概率论与数理统计第6章参数区间估计2,3节ppt课件

1、()kkvE X12,m， ，假定总体假定总体X X的的1 1m m 阶原点矩阶原点矩kkvE X() 存在，存在，第二步：用样本第二步：用样本k阶原点矩代替总体阶原点矩代替总体k阶原点矩，即阶原点矩，即nkikmiXvn1211,. 1,2,km矩估计法步骤：矩估计法步骤：设总体X的分布中含有m个待估的未知参数那么第一步第一步: :求总体求总体X X的的k k阶原点矩阶原点矩12,.,kmv 解含m个参数 的m个方程组, 12m， ， 得 nkkXXX,21 mk, 21以 作为参数 的估计量.k k 第三步第三步: :第四步第四步: :,nnkx,x,xX,X,X2121换换成成中中的的将

2、将.x,x,xnkk)(21的的矩矩估估计计值值便便得得到到最大似然估计最大似然估计(MLE)的步骤的步骤:写写出出似似然然函函数数 连连续续离离散散取取对对数数X,;xfX,;xpLn1iin1ii)()()(lnlnln连连续续离离散散X,;xfX,;xp;x,x,xLLniiniin)()()()(1121第一步第一步: :第二步第二步: : 0ln0ln0ln21mLLL .,21为为最最大大似似然然估估计计值值所所求求得得的的解解m ,X,X,Xx,x,xnn2121换换成成中中的的将将k).,(21nkkXXX 的的最最大大似似然然估估计计量量便便得得到到解似然方程(组)解似然方程

3、(组)第三步第三步: :第四步第四步: :第二节第二节 判别估计量好坏的标准判别估计量好坏的标准基本内容：一、无偏性一、无偏性二、有效性二、有效性三、三、 一致性一致性估计量是样本的函数估计量是样本的函数, ,是随机变量是随机变量. . 故一个好的估计,应在多次试验中体现出优良性.由不同的样本观测值, 就得到不同的参数估计值.所以,估计量的评价准则估计量的评价准则在介绍估计量好坏的准则前, 必须强调指出: 评价一个估计量的好坏评价一个估计量的好坏, ,不能仅仅依据一次试不能仅仅依据一次试验的结果验的结果, , 而必须由多次试验结果来衡量而必须由多次试验结果来衡量. .一、无偏性一、无偏性,的的

4、估估计计量量是是未未知知参参数数设设X,Xn)(1; ;的的为为则称则称无偏估计量无偏估计量XXn),(1. .的的为为无无偏偏估估计计值值xxn),(1定义：定义：,E)(假设即即的的附附近近摆摆动动，在在参参数数真真值值我我们们希希望望估估计计值值 其对应的估计量其对应的估计量 的期望等于未知参数的期望等于未知参数 的真值的真值.例例1.1.已知正态分布的未知参数已知正态分布的未知参数 , , 2 2的矩估计的矩估计量量niXXnX1i22)(1;的无偏估计量吗？的无偏估计量吗？分别是分别是试问试问22,，,最大似然估计量相同，即解：解：) (E)(niXXn1i22)(1EEniXXEn

5、i1221n )()(nXXni1i221nEE)1()(2222nnnn12) 1(nn.X的无偏估计量是故.的无偏估计量不是故22由)(XE由于,2niXXn1i22)(111nnnnniXX1i2)(11n修修正正的的样样本本方方差差2S，22)(SE由由于于.的的无无偏偏估估计计量量是是故故22S(1) 样本均值样本均值 X 是总体均值是总体均值E(X)的无偏估计量；的无偏估计量；(3) 样本样本 k 阶原点矩阶原点矩一般地，一般地，( (例例1 P156)1 P156)11nkkiiVXn 是总体是总体k 阶原点矩阶原点矩E( Xk )的无偏估计量；的无偏估计量； niiXXnS12

6、2)(11(2) 样本方差样本方差是总体方差是总体方差D(X)的无偏估计量；的无偏估计量；证明证明: (3)11()nkiiEXn 故故11()nkiiE Xn 1()kEnXn 由样本的定义知，Xi与X有相同分布()kE X 集中集中 设设 1 和和 2 都是参数都是参数 的无偏估计量的无偏估计量, 二、有效性二、有效性1 即即 D( 1) D( 2).未知参数未知参数 的无偏估计量不是唯一的的无偏估计量不是唯一的. . 蓝色是采用估计量蓝色是采用估计量 1 , 1 , 用用 14 14 个样本值得到的个样本值得到的 14 14 个估计值个估计值. . 紫色是采用估计量紫色是采用估计量 2

