【课件】1.3.1二项式定理

1、( a + b ) 2 =22a +2ab+b思考思考:(:(a+b)a+b)4 4的展开式是什么的展开式是什么? ? 3223a + 3a b + 3ab + b( a + b ) 3 =复复 习：习：次数次数: :各项的次数等于二项式的次数各项的次数等于二项式的次数项数项数: :次数次数+1+1( a + b ) 2 =22a +2ab+b3223a + 3a b + 3ab + b( a + b ) 3 =复复 习：习：(a+b)2 (a+b) (a+b) 展开后其项的形式为：展开后其项的形式为：a2 ， ab ， b2这三项的系数为各项在展开式中出现的次数。考虑这三项的系数为各项在展开

2、式中出现的次数。考虑b恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C21种，则种，则ab前的系数为前的系数为C21恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C22 种，则种，则b2前的系数为前的系数为C22每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C20 ,则则a2前的系前的系数为数为C20(a+b)2 = a2 +2ab+b2 C20 a2 + C21 ab+ C22 b2(a+b)3=a3 + 3a2b+3ab2 + b3= C30a3 +C31a2b+C32ab2 +C33 b3对对(a+b)(a+b)2 2展开式的分析展开式的分析(a+b)4 (a+b) (a+b) (a+b) (a+b)

3、？问题：问题：1)(a+b)4展开后各项形式分别是什么？展开后各项形式分别是什么？2)各项前的系数代表着什么？各项前的系数代表着什么？a4 a3b a2b2 ab3 b4各项前的系数各项前的系数 代表着这些项在展开式代表着这些项在展开式中出现的次数中出现的次数每个都不取每个都不取b的情况有的情况有1种，即种，即C40 ,则则a4前的前的系数为系数为C40恰有恰有1个取个取b的情况有的情况有C41种，则种，则a3b前的系数为前的系数为C41恰有恰有2个取个取b的情况有的情况有C42 种，则种，则a2b2前的系数为前的系数为C42恰有恰有3个取个取b的情况有的情况有C43 种，则种，则ab3前的系

4、数为前的系数为C43恰有恰有4个取个取b的情况有的情况有C44种，则种，则b4前的系数为前的系数为C44则则 (a+b)4 C40 a4 C41 a3b C42 a2b2 C43 ab3 C44 b43)你能分析说明各项前的系数吗？你能分析说明各项前的系数吗？a4 a3b a2b2 ab3 b4( a + b ) n=0n1n-12n-22nnnn-11n-1nnnnC a + C ab +C ab +Ca b+C b(a+b)(a+b)n n的展开式是：的展开式是：一般地，对于一般地，对于n N*有有011222()nnnnnnnrnrrnnnnabC aC abC abC abC b 二项

5、定理二项定理(a+b)n是n个(a+b)相乘， 每个（a+b）在相乘时有两种选择，选a或b. 而且每个(a+b)中的a或b选定后才能得到展开式的一项。对于每一项akbn-k，它是由k个(a+b)选了a，n-k个(a+b)选了b得到的，它出现的次数相当于从n个(a+b)中取k个a的组合数，将它们合并同类项，就得二项展开式，这就是二项式定理。由分步计数原理可知展开式共有2n项 （包括同类项），其中每一项都是akbn-k的形式，k=0，1，n；定理的证明定理的证明n0n1n-12n-22nnnrn-rrnnnn(a + b) = C a + C ab + C ab + C ab + C b二项式定理

6、：二项式定理： n Nn N * *注注:(1) :(1) 上式右边为上式右边为二项展开式二项展开式, , 各项次数都等于二项式的次数各项次数都等于二项式的次数(2) (2) 展开式的项数为展开式的项数为 n+1 n+1 项；项；(3) (3) 字母字母a a按降幂排列按降幂排列, ,次数由次数由n n递减到递减到0 0 字母字母b b按升幂排列按升幂排列, ,次数由次数由0 0递增到递增到n n(4)(4)二项式系数可写成组合数的形式二项式系数可写成组合数的形式, , 组合数的下标为二项式的次数组合数的下标为二项式的次数 组合数的上标由组合数的上标由0 0递增到递增到n n(5) (5) 展

7、开式中的第展开式中的第 r + 1 r + 1 项，项，即通项即通项 T Tr r+1+1 =_ =_；rrn-rnC abn0n1n-12n-22nnnrn-rrnnnn(a + b) = C a + C ab + C ab + C ab + C b二项式定理：二项式定理： n Nn N * *(6) (6) 二项式系数为二项式系数为 _；rnC项的系数为项的系数为 二项式系数与数字系数的积二项式系数与数字系数的积在二项式定理中，令在二项式定理中，令a=1a=1，b=xb=x，则有：，则有：n122rrnnnnnn(1+x) =1+C x+C x +C x +C x在上式中，令在上式中，令

8、x = 1x = 1，则有：，则有：n012rnnnnnn2 = C +C +C +C +C例例1 1、展开、展开 4)11(x 2 2、展开、展开6)12(xx 3 3、求、求( (x+a)x+a)1212的展开式中的倒数第的展开式中的倒数第4 4项。项。4 4、(1)(1)求求(1+2(1+2x)x)7 7的展开式中第的展开式中第4 4项的系项的系数。数。(2)(2)求求( (x x ) )9 9的展开式中的展开式中x x3 3的系数。的系数。1x例例2(1)2(1)求求 的展开式常数项；的展开式常数项； (2)(2)求求 的展开式的中间两项的展开式的中间两项. .93()3xx93()3xx练习练习1.1.求（求（2 2a+3ba+3b）6 6的展开式的第的展开式的第3 3项项. . 2. 2.求（求（3 3b+2ab+2a）6 6的展开式的第的展开式的第3 3项项. .3.3.写出写出 的展开式的第的展开式的第r+1r+1项项.