【原创】广东省中山市2020届高三上学期期末试题（数学文）及答案

1、绝密启用前2020届广东省中山市高三上学期期末数学（文)试题试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第I卷（选择题)请点击修改第I卷的文字说明评卷人得分一、单选题1集合，则（ ）ABCD2已知是虚数单位，复数满足，则（ ）ABCD53计算的结果为（ ）ABCD4“”是直线与圆相切的（ ）A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件5下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（ ）ABCD6若,则( )ABCD

2、7下图是某公司2018年1月至12月空调销售任务及完成情况的气泡图，气泡的大小表示完成率的高低，如10月份销售任务是400台，完成率为90%，则下列叙述不正确的是（ ）A2018年3月的销售任务是400台B2018年月销售任务的平均值不超过600台C2018年第一季度总销售量为830台D2018年月销售量最大的是6月份8已知满足不等式组则的最小值为（ ）A2BCD19已知函数的最小正周期是，若，则（ ）ABC1D-110我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语，“堑堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵

3、，若，当阳马体积最大时，则堑堵的外接球体积为（ ）ABCD11已知数列是各项均为正数的等比数列，为数列的前项和，若，则的最小值为（ ）A9B12C16D1812已知函数（其中无理数），关于的方程有四个不等的实根，则实数的取值范围是（ ）ABCD第II卷（非选择题)请点击修改第II卷的文字说明评卷人得分二、填空题13等差数列的前项和为，若，是方程的两根，则：_.14如图所示，已知正方形，以对角线为一边作正，现向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为_15已知向量与的夹角是，且，则向量与的夹角是_.16已知函数，若有，则实数的取值范围是_评卷人得分三、解答题17设为数列的前项和，已知，.（1

4、）证明为等比数列；（2）判断，是否成等差数列？并说明理由.18为检查某工厂所生产的8万台电风扇的质量，抽查了其中20台的无故障连续使用时限（单位：小时） 如下：248 256 232 243 188 268 278 266 289 312274 296 288 302 295 228 287 217 329 283分组频数频率频率/组距总计0.05（1）完成频率分布表，并作出频率分布直方图；（2）估计8万台电风扇中有多少台无故障连续使用时限不低于280小时；（3）用组中值（同一组中的数据在该组区间的中点值）估计样本的平均无故障连续使用时限.19已知的三个内角，所对的边分别为，.（1）若，求；（

5、2）若，试判断的形状.20如图1，在矩形ABCD中，AB4，AD2，E是CD的中点，将ADE沿AE折起，得到如图2所示的四棱锥D1ABCE，其中平面D1AE平面ABCE.(1)证明：BE平面D1AE；(2)设F为CD1的中点，在线段AB上是否存在一点M，使得MF平面D1AE，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由21已知函数，其中为自然对数的底数.（1）求函数的最小值；（2）若都有，求证：.22在直角坐标系中,曲线经过伸缩变换后得到曲线.以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为.(1)求曲线的参数方程;(2)若分别是曲线上的动点,求的最大值.23已知函数.（1）若不等

6、式的解集，求实数的值.（2）在（1）的条件下，若存在实数使成立，求实数的取值范围.试卷第5页，总6页参考答案1D【解析】由题意得，选D2A【解析】【分析】利用复数乘法和除法运算求得，进而求得的模.【详解】依题意，所以.故选：A【点睛】本小题主要考查复数乘法和除法运算，考查复数的模的计算，属于基础题.3B【解析】【分析】根据诱导公式，化简三角函数值；再根据正弦的差角公式合并即可得到解。【详解】所以选B【点睛】本题考查了三角函数诱导公式、正弦差角公式的简单应用，属于基础题。4C【解析】【分析】由圆的方程得到圆心坐标和半径，使得圆心到直线的距离等于圆的半径，得到的值，即可得到结论.【详解】由圆，可得

