数学高考导数难题导数零点问题导数整理

1、含参导函数零点问题的几种处理方法方法一：直接求出，代入应用 对于导函数为二次函数问题，可以用二次函数零点的基本方法来求。(1)因式分解求零点1312例 1 讨论函数f(x) ax _(a )x2x1(a：=R)的单调区间32解析：即求f(x)的符号问题。由f(x)二ax2- (2a 1)x 2 = (ax-1)(x-2)可以因式分方法二：猜出特值，证明唯一对于有些复杂的函数，有些零点可能是很难用方程求解的方法求出的，这时我们可以考虑用特殊值去猜出零点，再 证明该函数的单调性而验证其唯一性。11例 4 讨论函数f (x) = (x _a _1)ex十x3_ (a+1)x2十ax，a = R，的极

2、值情况32解析：f(x) = (x-a)exx2-(a 1)x a = (x - a)(ex x-1)，只能解出f (x)的一个零点为a,其它的零点就 是ex x -1 =0的根，不能解。例 5( 2011 高考浙江理科)设函数f(x)=(x-a)2lnx,aR(I)若x =e为y = f (x)的极值点，求实数a2(n)求实数a的取值范围，使得对任意的(0,3e,恒有f(x)乞4e成立(注：e为自然对数)，方法三：锁定区间，设而不求对于例 5,也可以直接设函数来求，当0：x叮时，对于任意的实数a,恒有f (x)乞0：4e2成立当1：x乞3e,由题意，首先有a会发现f(x) =0的解除了X=a

3、外还有2ln x 1=0 的解，显然无法用特殊值猜出。xa令h( x) = 2ln x 1 -，注意到h(1) = 1 -a：0,h(a) = 2ln a 0,x故f(x) =0在(1,a)及(1, 3e)至少还有一个零点，又h(x)在(0, +)内单调递增，所以函数h(x)在(1,3e内有唯一零点，但此时无法求出此零点怎么办。我们可以采取设而不求的方法，记此零点为怡，则1：x0： ：a。从2 2f (3e)二(3e - a)ln(3e)乞4e ,解得3e2e.ln(3e)2e、ln(3e)a由f (x) =(x_a)(2ln x 1_)，但这时x3e且h(3e)二2ln(3 e) 1 - -

4、 2ln(3 e) 13e2e.ln(3e)3e=2(l n3e-一3jl n(3e)0。而，当x (0风)时，f (x) 0；当x (x,a)时，f (x) a；当x (a,：)时，f (x) 0，即f (x)在(0,灯内单调递增，在(xD,a)内单调递减，在 母)内单调递增。所以要使f(x)兰4e2对xE(1,3e】恒成立，只要f(3e) =(3e_a) In(3e)乞4e ,(2)h(x0) =2ln x01= 0,知a =21 n瓦x0(3)将(3)代入(1)得4x02In3_ 4e2，又瓦J1，注意到函数x21n3x在1,+ g)内单调递增，故lYxo辽e。再由(3)以及函数2xln

5、 x x在(1.+ + g)内单调递增，可得3e_ In(3e)例 6 已知函数f(x)二ax xl n|x b |是奇函数，且图像在(e, f (e)(e 为自然对数的底数)处的切线斜率为 3(1)求a,b的值(2)若k Z，且k：丄凶对任意x -1恒成立，求k的最大值。2例 7(2009 高考全国n理科)设函数f x =x aln 1 x有两个极值点xx2,1 _ 2ln2且xx2(I )求a的取值范围，并讨论f(x)的单调性；(ll )证明：f(x2)J方法四：避开求值，等价替换。对于有些函数的零点问题，可能用方法一、二、三都无法解决，这是我们可以考虑回避求其零点。 避开方法：放缩不等式

