切线长定理 (3)

1、 O P 1、如下左图，点、如下左图，点A在在 O上，上，P是是 O外一点，外一点，OAP是直角，是直角，PA是是 O的切线吗？为什么？的切线吗？为什么？2、如何过、如何过 O外一点外一点P作作 O的切线，这样的切线能作几条？的切线，这样的切线能作几条？ B A如右图所示如右图所示切线长定义：切线长定义： 在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长。在下图中，在下图中，PA、PB是是 O的两条切线，的两条切线，切点分别是切点分别是A、B，沿直线，沿直线OP将图形对将图形对折，你发现了什么

2、？折，你发现了什么？1、图形是、图形是 对称图形，对称图形，该图形关于该图形关于 对称；对称；2、PA= ， =BPO轴轴直线直线OPPBAPO你能从理论上说明你的结论吗你能从理论上说明你的结论吗?请你尝试证明一下好吗？请你尝试证明一下好吗？证明：连接证明：连接OA、OB PA、PB是是 O的切线的切线 PAOA、PBOB 即即POA、POB是直角三角形是直角三角形 又又OA=OB、OP=OP POA POB PA=PB、APO=BPO 已知如图，已知如图，P是是 O外一点，连接外一点，连接PO,PA、PB是是 O的两条切线，切点分别是的两条切线，切点分别是A、B，求证：求证：PA=PB、AP

3、O=BPO如右图所示如右图所示切线长定理：切线长定理： 从圆外一点引圆的两条切线，从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，它们的切线长相等，这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。这点和圆心的连线平分两条切线的夹角。PA、PB分别切分别切 O于于A、BPA = PB1=2OAB12符号表示符号表示如图，如图，PA、PB是是 O的两条切线，切点分别是的两条切线，切点分别是A、B，直线直线OP交交 O于点于点D、E，交，交AB于点于点C. （1） AD 与与BD是否相等？为什么？是否相等？为什么？（2）OP与与AB有怎样的位置关系？为什么？有怎样的位置关系？为什么？ B A P D C O E 解

4、：（解：（1） AD = BD PA、PB是是 O的切线的切线 PAO=PBO=90 APO=BPO AOD=BOD AD = BD（2）PA、PB是是 O的切线，的切线，A、B为切点为切点 PA=PB 又又APO=BPO OPAB，AC=BC 即即OP垂直平分线段垂直平分线段AB。切线长定理的基本图形的研究PA、PB是 O的两条切线，A、B为切点，直线OP交于 O于点D、E，交AB于C。BAPOCED（1）写出图中所有的垂直关系OAPA，OB PB，AB OP（3）写出图中所有的全等三角形AOP BOP， AOC BOC， ACP BCP（4）写出图中相等的圆弧（5）写出图中所有的等腰三角形

5、ABP， AOB（6）若PA=4、PD=2，求半径OA（2）写出图中与OAC相等的角OAC=OBC=APC=BPC（2）已知OA=3cm,OP=6cm，则APB= PABCO60（4）OP交 O于M，则 ， M牛刀小试牛刀小试（3）若P=70，则AOB= 110（1）若PA=4、PM=2，求圆O的半径OA OA=3 P O B A D C P B O A1 1、过圆外一点可以作圆的、过圆外一点可以作圆的 条切线，过圆上一点可以作圆条切线，过圆上一点可以作圆的的 条切线。条切线。2 2、如图，、如图，O O的半径是的半径是5 5，P P为为O O外一点，外一点，PAPA、PBPB是是O O的切线

6、，的切线，A A、B B为切点，为切点，APB=90APB=90, ,则则PA= ,PO= ,AB= PA= ,PO= ,AB= 。3 3、如图，、如图，P P是是O O的直径的直径ABAB的延长线上一点，的延长线上一点，PCPC、PDPD切切O O于点于点C C、D D，若，若PA=6PA=6，O O的半径为的半径为2 2，则，则PCPC的长为的长为 ，CPD= CPD= 。（第（第2题）题）（第（第3题）题）21552526023。PBAO反思：在解决有关圆的切线长的问题时，往往需要我们构建基本图形。（3）连结圆心和圆外一点（2）连结两切点（1）分别连结圆心和切点 切线长定理为证明切线长定

7、理为证明线段相等，角相等，弧线段相等，角相等，弧相等，垂直关系相等，垂直关系提供了提供了理论依据。必须掌握并理论依据。必须掌握并能灵活应用。能灵活应用。 O D C B A 如图，如图，AB是是 O的弦，的弦，BD切切 O于点于点B，ODOA，与，与AB相相交于点交于点C，求证：，求证：BD=CD。 OBA+3=90 OB=OA OBA=A 3+A=90又又ODOA 1+A=90 1=3又又1=2 2=3 BD=CD 3 2 1解：连接解：连接OB，则，则OBBD例例2、如图，四边形、如图，四边形ABCDABCD的边的边ABAB、BCBC、CDCD、DADA和圆和圆O O分别分别相切于点相切于

8、点L L、M M、N N、P P，求证：求证： AD+BC=AB+CDAD+BC=AB+CDDLMNABCOP证明：由切线长定理得证明：由切线长定理得AL=APAL=AP，LB=MB,NC=MCLB=MB,NC=MC， DN=DPDN=DPAL+LB+NC+DN=AP+MBAL+LB+NC+DN=AP+MB+MC+DP+MC+DP 即即 AB+CD=AD+BCAB+CD=AD+BC补充：补充：圆的外切四边形的两组对边的和相等圆的外切四边形的两组对边的和相等 练习练习1.（口答）如（口答）如图所示图所示PA、PB分别切分别切圆圆O于于A、B，并，并与圆与圆O的切线分别的切线分别相交于相交于C、D

9、，已知，已知PA=7cm，(1)求求PCD的周长的周长(2) 如果如果P=46,求求COD的度数的度数C OPBDAE练习2：已知：P为 O外一点，PA、PB为 O的切线， A、B为切点，BC是直径。 求证：ACOPPCAOBD E F C B O A 已知：已知：ABC内接于内接于 O，过点，过点A作直线作直线EF。（1）如左图，）如左图，AB是直径，要使得是直径，要使得EF是是 O的切线，还要添加的切线，还要添加的条件可以是（只需写出的条件可以是（只需写出3种情况）：种情况）： 或或 或或 ；（2）如右图，）如右图，AB为非直径的弦，为非直径的弦，CAE=B。求证：。求证：EF是是 O的切线。的切线。 D C B O A E F 1、如图，已知AB、AC是 O的切线，B、C为切点，连结BC交AO于D. 若AD=6，AO=8，求切线AB的长； 若BC=4，BAO=30，求 O的直径。C OABD OABCDE2、如图，AB是 O的直径，AD、DC、BC是切线，点A、E、B为切点，若BC=9，AD=4，求OE的长. OABCDEF1.切线长定理切线长定理 从圆外一点引圆的两条切线，它们的切从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 小小 结：结：APO。BECDPA、PB分别切分别切