7、圆心为，半径直线与圆相切，“”是直线与圆相切的充要条件，故选C【点睛】本题主要考查了充要条件的判定及应用，其中解答中涉及到直线与圆的位置关系的判定及应用，以及充要条件的判定，其中熟记直线与圆的位置关系的判定方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力.5C【解析】【分析】用面面平行的性质判断的正确性.利用线面相交来判断的正确性，利用线线平行来判断的正确性.【详解】对于，连接如图所示，由于，根据面面平行的性质定理可知平面平面，所以平面.对于，连接交于，由于是的中点，不是的中点，所以在平面内与相交，所以直线与平面相交.对于，连接，则，而与相交，即与平面相交，所以与平面相交.对于，连接，则，

8、由线面平行的判定定理可知平面.综上所述，能得出平面的图形的序号是.故选：C【点睛】本小题主要考查线面平行的判定，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于基础题.6D【解析】分析：三个对数的底数和真数的比值都是，因此三者可化为的形式，该函数为上的单调增函数，从而得到三个对数的大小关系.详解：，令，则在上是单调增函数.又，所以即.故选D.点睛：对数的大小比较，要观察不同对数的底数和真数的关系，还要关注对数本身的底数与真数的关系，从而找到合适的函数并利用函数的单调性比较对数值的大小.7D【解析】【分析】根据图形中给出的数据，对每个选项分别进行分析判断后可得错误的结论【详解】对于选项A，由图可得3月份的销

9、售任务是400台，所以A正确对于选项B，由图形得2018年月销售任务的平均值为，所以B正确对于选项C，由图形得第一季度的总销售量为台，所以C正确对于选项D，由图形得销售量最大的月份是5月份，为800台，所以D不正确故选D【点睛】本题考查统计中的识图、用图和计算，解题的关键是从图中得到相关数据，然后再根据要求进行求解，属于基础题8D【解析】不等式组对应的可行域如图所示，因为所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距离的倍，由可行域可知点A（2,0）到直线x+y-1=0的距离最短，故故选D.点睛：本题的关键是找到的几何意义，要找到的几何意义，必须变形，所以z表示可行域内一点到直线x+y-1=0距

10、离的倍.突破了这一点，后面的解答就迎刃而解了.9D【解析】【分析】根据的最小正周期求得，由列方程，利用诱导公式求得.【详解】由于的最小正周期为，所以，所以.所以.由得.所以.故选：D【点睛】本小题主要考查根据三角函数的周期求参数，考查诱导公式，属于基础题.10B【解析】【分析】根据体积的最大值求得此时的长，判断出球心的位置，求得的外接球的半径，进而求得球的体积.【详解】依题意可知平面.设，则.，当且仅当时取得最大值.依题意可知是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为，故半径.所以外接球的体积为.特别说明：由于平面，是以为斜边的直角三角形，所以堑堵外接球的直径为为定值，即无论阳马体积是否取

11、得最大值，堑堵外接球保持不变，所以可以直接由直径的长，计算出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B【点睛】本小题主要考查几何体外接球的体积的求法，考查四棱锥体积最大值的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，考查中国古代数学文化，属于基础题.11D【解析】【分析】将已知条件转化为的形式，结合基本不等式求得的最小值.【详解】由得，所以.所以.当且仅当时取得最小值.故选：D【点睛】本小题主要考查等比数列基本量的计算，考查利用基本不等式求最值，考查化归与转化的数学思想方法属于中档题.12C【解析】【分析】利用导数研究的单调性和极值，由此画出的图像.令，将方程有四个不等的实根转化为在上各有一实根来

12、求解，结合二次函数的根的分布列不等式，解不等式求得的取值范围.【详解】依题意可知函数的定义域为.且.所以在上递增，在上递减，且，由此画出的图像如下图所示.令，则的单调性与相同，且.关于的方程有四个不等的实根，所以，即在上各有一实根.令，所以，即，所以.所以实数的取值范围是.故选：C【点睛】本小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值，考查根据方程零点的个数求参数的取值范围，考查数形结合的数学思想方法，考查化归与转化的数学思想方法，属于难题.1352【解析】【分析】利用根与系数关系，等差数列前项和公式，求得的值.【详解】由于，是方程的两根，所以，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查根与系数关系

