§4.3协方差、相关系数及矩.

1、43协方差、相关系数及矩也八结4.3.1协方差和相关系数对于二维随机变量（x, y）,除了讨论 x 与 y 的 数学期望和方差之外还要给出一个描述 x 与 y 之间相互关系的数字特征.由上节可知，若 x 与 y 相互独立，则有EX -E（X）EY -E（r） = O 若 -E（X）E|y -E（y）#O,则说明 X 与丫不相互独立，而是有一定的关系的.1定义fi EX - E( (X 川 y - E( (y) )称为随机变量X 与丫的协方差记为 Cov( X ,F ),即Cov( (x,y) )=Ex -E(X川 y - E( (y) ).KCov( X.Y)PXY= a( (X) ) (Y)

2、称为随机变量 x 与 y 的相关系数2协方差的性质(1) Cov( X,r )= Cov( Y.X );(2) Cov( aX ,bY) = ab Cov( X为常数；(3) Cov( X, +) = Cov( X,y ) + Cov( X2,Y ).e = E(Y -( +bX )=E(Y)bE(X)a - 2bE(XY ) + 2abE (X )-2aE( (y )将分别关于 G#求偏导数并令它们等于零得竺=2a + 2 方 E ( X ) - 2E( (y ) = 0,解得“寫护一(胪册将代入 e = E(Y -(abX )中得mine =E(Y-(aQ+bnX)2a.bw=(I-P；T

3、) )D( (y) ).(2)相关系数的意义演示是一个可以用来表征之间线性紧密 程度的 K 当 PXY较大时 0 较小，表明 X的线性关系联 系较紧密当PXY较小时，x”线性相关的程度较差2AE(X )-注意r 不相关与相互独立的关系相互独立=不相关r 不相关的充要条件X, Y 不相关 o pXY= 0o Cov( (x,y) )=()()o E(XY) = E(X)E(Y)当/(2)Pxr=1 的充要条件是存在常数上使PY = a + 6X = 1 事实上，|pj= 1= E(Y -(叫 +久 X) = 0 = o = E( (y-( (0+z0 x)2-OY 一(叭 +b0X) + E(Y

4、 一(叫 +bQX)2= DY -( (H) ) = 0,EY -(ao+ 0X) = 0 由方差性质知PY九 X) = 0= 1.或 PY =a0+/r0X= 1.例|已知随机变量x和y的联合分布律:1(10.070.180.15O.OS032.20求x和y的协方差Y Y）和相关系数pw解先求出关于x和y边缘分布律及xy的分布律:X01Y-1(1XY1O10.40.6(M50.50.35叭叭0080.720.2例2已知二维随机变量（x,r）的概率密度为x + y,0 v x v 1,0 j h0,其他.求和y的协方差c“( (X,X, Y Y)和相关系数P、厂 解E(X)=E(X)=f fx

5、(xx(xy y )dxdy)dxdy = =9 9Jo Jo12T(X2) = J Jx x2 2(x(x y)dxdyy)dxdy = =, ,o 22 211D(X)D(X) = = E(XE(X2 2)-lE(X)f)-lE(X)f = =，144/（“）=例 3 设（x,y）-试求 x 与 y 的相关系数解 由 /（X,J）=- /=2S _ PA( (J) )=-7=-e2:2na2n E(X) = “()=“,，D(X)；,D( (y) )“ 而Cov( X,y) )=A2) )/(x,)dxd jJ 00 J o0 x 与 y不相关 x 与 y 相互独立（i）二维正态随机变最（

6、x,y 的概率密度中的参数P就是 x 与 y 的相关系数，因而二维正态随机变量 的分布完全可由 X各自的数学期里.方差以及它们 的相关系数所确定.岁笫“严.E E（X X）E E（Y Y）D D（X X）D D（Y Y） p pXYXY（2）对于二维正态随机变量（x,r）来说，+ co +e22-（故有 cov（x,r）= m 卫 2 于是结论Cov（x,y）-CO J-aO4.3.2矩1定义设 x 和 y 是随机变量，若 E(Xk k = 1,2, 存在.称它为x 的 R 阶原点矩简称 k 阶矩若 EX -k = 2,3-存在，称它为 X 的*阶中心矩若 E(XkY kj 1,2,.存在，称

7、它为 x 和 y 的 k +/阶混合矩.若 EX - E(X)kY - E(Y), kJ = 1,2, 存在，称它为x 和 y 的 k + /阶混合中心矩2说明(1)以上数字特征都是随机变量函数的数学期望；(2) 随机变 st X 的数学期望 E(X)是 X 的一阶原 点矩，方差为二阶中心矩，协方差 Cov( (x )是 x与 y 的二阶混合中心矩 ；(3) 在实际应用中，高于 4 阶的矩很少使用 三阶中心矩 EX -E(X)fE(X)f主要用来衡量i机变量的分布是否有偏.四阶中心矩EX-E(X)YEX-E(X)Y主要用来衡量 随机变量的分布在均值附近的陡出肖程度如何.1 协方差、相关系数的定

8、义和公式Cov(X,y) )= EX-E(X)Y -E( (r) )cov( (,r) )D(X+r) )= D( (x) )+ D( (y) )+2Cov( (x,y) ),Cov(X.Y) = E(XY)-E(X)E(Y).2 相关系数的意义当PXY|较大时，x, y 的线性相关程度较高 当PXY|较小时，x ,y 的线性相关程度较差 当= 0 时，x 和 y 不相关.矩数学期望E（X）是 x 的一阶原点矩；方差 D（x）是 X 的二阶中心矩；协方差 Cov（x,y）是 x 与 y 的二阶混合中心矩.y 已知随机变量分别服从 N(l,3),N(0 屮),Px、=-12,设 Z = X 3 + y/2 (1)求 Z 的数学期望和方差(2)求 X 与 Z 的相关系数(3)问 X 与 Z 是否相互独立 ？为什么？解( (1)由 E(X)= 1,D(X) = 9, E( (y) )= O, D(Y)= 16 Hx y 1i得 E(Z)=E(+-) = -E(X)+E(Y )D(Z)=D( )+D(-)+2Cov(A,-)1 1 1D(X )+)+ -Cov( X)94311=D(X)+ D( (y)H94y-pXY、力(X) )十D(Y)332323 2=1 + 4-2 = 3.X Y(2) Cov( X,Z) = Cov( X .+ -)321