6、例 8 设函数f (x)二ex-1x - ax2(I)若a =0，求f (x)的单调区间(n)若当x _ 0时，f (x) _ 0,求a的取值范围。与例 8 类似，下面的 2010 高考全国n理科的最后一题，也是这样的处理方法。设函数f x =1 - elx(I)证明：当x-1时，f X _；(n)设当x一0时，f x冬ax 1，求 a 的取值范围.心)讥“)21沁2,(1)成立。2ex -1例1.己知函数几工)=111何+%为常数)是实数集R上的奇函数，函数g(x) = 2/(x)+sinx是区 间一1, 1上的减陞数.(球a的值；(II若g(x)G：+刀+1在疋-1, 1上恒成立，求t的取

7、值范围.III)讨论关于X的方程 =x2-2空+加的根的个数。/(X)变式 1.若 g(x) = 61nx + 7：问是否存在实数 m,使得 y=f (x) =-x:+ 8x 的图象与 y=g (x)的图象有且只有两个不同的交点？若存在，求出 m 的值；若不存在，说明理由.变式人 己知函数金戶一丫+&,g(x)=61nx+加 I)求几丫)在区间附1上的最大值砂(II)是否存在实数加，使得)Tit)的图象与y=g(x)的图象有且只有三个不同的交点？若存在，求岀加的 取值范囤门若不存在，说明理由。例 2、己知函釣 flK)=ax3+hx23x 存 x=+1 处取得极值.(I )求函数 to

8、o 的解析式；(II)求证：对于区间-b 1上任意两个自变量的值 X】,X2,都有|伽)一如 04;(III)若过点 A (1, m) (mH2)可作曲线 y=Rx)的三条切线，求实数 m 的取值范围.变式 4.己知函/(.Y)= 6Inx-av2-8x +b(a.b为常数)，且 v =3 为 f(x)的一个极值点.(I )求 a：0),函数 y=g (x)的图像与 x 轴有两个交点，其交点横坐标分别为日,七(月l 对，设屯，耳是方程r4,试判断工厂 x2, x3,耳的 大小关系变式 6.设函数/(.v) = ex-w一兀其中m e R (1)求函数/(X)的最值；1 时，函数/(x)在区间(

9、加,2 加)内是否存在零点。例1设函数/何=3-“)5求实数“的取值 范围,使得对任意的xe(O.3e,恒有/(%)W4J成立.例2设函数/(x) = e2,-anx.(1)讨论/(X)的导函数广的零点的个数;(2)证明：当Q0时，f(x) 2a +aIn.例例3设函数设函数/(x) = .t(e*-l)-ar ,若当兀若当兀MO时时, , / /何何MO ,求求d的取值范围的取值范围. .例例4已知函数已知函数/(x) = lir(l +.r)-, ,求函数求函数I T兀兀/d)的极值的极值. .（人为滞欽（人为滞欽e = 2.71828-是自然对数的底数是自然对数的底数).).曲线曲线y=

10、/(在点在点(1 /(!)处的切处的切线与线与x轴平行轴平行. .(1)求求* *的值；的值；(2)求求/(/( 的单调区间；的单调区间；(3)设设& &何何=(/+=(/+ / /3其中厂何是其中厂何是/(/( 的导数的导数. . 证明证明: :对任意对任意xO9g(x) 1 +e2例例6设函数设函数/(.r) = ln(.r + l) + (.t2- .r),其中其中 eR .讨论函数讨论函数/ /何极值点的个数，何极值点的个数，并说明理由并说明理由. .例1（2013年课标n理21）已知函数/（工）=$ ）n（x +rn）. 0.=xnx +W R）.（I）若函数/（x）

