[原创]必修第一册第二章2.3二次函数与一元二次方程不等式（2）

1、2.3二次函数与一元二次方二次函数与一元二次方程不等式程不等式第第2课时课时 汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前汽车在行驶中，由于惯性作用，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为滑行一段距离才能停住，我们称这段距离为“刹车距离刹车距离”. .刹车距离是分析事故的一个重要因素刹车距离是分析事故的一个重要因素. .一般来说刹车距离一般来说刹车距离与车速是二次函数关系，我们可以根据刹车距离判断汽车与车速是二次函数关系，我们可以根据刹车距离判断汽车的速度的速度. .例例1 1 某种汽车在水泥路面上的刹车距离某种汽车在水泥路面上的刹车距离s ms m和汽车车速和汽车车速x

2、km/hx km/h有如下关系：有如下关系： 在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于在一次交通事故中，测得这种车的刹车距离大于39.5 m,39.5 m,那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确那么这辆汽车刹车前的车速至少为多少？（精确到到0.01 km/h0.01 km/h）一元二次不等式在实际问题中的应用一元二次不等式在实际问题中的应用方程方程 有两个实数根，有两个实数根，显然显然0, 2 2x +9x-7 110 = 0 x +9x-7 110 = 01212x x -88.94,x-88.94,x 79.94.79.94.即即移项整理，得移项整理，得解：解：设这辆汽车刹车前的车速

3、至少为设这辆汽车刹车前的车速至少为 xkm/hxkm/h，根据题意，得，根据题意，得 x x -88.94,或x x79.94 .x79.94 .x0,x0,所以这辆汽车刹车前的车速至少为所以这辆汽车刹车前的车速至少为79.94 km/h.79.94 km/h.然后然后, ,画出二次函数画出二次函数 的图象，由图的图象，由图象得不等式的解集为象得不等式的解集为 2 2y = x +9x-7 110y = x +9x-7 110例例2 2 一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，一个车辆制造厂引进了一条摩托车整车装配流水线，这条流水线生产的摩托车数量这条流水线生产的摩托车数量x(辆辆) )

4、与创造的价值与创造的价值 y( (元元) )之之间有如下的关系：间有如下的关系： 若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收若这家工厂希望在一个星期内利用这条流水线创收6 0006 000元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少元以上，那么它在一个星期内大约应该生产多少辆摩托车？辆摩托车？解：解：设在一个星期内大约应该生产设在一个星期内大约应该生产x辆摩托车辆摩托车. . 由题意得，由题意得，2 2-2x +220 x6 000.-2x +220 x6 000.2 2x -110 x+3 0000.x -110 x+3 0000,=1000,2 2x -110 x+3 000 =0 x -

5、110 x+3 000 =01212x =50,x = 60.x =50,x = 60.数图图2 2由由二二次次函函y = x -110 x+3 000的y = x -110 x+3 000的象象（如如）因为在这个实际问题中因为在这个实际问题中x x只能取整数值，所以，当这条只能取整数值，所以，当这条摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在摩托车整车装配流水线在一周内生产的摩托车数量在51515959辆之间时，这家工厂能够获得辆之间时，这家工厂能够获得6 0006 000元以上的收元以上的收益益. .得不等式的解集为得不等式的解集为 x 50 x60 .x 50 x0ax +bx+10

6、x -2x1 ,x -2x1 ,，abab分析：分析：-2-2和和1 1是一元二次方程是一元二次方程 的两个根的两个根. .解：解：由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得2+1=,12 1.baa 解得解得1 1a = b = -.a = b = -.2 2韦达定韦达定理理例例4 4 不等式不等式 对所有实数对所有实数 都成立，求都成立，求a a的取值范围的取值范围. .2 2ax +(a-1)x+a-10ax +(a-1)x+a-10 x xR R分析：分析：一元二次函数一元二次函数 开口向下，开口向下，且与且与x轴无交点轴无交点. .解：解：(1)(1)当当 时，不等式为时，不等式为不符