7、, 2 , 用用 14 14 个样本值得到的个样本值得到的 14 14 个估计值个估计值. .分散分散2 D(D( 1 ) D( 1 ) D( 2 ) 2 ) 则称则称 1 1 较较 2 2 有效有效. . 都是未知参数都是未知参数 的无偏估计量的无偏估计量. . ）（nnXXXXXX,),21222111与与设设：定定义义当样本容量n一定时, 若在的所有无偏估计量中,.)(有有效效估估计计量量的是参数则称最小的方差，D假设假设解：解： )(iXD 故 X 比 X i (i=1, 2, n)有效. ,2n)()(iXDXD 当n2时，无偏估计量，问哪一个更有效？例例2.2.的都是总体均值与验证

8、), 2 , 1(niXXi)(XD,2)(XD)(1XDn,)(XE易知,)()(XEXEi的无偏估计量.都是总体均值与故), 2 , 1(niXXi例例3.3. 设X1，X2，X3是来自总体X的样本, 且 统计量中哪个更有效？( )总体均值E(X)= 未知, 则下列4个关于 的.263.;333.;424.;5355.321321321321XXXDXXXCXXXBXXXAC分析：利用分析：利用P181的的7题结论，可选题结论，可选C.三、一致性三、一致性有若对于任意的, 0 .的一致估计量是参数则称 nlim()1,nnP定义：定义：证明一致估计的方法：证明一致估计的方法：.0)(lim

9、的一致估计量是则若，Dn回顾例子回顾例子. .设总体设总体X X的概率密度为的概率密度为其他, 0;0),(6)(3xxxxf).()2() 1 (D的方差求的矩估计量求； X1, X2, Xn 是取自总体是取自总体X 的简单随机样的简单随机样本本, 解：解：.2X矩估计量nXDnXDD5)(4)(4)(20,5)(2nlimDlimnn.的的一一致致估估计计量量是是故故内容小结内容小结1.1.无偏性无偏性 样本样本 k 阶原点矩是总体阶原点矩是总体 k 阶原点矩阶原点矩 的无偏估计量的无偏估计量 ; 样本方差样本方差 S 2 是总体方差是总体方差 2 的无偏估计量的无偏估计量 ;2.2.有效

10、性有效性 方差更小的无偏估计量方差更小的无偏估计量. 在在 的所有线性无偏估计量中的所有线性无偏估计量中, 样本均值样本均值 X 是最有效的是最有效的. 3.3.一致性一致性 而区间估计正好弥补了点估而区间估计正好弥补了点估计的这个缺陷计的这个缺陷.为了使估计的结论更可信为了使估计的结论更可信, 需要引入区间估计需要引入区间估计. 参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数参数的点估计是用样本算得的一个值去估计未知参数.使用起来把握不大使用起来把握不大. 点估计值仅仅是未知参数的一个近似值点估计值仅仅是未知参数的一个近似值,它它没有反映出这个近似值的误差范围没有反映出这个近似值的误差范围.

11、 估计量的期望等于未知参数的真值估计量的期望等于未知参数的真值. 第三节 正态总体参数的区间估计基本内容：一、区间估计的概念二、正态总体均值的区间估计三、正态总体方差的区间估计，P1)(21给定的概率 1- (0 1), 定义定义 设总体设总体 X 的分布中含有未知参数的分布中含有未知参数，若存在两个统计量 一、区间估计的概念一、区间估计的概念),(),(212211nnXXXXXX与1)(21为的为参数则称随机区间置置信信水水平平，对于使得.21置置信信上上限限置置信信下下限限称为称为，的置信区间,注：注：.) ,( , , , 21是随机的而区间没有随机性但它是一个常数虽然未知被估计的参数

12、 1),(),(212211 :的本质是因此定义中表达式nnXXXXXXP 的的真真值值, ,的的概概率率包包含含着着参参数数以以随随机机区区间间 ,1)(21). ,(1 21的概率落入随机区间以而不能说参数 若进行若进行n n次独立重复抽样，得到次独立重复抽样，得到n n个样本观测值个样本观测值, ,那么个随机区间每个样本观测值确定一).,(21根据伯努利大数定理, 在这n个随机区间中, .%100 ,)%1 (100不包含的约占真值的约占包含, 的真值 或不包含的真值每个区间可能包含， X,X,XX,X,XPnn1)()(212211由伯努利大数定理的解释：由伯努利大数定理的解释：例如例

13、如 , 1000 0.01, 次重复抽样若.990 1000 个真值的约为个区间中包含则得到的？二、正态总体均值二、正态总体均值 的区间估计的区间估计1)(00,NnXU1. 1. 已知方差已知方差 2= 2= 0202的正态总体的正态总体 X, X, 求未知求未知参数参数1- 的置信区间的置信区间解：解：设总体设总体 X N( , 2), 有有 12 ,uUP/ 10 ,un/XP/2,unXunXP /12020 即即 1 的的置置信信区区间间的的置置信信水水平平为为于于是是得得到到.2/znX. unL/202其置信区间的长度为其置信区间的长度为/2/2unX,unX00标准正态分布中对