13、，考查等差数列前项和公式，考查等差数列的性质，属于基础题.14【解析】分析：设正方形的边长为2，则，根据为正三角形，分别求出和阴影部分面积，利用面积比即可求得概率.详解：设正方形的边长为2，则.为正三角形阴影部分面积为向四边形区域内投一点，则点落在阴影部分的概率为故答案为.点睛：（1）当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，要考虑使用几何概型求解；（2）利用几何概型求概率时，关键是试验的全部结果构成的区域和事件发生的区域的寻找，有时需要设出变量，在坐标系中表示所需要的区域；（3）几何概型有两个特点：一是无限性，二是等可能性，基本事件可以抽象为点，尽管这些点是无限的，但它们所占据的的区域是

14、有限的，因此可用“比例解法”求解几何概型的概率.15【解析】【分析】首先根据，求得，由此利用夹角公式计算出向量与的夹角的余弦值，由此求得向量与的夹角.【详解】由两边平方并化简得，即，即.所以，由于，所以.故答案为：【点睛】本小题主要考查向量模、数量积的运算，考查向量夹角公式，考查运算求解能力，属于中档题.16【解析】，函数在R上为增函数，由题意得，。，解得。实数的取值范围是。答案：点睛：本题考查了用函数单调性解不等式的问题，同时也考查了学生观察问题分析问题的能力，由题意得到是解题的关键，在此基础上将不等式化为的形式，下一步需要由函数的单调性求解，在分析可得函数为增函数，所以根据单调性的定义将函

15、数不等式转化为一般不等式求解。17（1）证明见解析 （2）成等差数列，理由见解析【解析】【分析】（1）由递推关系求得，通过计算，证得数列为等比数列.（2）由（1）求得数列的通项公式，由分组求和法求得，证得，所以，成等差数列.【详解】（1）证明：，由题意得，是首项为2，公比为2的等比数列.（2）由（1），.，即，成等差数列.【点睛】本小题主要考查根据递推关系证明等比数列，考查分组求和法，考查等差数列的证明，属于基础题.18（1）见解析 （2）3.6万台 （3）269小时【解析】【分析】（1）根据题目所给数据求得频数、频率以及频率/组距，填写好表格并画出频率分布直方图.（2）计算出无故障连续使用时

16、限不低于280小时的频率，再乘以万，求得估计8万台电扇中有3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时.（3）利用每组中点值成立对应的频率，然后相加，求得样本的平均无故障连续使用时限的估计值.【详解】（1）频率分布表及频率分布直方图如下所示：分组频数频率频率/组距10.050.002510.050.002520.100.005030.150.007540.200.010060.300.015020.100.005010.050.0025总计201.000.05（2）（万）.答：估计8万台电扇中有3.6万台无故障连续使用时限不低于280小时.（3）（小时）.答：样本的平均无故障连续使用时限为26

17、9小时.【点睛】本小题主要考查绘制频率分布直方图，考查利用频率分布直方图计算频率、频数，平均数，考查数据处理能力，属于基础题.19（1） （2）直角三角形【解析】【分析】（1）利用余弦定理将已知条件转化为边的形式，求得，再利用余弦定理求得的值，结合同角三角函数的基本关系式求得的值.（2）结合已知条件得到， 结合为锐角，求得，由此证得三角形是直角三角形.【详解】（1），或（舍去），.（2），或，为锐角.（舍去），为直角三角形.【点睛】本小题主要考查余弦定理解三角形，考查同角三角函数的基本关系式，考查化归与转化的数学思想方法，属于中档题.20（1）证明见解析（2）线段AB上存在满足题意的点M，且【

18、解析】【分析】（1）先计算得BEAE，再根据面面垂直性质定理得结果，（2）先分析确定点M位置，再取D1E的中点L，根据平几知识得AMFL为平行四边形，最后根据线面平行判定定理得结果.【详解】(1)证明连接BE，ABCD为矩形且ADDEECBC2，AEB90°，即BEAE，又平面D1AE平面ABCE，平面D1AE平面ABCEAE，BE平面ABCE，BE平面D1AE.(2)解AMAB，取D1E的中点L，连接AL，FL，FLEC，ECAB，FLAB且FLAB，FLAM，FL=AMAMFL为平行四边形，MFAL，因为MF不在平面AD1E上， AL平面AD1E，所以MF平面AD1E.故线段AB上存在满足题意的点M，且.【点睛】本题考查线面平行判定定理以及面面垂直性质定理，考查基本分