【学习】第8章计算机控制系统的状态空间设计

1、School of Automation Engineering整理课件School of Automation Engineering整理课件1. 状态反馈系统结构及其特性状态反馈系统结构及其特性 对离散系统对离散系统采用状态反馈控制，控制量为采用状态反馈控制，控制量为)k()k()k()k(B)k(Ax)k(DuCxyux 1( )( )( )kkkurKxSchool of Automation Engineering整理课件n闭环系统的状态空间描述为闭环系统的状态空间描述为 引入状态反馈后，闭环系统的特征方程由引入状态反馈后，闭环系统的特征方程由 决定，且系统阶次不变；通过选取决定，且

2、系统阶次不变；通过选取，可改变系统的可改变系统的稳定性；稳定性；n闭环系统的可控性由闭环系统的可控性由及及决定；如开环系统决定；如开环系统是可控的，则闭环系统也可控，反之亦然；是可控的，则闭环系统也可控，反之亦然；n闭环系统的可观性由闭环系统的可观性由及及 决定；如果决定；如果开环系统是可控可观的，加入状态反馈控制，由于开环系统是可控可观的，加入状态反馈控制，由于的不同选择，闭环系统可能失去可观性；的不同选择，闭环系统可能失去可观性；(1)() ( )( )( )() ( )( )kkkkkkxABK xBryCDK xDrSchool of Automation Engineering整理课

3、件 对如下离散系统，讨论引入线性状态反馈后闭环对如下离散系统，讨论引入线性状态反馈后闭环系统的可控及可观性。系统的可控及可观性。【解解】：易证原系统是可控可观的。引入状态反馈控制：易证原系统是可控可观的。引入状态反馈控制：其中其中 ，则闭环系统为，则闭环系统为其中其中)(.)()()()(kkykkkxuxx1502264201)()()(kkkKxru21kkK)k(B)k(A)k(B)k(BA)k(crxrxKx1)k()k()k(kBAAc21213222122KSchool of Automation Engineering整理课件n可控性可控性因为有因为有故闭环系统是可控的。故闭环系

4、统是可控的。n可观性可观性而而可见可观性与状态反馈矩阵选择有关可见可观性与状态反馈矩阵选择有关2542142121)kk()kk(BBAAcc48cWdet213534150kk.AToCCW2151351kko.detWSchool of Automation Engineering整理课件2. 状态反馈与极点配置状态反馈与极点配置 n状态反馈时闭环系统特征方程为状态反馈时闭环系统特征方程为 即状态反馈矩阵即状态反馈矩阵 决定了闭环系统的特征决定了闭环系统的特征根。根。n若系统是完全可控的，则通过选取反馈矩阵若系统是完全可控的，则通过选取反馈矩阵 可以可以任意配置闭环系统的特征根。任意配置闭

5、环系统的特征根。0BAzdetAzdet)z(cKIISchool of Automation Engineering整理课件n若单输入单输出系统是可控的，则系统可写成若单输入单输出系统是可控的，则系统可写成可控标准型：可控标准型：n其特征方程为其特征方程为)(.)(.)(kkaaaaknnnuxx100010000100001011210111nnnnaza.zazAzdet ISchool of Automation Engineering整理课件若状态反馈控制为若状态反馈控制为此时闭环系统为此时闭环系统为特征方程为特征方程为即可由即可由 任意配置特征根（闭环极点）任意配置特征根（闭环极点

6、）)()()(kkkKxrunkkk.21K)(.)()(.)()()(.)(kkkakakakaknnnnrxx100010000100001011322110111)ka(.z )ka(z)BA(zdetnnnnKISchool of Automation Engineering整理课件 若给定闭环系统的期望极点为若给定闭环系统的期望极点为则状态反馈闭环系统特征多项式为则状态反馈闭环系统特征多项式为 使上式两端对应项系数相等（匹配），即可求得使上式两端对应项系数相等（匹配），即可求得 。nizii.,21)z).(z)(z()BA(zdetn21KISchool of Automation

7、 Engineering整理课件n例例 设原开环系统离散状态方程为 试确定状态反馈闭环系统的状态反馈增益矩阵K，使闭环极点为z1与z2。 解解 易知原开环系统是状态完全可控的，但不稳定。 期望特征多项式为 状态反馈闭环特征多项式为 比较以上两式系数，可得 k1，k2，即 K0.2 1.4 111(1)( )( )01.21kkk xxu2( )(0.4)(0.6)0.24Kzzzzz12212121211detdet(2.2)(1.22.2)1.2zkkzzkkzkkkzk IABKSchool of Automation Engineering整理课件 （2）可控标准型法）可控标准型法 n设

8、原开环系统的状态方程为其特征多项式为 (1)( )( )kkkxAxbu1110det()nnnzzaza zaIA如果系统完全可控，则可以通过线性变换 得 1xPx(1)( )( )cckkkxA xb u其中 0121010000100001cnaaaaA001cc bSchool of Automation Engineering整理课件 对上式引入状态反馈 则对应的闭环系统为 ( )( )( )kkkurKx(1)() ( )( )ccckkkxAb K xb r其闭环特征多项式为 1111100det()()()nnccnnzzakzak zakIAb K与期望特征多项式比较，可得