14、称于原点的置信区间是最短的标准正态分布中对称于原点的置信区间是最短的,故/2/2unX,unX00若滚珠直径服从正态分布X N( , 2), 并且已知例例1. 1. , 05. 0, 16. 0, 100n已知,92.14101101iixx滚珠的直径单位：mm如下:14.6, 15.0, 14.7, 15.1, 14.9, 14.8, 15.0, 15.1, 15.2, 14.8 = 0.16(mm),求滚珠直径均值的置信水平为95%的置信区间的置信区间.解：解：由上面求解的置信水平为1- 的置信区间0.099).14.92 0.099,-(14.92 95%的置信区间为的从某厂生产的滚珠中

15、随机抽取10个，测得,96.1025.0u得 (14.821, 15.019)025. 0)(025. 0uuP)(025.0uuP由分位点的定义)(1025. 0uuP 025.01 975.0)(025. 0u经查表,975. 0)(025. 0u2020/unx,unx20/un由此得,099. 096. 116. 010025.0u代入公式)(025. 0t96.1nSXt/ 2.2.未知方差未知方差2 2 的正态总体的正态总体 X, X, 求未知参数求未知参数的的1- 的置信区间的置信区间解：解：设总体设总体 X N( , 2), 有有1)( nt 由t分布的概率密度曲线关于y轴对称

16、， 对称于原点的置信区间是最短的. 11)(2 ,ntt P/ 11)(2 ,ntnS/XP/,ntnSXntnSXP /11)(1)(22 即即 1 的的置置信信区区间间的的置置信信水水平平为为得得到到. ntnSL/1)-(22. unL/202其置信区间的长度为其置信区间的长度为1)(1)-(22ntnSX,ntnSX/故1)(1)(22ntnSX,-ntnSX/并且方差并且方差2未知未知, 求滚珠直径均值求滚珠直径均值的置信水平的置信水平为为例例2.2.从某厂生产的滚珠直径从某厂生产的滚珠直径X N( X N( , , 2), 2),0.193,)(1101101i22xxssi,05

17、. 0,10 n已知滚珠的直径单位：mm如下:14.6, 15.0, 14.7, 15.1, 14.9, 14.8, 15.0, 15.1, 15.2, 14.895%的置信区间的置信区间.抽取10个,92.14101101iixx解：解：由的置信水平为1- 的置信区间) 1(025. 0nt)9(025.0t26. 21)(2-ntns/由此得138. 026. 210193. 01)(1)(22ntnsx,- ntnsx/得到的95%的置信区间为代入公式niiX12022)(1(14.92-0., 14.92+0.)即(14.782, 15.058) (mm)由 2分布的概率密度曲线是不对

18、称的，三、正态总体方差三、正态总体方差 2 2 的区间估计的区间估计 )(2/21n)(2n1- 的置信区间的置信区间解：解：设总体设总体 X N( , 2), 有有 )(2/2n仿照前述的置信区间取法：/2 1 ) () (2/222/21 ,n n P 1 ) () (2/222/21 ,n n P 1 的的置置信信区区间间的的置置信信水水平平为为得得到到21. 已知均值已知均值= 0的正态总体的正态总体 X, 求未知参数求未知参数 2 1)(11202 ,XPnii)()(22/22/1nn. unL/202故 1)()(1202120 ,XXPniinii)()(22/122/nn即即

19、 )()(120120)(,)(22/122/nnniiniiXX, 9 . 14, 05. 0, 10 n已知并且并且=14.9(mm), 求滚珠直径方差求滚珠直径方差2的置信水平的置信水平为为例例3.3.从某厂生产的滚珠直径从某厂生产的滚珠直径X N( X N( , , 2), 2),滚珠的直径单位：mm如下:14.6, 15.0, 14.7, 15.1, 14.9, 14.8, 15.0, 15.1, 15.2, 14.895%的置信区间的置信区间.抽取10个,34.0)9.14(1012iix解：解：由2的置信水平为1- 的置信区间20.5,(10)20.025, 9 . 14, 05. 0, 10 n已知查表得 2分布的分位点 )()(/21120/2120)(,)(22nnniiniixx得到2的95%的置信区间为代入公式即(0.0166, 0.1046) (mm2)25,3(10)20.975.)3.250.34,20.50.34(2221)(Sn2.2.未知均值未知均值的正态总体的正态总体 X, X, 求未知参数求未知参数 2 2 的的 1)(2/21-n1)-(2n1- 的置信区间的置信区间解：解：设总体设总体 X N( , 2), 有有 1)(2/2-n仿照前面的置信区间取法： 11)(1)(2/222/21 ,- n- n P/2 1 ) () (2/2