11、在区间, +x）上为增函9数，求d的取值范围；（II ）若对任意工W （1,+8）JQ）虹工一1） + or 2恒成立，求正整数k的值.例3（2014年新课标U文21）已知函数/（x） = x3 3尤2 +ar+2,曲线，=/（x）在点（0, 2）处的切线与x轴交点的横坐标为一2（I）求（H）证明：当&VI时，曲线y = g与直线y =虹一2只有一个交点.例4（2015年郑州模拟21）已知函数/（x）=lnxax2+JT,Q R（I）求函数/1工）的单调区间；（n）是否存在实数-使得函数/（X）的极值 大于0,若存在，求a的取值范围；若不存在，请说 明理由.1.设函数/（工）=-or-

12、2.,（1）求门工）的单调区间；（11）若=1必为整数，且当工0时（工一b） f S+工+1 0,求k的最大值.2.已知函数/W=紗+工2十血+1在（一1,0）上有两个极值点 q ,比，且 Q |例5已知函数/（兀）今-3-1,其中为实数.当攵 M *时,若关于x的不等 式/（兀）M0恒成立，试求a的取值范围.例1（2007年安徽高考题）设常数a M0,函数/（兀）=% -ln2x + 2aln x - 1 ,x e （0,+ 8 ）.（1）求证l/U）在（0,+ 8）上是增函数;（2）求证:当* 1时，恒有例2 （ 2008年湖南髙考题）已知函数心）r （1+4亡，求函数心的单调区间.例例3

13、已知函数已知函数/(/(兀兀) )=yax2+ 2x(i # 0).g( (尤尤)=)=In x.是否存在实数是否存在实数a 0,使得方使得方 程今程今. .二厂二厂( (戈戈)-)-(2a + l)在区间在区间( (+，e)内内 有且只有两个不相等的实数根有且只有两个不相等的实数根? ?若存在，求出若存在，求出a的的取值范围取值范围? ?若不存在若不存在, ,请说明理由请说明理由. .例4已知函数/(切=x + (a e R),Xg(x)= In X.若关于兀的方程空必=/(x)-X2e(e为自然对数的底数)只有一个实数根，求。的值.例6 (2010年海南与宁夏高考题)若Vx M 0,e”

14、3 1 + % + aX ,求的取值范围.例1(2013年江苏省高考理科第20题第(11)题)设函数f(x)= In.vax g( x) = exax其中a为实数(I)若/S )在(l.+ oo)上是单调减函数口gd)在(1 .+ )上有最小值，求a的取值范围;(II )若g(%)在(一1 + * )上是单调增函 数试求f(x)的零点个数并证明你的结论.例2(2013年陕西省高考理科第21题第(II)题)12知函数f(x)= e .xE R.(I)若宜线y= H + l与/(x)的反函数的图 象相切求实数*的值；(II)设兀0.讨论|11|线y= /(x )与|11|线y =mx2,(m 0

15、)公共点的个数.(III)设a A例3(2013年广东省高考理科第21题第(II)题)设函数 /(x) =(A： 1) exkx2.A- C R.(I)当人=1时.求函数f(x)的单调区间：(II)当A G(+!求函数/(咒)在0.A上的最大值M 例5(2013年安徽省高考理科第20题)设K) 证明：9(1)对每个C N存在唯一的知G亏1满足fn(Xn)=0；(11)对任意I)G N* .|1|(1)中肌构成的数列 Xn满足0 VXn Xnp0存在唯一的.、使/=/($)(III )设(II)中所确定的S关丁 7 的函数为”=g(f)证明:当t e时右舟 -J-函数(兀)=1+兀+歩+器+( (兀兀GR 例7(2013年陕西省高考理科第21题第(III)题改编)C知函数/(x)= e* .x 6 R.对于给定的a.b(a与.例3 (2014年辽宁卷)已知函数=8cos% - x)(IT+ 2x)-亍(sin x +1)g(x)=3(% ir)cos x - 4( l + sinx)In证:存在唯一衍W (o,于)，使/(%)= 0；(2)存在唯一衍e(于,“)，使g( = 0,且对(I )中的x0+ Z| 1T.例4(2014年山东卷)设函=4-fc(+ lnx)(为常数,e = 2.718 28 是