9、000111111nnnkakaka而对应于原系统的状态反馈矩阵为 1KKPSchool of Automation Engineering整理课件例例 用可控标准型法求解例中的状态反馈矩阵。 n解 可求得原系统特征多项式为 对其可控标准型引入状态反馈,有 闭环系统期望特征多项式为 比较系数可得 可控标准型变换矩阵 由此可求得 2det()2.21.2zzzIA210det( 2.2)(1.2)cczzk zk IAb K2( )(0.4)(0.6)0.24Kzzzzz0.961.2 K01102.211.212.2111P155660.961.20.21.451166 KKPSchool o

10、f Automation Engineering整理课件阿克曼阿克曼以可控标准型为基础，一种便于计算机求解反馈矩阵K 的方法计算公式其中，K(A)是给定期望特征多项式中的变量 z 用A代替后所得的矩阵多项式，即11100( )nKKAbAbbA1110( )nnKnzAAAISchool of Automation Engineering整理课件例例 用阿克曼公式法求解例中的状态反馈矩阵。 n 解解 由原系统状态方程可得已知闭环系统期望特征多项式为 011.21Abb2( )(0.4)(0.6)0.24Kzzzzz即20.241.2( )0.2400.48KAAAI由阿克曼公式可得 110(

11、)550.241.2100.21.46600.4810 KAbb ASchool of Automation Engineering整理课件1. 1. 输出反馈的结构形式与特点输出反馈的结构形式与特点 (1)( )( )( )( )kkkkkxAxBuyCx( )( )( )kkkurFy设原线性定常离散系统的状态空间描述为引入参考输入向量r r( (k)，则输出反馈的控制向量可表示为其闭环系统结构图为可以证明，输出反馈的引入不改变系统的可观性输出反馈的引入不改变系统的可观性 School of Automation Engineering整理课件2. 输出反馈与极点配置输出反馈与极点配置 n

12、一般而言，输出反馈是不能任意地配置系统的全部极点的。这是由于输出信息并不包含系统的全部结构信息，故不能任意改变其闭环系统的结构特性。 n如果原系统是完全可控与完全可观的，并存在足够多的线性独立的输出，则可以通过输出反馈来任意配置闭环极点。 n如果一个n阶系统有至少n个线性独立的输出，那么系统的状态可由该系统的输出和输入导出。相应的输出反馈也可由状态反馈导出。 School of Automation Engineering整理课件111(1)( )( )01.21kkk xxu10( )( )11kkyx例例 设原开环系统离散状态空间描述为试确定输出反馈闭环系统的反馈增益矩阵F F，使闭环极点

13、为z1与z2。 解： 2( )(0.4)(0.6)0.24Fzzzzz1221222121211detdet1.2(22.2)(1.22.23.2)zfffzffzfzffzff IABFC121222.211.22.23.20.24ffff 已知闭环系统期望特征多项式为设F Ff1 f2，可得状态反馈闭环特征多项式为解得 f1，f2，即F F1.6 1.4则有 School of Automation Engineering整理课件 1. 开环状态观测器开环状态观测器 已知离散系统的状态空间模型为 构造一个状态观测模型 (1)( )( )( )( )kkkkkxAxBuyCx(1)( )(

14、)kkkxAxBuSchool of Automation Engineering整理课件n若令 为观测误差，即可得到观测误差的状态方程为 ( )kx ( )( )( )kkkxxx(1)( )kkxAx 可见，观测器的性能将由原系统的参数矩阵A决定。如果原系统矩阵A是不稳定的，则观测误差将随时间发散；如果矩阵A是稳定的，但收敛速度很慢，观测误差也不能很快收敛到零，从而影响观测效果。 School of Automation Engineering整理课件2. 闭环状态观测器设计闭环状态观测器设计 n根据具体实现形式的不同，有两种实现闭环状态观测器的基本方法。一种是利用当前的输出来观测下一时刻

15、的状态，这称为预报观测器；另一种是利用当前的输出来观测当前时刻的状态，故称为现时观测器。 School of Automation Engineering整理课件（1）预报观测器）预报观测器 n预报观测器的方程 (1 )(1)( ) ( )(1) (1)( )( )kkk kkkk kk kkkxAxBuL yCxALC xBuLy预报观测器的观测误差方程 (1) (1)kkk kxALC x 可见观测误差与系统输入u(k)无关，其动态特性由矩阵ALC决定。 School of Automation Engineering整理课件n状态观测器的极点配置状态观测器的极点配置n通过设计误差反馈增益

16、矩阵L 对观测器极点进行任意配置的充要条件是原系统状态是完全可观的。n状态反馈设计的相关方法均可用于状态观测器设计。注意到状态反馈设计与状态观测器设计的对偶关系，其阿克曼公式 为为 1110( )0nL CAL ACACSchool of Automation Engineering整理课件 例例 设离散系统的状态空间描述为 试设计状态观测器，要求观测器的极点为z1,2。 解 易知原系统状态完全可观，设观测器的误差反馈增益矩阵为Ll1，l2T，可得观测器的特征多项式为 010(1)( )( )1 11kkk xxu( )20( )kkyx12211221det()det121(21)(1 22

