌握一些基本的证明技巧

12、.本节难点 对非负函数的积分、一般函数的积分概念的理解及相关性质的证明技巧.授课时数 4学时我们在数学分析中学过黎曼积分，它是定义在有界区间上的有界函数，然后又学了广义积分：积分区间无限（无穷限积分）和被积函数无界（暇积分）.同样，我们可以采用相似的处理方式把非负函数的积分转化成测度有限集合上有界函数的积分，把一般函数积分转化成非负函数.一、 一般可测集上非负函数的积分（1）把一般可测集处理成测度有限集合的极限若，令，其中为球，所以有可测且.这样就把一般的可测集处理成了单调递增的测度有限的可测集列的极限.（2） 把一般的非负函数处理成有界函数的极限. 令，称为的截断函数列.有如下的性质： (3

13、) 一般可测集上非负函数的积分定义设是上的非负函数，定义称为在上的积分.二、 一般可测集上一般函数的积分设在上的实函数，令，则 定义：设是上的可测函数.如果与不同时为，则称在上积分确定，并定义为在上的积分，当积分有限时，称在上积分.简记为.显然下面我们来研究推广后的积分的初等性质，以下所涉及的集当无特别声明时，都是指中的集合.定理1 (1) 零集上的任何函数的积分为0(2) 若可积，则几乎处处有限.证明：令，则且对每个，有所以从而（3）区域可加性：设在上积分确定，则在上任一可测子集上也积分确定.又如，与皆可测且，则（4） 设在上积分确定，且于，则在上也积分确定且由（3）可知，如果一个积分确定的

14、函数在一个零测度集上随意改变函数值，并不影响它的积分值.因此，即使一个函数在的一个零测度子集上没有意义，只要有意义，我们仍可以认为有意义，而且约定 （5） 线性:设在上非负可测，则(6) 单调性:设在上积分确定且，则(7) 绝对可积性：设，则，且(8) 绝对连续性：设是上可积分，则及任何可测子集 当时有注：由于可积函数具有绝对可积性，所以积分是一种绝对收敛积分.而反常积分不必为绝对收敛.因此积分虽是积分的推广，却非反常积分的推广.作业：P142 6， 7， 8 练习题1 设都是上的可测函数，可积，且于，问是否可积？2 设，试计算.3 设，求4 设在上可积，令则 .5 设，为上的可积函数，为单调

15、递增的可测集列，且，证明 §5 积分的极限定理教学目的 本节讨论关于积分号下取极限的性质,即取极限和求积分交换顺序的定理. 内容包括三个重要的定理以及一些推论. 本节要点 一般积分的极限定理有三个重要定理,即控制收敛定理, 列维引理和Fatou引理, 它们分别适用于不同的情况. 学习本节的内容应注意分清各个定理的条件和结论. 本节难点 控制收敛定理, 列维引理和Fatou引理的应用授课时数 4学时本节主要讨论积分与极限的交换问题，我们将看到这个问题在积分范围内得到比在积分范围内远为完满的解决.这正是积分的最大成功之处.如所周知，函数序列的积分之极限与该函数序列的极限之积分是否相等是微

16、积分中的重要问题，也是困难的问题，同时，它又是应用十分广泛的问题。有时，为了讨论这类问题，人们常常要进行十分复杂的推导与演算.1 勒贝格控制收敛定理引理：若，为上可测函数列，为上的可积函数则在上可积.推论：若在上可测，则在上可积在上可积.定理1：设(1) 为上可测函数列(2) 存在非负可积函数，使得 于， (3) 则在上可积,且推论1：将（3）改为于,定理结论仍然成立.推论2：设，将条件（2）改为（常数），如果于或，则定理结论还成立.2列维引理定理2：（列维引理）若为上非负可测函数列，且，则3.Lebesgue逐项积分定理（级数形式）定理3：若为上非负可测函数列， 则对比:积分的线性(有限个函

17、数作和)。证明：令，则为非负可测函数递增列，且.例 试求解：令，则为非负连续函数，当然为非负可测函数，从而例2、试从证明 解：令则为非负连续函数，当然为可测函数，从而由Lebesgue逐项积分定理知：另外，从而结论成立4 积分的可数可加性定理4 若在（可测且两两不交）上非负可测或可积，则注：Lebesgue逐项积分定理是关于被积函数，积分的可数可加性是关于积分区域.证明：由及,然后利用Lebesgue逐项积分定理即可.推论：在一零测度集上改变函数的取值，不影响其可积性且积分值不变.5.Fatou引理定理5 若为上非负可测函数列，则证明:令则为非负可测函数递增列，且然后利用Levi逐项积分定理即

18、可.注：严格不等号可能成立. 如有例 试求证明:令，则为可测函数且从而Lebesgue控制收敛定理知：作业：P142 12， 15，16，17练习题1设计算.2 求.3 列维引理中去掉函数列的非负性的条件，结论是否成立？4 举例说明法都引理中的不等号确实能成立.5 用法都引理证明列维引理.§6 积分的几何意义，Fubini定理教学目的 本节讨论测度空间的乘积空间,并且证明一个重要的定理Fubini 定理. 本节要点 乘积测度的构造利用了测度的延拓定理. Fubini定理是积分理论的基本定理之一,它是关于二元函数的二重积分,累次积分交换积分顺序的定理.Fubini 定理在理论推导和计算积分方面有广泛的应用.本节难点 对Fubini定理及累次积分交换积分顺序的定理的理解.授课时数 2学时到目前为止，我们所讲的测度与积分，都是就同一个维空间来考虑的.现在我们将考虑不同维空间的可测集的测度，并研究它们之间的关系.这样不仅可以得到积分的几何解释，还可以导出重积分化累次积分的重要公式. 1.截口定理定理1 设 是可测集，则 （1）对中几乎所有