7、合题意不符合题意. .(2)(2)当当 时，则时，则解之得解之得综上所述，综上所述， 的取值范围是的取值范围是 1 1a a| | a a - -. .3 3a =0a =0-x-10,即-x-1 -1.x -1.aa0 0 2 2a0,a0,=(a-1) -4a(a-1)0.=(a-1) -4a(a-1)0.1 1a -.a0,k0,k0,方k0,方程程2x +kx-k =02x +kx-k =0有两个不相等的实数根有两个不相等的实数根, 所以不等式所以不等式 2 22 2x x + +k kx x- -k k0 0的的解解集集是是-k-k(k+8)-k+k(k+8)-k-k(k+8)-k+

8、k(k+8)xx;xx;4444(3)(3)当当时2 2 0 0, ,即即- -8 8 k k 0 0, ,方方程程2 2x x + +k kx x- -k k = =0 0无实数根无实数根, 2 22 2x x + +k kx x- - k k0 0的的.所以不等式所以不等式解集为解集为 所所以以不不等等式式，或或2 2k k2 2x x + +k kx x- -k k0 0的的解解集集是是 - -即即 2 2 0 0 . .4 4(2)(2)当当，时2 2= =0 0即即k k = = - -8 8或或k k = =0 0, ,方方程程2 2x x + +k kx x- -k k = =0

9、 0有两个相等的实数根，有两个相等的实数根，例例6 6 解关于解关于 的不等式的不等式2 2a ax x - -( (a a+ +1 1) )x x+ +1 1 0 0. .x x分析：分析：题中二次项系数含有参数，因此要分题中二次项系数含有参数，因此要分及及.为当时当时为原原不不等等式式可可化化 (ax-1)(x-1)0.(ax-1)(x-1)1(1) a =0,x11 1(2) a0，(2) a0.(x-)(x-1)0.a a11111, 1, x或x1.x1.aaaa解解：当时为则则解集为则1 1(3) a0，(3) a0，不不等等式式化化 (x-)(x-1)0.(x-)(x-1)0.a

10、 a1111若若1,即1,x1,x1,即1,即0a1, 1x.0a1, 1x.aaaa 综为：当时当时当时当时当时上上所所述述，原原不不等等式式的的解解集集1 1a a 0 0，x x x x 1 1 ；a a = = 0 0，x x x x 1 1 ；a a1 10 0 a a 1 1，x x 1 1 x x 1 1，x x x x 0,0, = 0,= 0, 0 0 0的的解解集集为为 x x - - x x 0 0. .解：解：由根与系数的关系，得由根与系数的关系，得 112112-+= -,-+= -,32a32a11c11c- - =.=.32a32a解得解得a = -12,c =

11、2.a = -12,c = 2. 为为22222 2不不等等式式-cx +2x-a0即-cx +2x-a0即-2x +2x+120.-2x +2x+120.x -x-60的x -x-60的解解集集x -2x3 .x -2x3 .2.2.不等式不等式 恒成立，恒成立，试求试求 的取值范围的取值范围. .2 2(a-2)x +(a-2)x+1(a-2)x +(a-2)x+10 0a a解：解：由题意知：由题意知： 当当 ，即，即 时，不等式化为时，不等式化为当当 ，即，即 时，原不等式等价于时，原不等式等价于恒成立，满足条件恒成立，满足条件. . 10,10,a-2=0a-2=0a = 2a =

12、2a-2a-20 0aa2 226.aa综上， 的取值范围为 解：解：原不等式可化为原不等式可化为 它所对应的二次方程的两根为它所对应的二次方程的两根为 当当 即即 时，时， 原不等式的解集为原不等式的解集为 ； 当当 即即 时，原不等式的解集为时，原不等式的解集为 ； 当当 即即 时，时， 原不等式的解集为原不等式的解集为( (x x- -3 3a a) )( (x x+ +2 2a a) ) 0 0. .3.3.解关于解关于 的不等式的不等式2222x -ax-6a 0.x -ax-6a 0.xa 0a 3a,-2a 3a, x 3a x -2ax 3a x -2a-2a = 3a,-2a = 3a,a = 0a = 0-2a3a,-2a 0 0 x -2ax3a .x -2ax0a0时，时， ；x -2ax3ax -2ax3a当当a=0a=0时，时，；当当a0a0时，时， x 3a x -2ax 3a x -2a .1.1.三个三个“二次二次”的关系的关系一元二次不等式解的端点值是对应一元二次方程的根，一元二次不等式解的端点值是对应一元二次方程的根，也是对应一元二