17、 )zlzlzzlzllIALC而观测器的期望特征多项式为 22( )(0.2)0.40.04Lzzzz解得 0.30.18LSchool of Automation Engineering整理课件(2) 现时观测器现时观测器 n当前时刻的开环观测值n将现时观测器构造为 于是可得 ( )(1)(1)kkkxAxBu( )( ) ( )( )kkkkxxL yCx( )(1)(1) ( )(1)(1) (1) (1)( )kkkkkkkkkxAxBuL yCAxCBuALCA xBLCB uLy现时观测误差方程： ( ) (1)kkxALCA xSchool of Automation Engi

18、neering整理课件(3) 降维观测器设计降维观测器设计 n在系统的全部状态中，可能有一部分状态 ( ) 是可以直接在输出端获取其测量值，而另一部分 ( ) 则必须通过观测器来重构。n如果只针对其需要观测的部分状态构造观测器，即为。n设原系统经线性变换具有以下形式：1111112222122112( )(1)( )( )( )( )( )( )( )0( )qkkkkkkkkkkxBAAxPAP xPBuuxBAAxyCP xIxSchool of Automation Engineering整理课件n其降维观测器方程n观测误差方程n观测器结构图 111211122212(1)( ) ( )

19、 ( )(1)kkkkkxALAxALAyBLB uLy11111211(1)(1)(1)( )kkkkxxxALAxSchool of Automation Engineering整理课件 1. 带观测器的状态反馈控制系统的一般结构带观测器的状态反馈控制系统的一般结构 考虑如下被控系统： 引入状态反馈 (1)( )( )( )( )kkkkkxAxBuyCx( )( )( )kkkurKxSchool of Automation Engineering整理课件2 . 分离性原理分离性原理 n状态反馈闭环系统状态方程n设观测器为预报观测器，其观测器观测误差方程 由于 (1)( ) ( )( )

20、( )( )( )kkkkkkkxAxB rKxAxBKxBr(1) ( )kkxALC x( )( )( )kkkxxx 则有 (1)( ) ( )( )( ) ( )( )( )kkkkkkkkxAxBK xxBrABK xBKxBr与观测误差方程联立，可得带观测器的闭环系统状态方程 (1)( )( )(1)0( )0kkkkkxABKBKxBrxALCxSchool of Automation Engineering整理课件n其相应的特征多项式为n闭环系统由两部分组成：一部分是按极点配置设计状态反馈控制规律时所给定的n个极点，即控制极点，另一部分则是按极点配置设计观测器时所给定的n个极点

21、，即观测器极点。即分离性原理。n根据分离性原理，在设计带观测器的状态反馈控制系统时，可以将状态反馈控制规律与观测器的设计分开进行。 2detdet00detdet( )( )nnnnnKLzzzzzzzIABKBKABKBKIIALCALCIABKIALCSchool of Automation Engineering整理课件 3. 带观测器的状态反馈控制系统设计原则带观测器的状态反馈控制系统设计原则 n一般地，先根据闭环系统性能指标的要求确定相应的控制极点，即系统主导极点，并按极点配置设计状态反馈增益K。 n若系统输出测量中不存在较大的噪声，可按观测器的状态跟踪速度为控制极点所对应的响应速度

22、的26倍来选择观测器极点，使得整个系统的性能主要由控制极点（即系统主导极点）决定，并由此设计观测误差反馈增益L； n如果测量噪声很大，其状态跟踪速度将按低于2倍系统响应速度设计，此时，观测器极点将对系统性能产生较大影响，一般需要与控制极点综合考虑。 School of Automation Engineering整理课件4. 带观测器的状态反馈控制系统的控制器带观测器的状态反馈控制系统的控制器 n将状态反馈与观测器的设计结果结合起来，便构成该系统的数字控制器 School of Automation Engineering整理课件n 以预报观测器为例，引入状态反馈控制律 代入观测器方程，有 对

23、以上两式在零初始条件下取 z 变换，可得 由此可得控制器的 z 传递函数形式，即 ( )( )kk uKx(1) ( )( )kkkxABKLC xLy( )( )( )( )( )zzzzzz XABKLC XLYUKX1( )( )( )tU zD zzY z KIABKLCLSchool of Automation Engineering整理课件5. 设计举例设计举例 n例例 卫星的空间姿态控制通常是通过其三轴姿态控制系统来完成的。这里仅考虑其各个单轴姿态控制系统。在不考虑系统扰动的情况下，单轴姿态控制的运动方程可表示为 令uMC /J，则有 采用计算机控制，设采样周期 T秒，试设计带状态观测器的状态反馈控制规律，以保持卫星在该轴上的姿态，并要求闭环系统具有等效于 s 平面阻尼比 和实部为的特征根所确定的闭环特性。 CJMuSchool of Automation Engineering整理课件n解 选择状态变量可得 加零阶保持器将其离散化（T），可得被控系统的离散状态空间描述为 12,xx1122010( )001xxu txx 12( )10 xy tx1122(1)( )10.10.005( )(