概率论第1章3-6

1、和事件 积事件 差事件 互斥事件 互逆事件 完备事件组复 习1. 事件的关系事件的关系2. 事件的运算事件的运算交换律 结合律 分配律 对偶律 自反律3. 概率的公理化定义概率的公理化定义三个公理： 非负性归一性可数可加性4. 概率的运算性质概率的运算性质:加法公式：减法公式：P()( )( )P(AB)ABP AP B()( )()P ABP AP AB()P ABC( )( )( )()()()()P AP BP CP ABP BCP ACP ABC1.3 古典概型与几何概型古典概型与几何概型1.3.1 古典概型古典概型古典概型：古典概型：若一随机试验具有下面两个特征：若一随机试验具有下面

2、两个特征：（1） 所有的基本事件数为有限个；所有的基本事件数为有限个；（2） 每个基本事件出现的可能性相同。每个基本事件出现的可能性相同。则称该随机试验为古典概型（等可能概型）。则称该随机试验为古典概型（等可能概型）。古典概型中事件古典概型中事件A的计算：的计算：( )AP A 中包含的基本事件个数(r)基本事件总数(n)例例1 将一枚硬币抛掷三次将一枚硬币抛掷三次. (1)设事件设事件A1为为“恰有一次出现正恰有一次出现正面面”, 求求P(A1); (2) 设事件设事件A2为为“至少有一次出现正面至少有一次出现正面”, 求求P(A2).83)(1AP解解 (1) 随机事件的样本空间随机事件的

3、样本空间: S= HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT .而而A1=HTT,THT,TTH .故得故得.87811)(1)(,)2(222APAPTTTA于于是是由由于于例例2 100件产品有件产品有60个一等品，个一等品，30个二等品，个二等品，10个废品，规定个废品，规定一二等品都为合格品，一二等品都为合格品，(1) 从中任意取两件，求两件产品有一从中任意取两件，求两件产品有一件一等品一件次品的概率；件一等品一件次品的概率； (2) 这批产品的合格率。这批产品的合格率。解解：（：（1）设事件设事件A表示取得一件一等品一件次品，则基本事表示取得一件一等品一件次品，则

4、基本事件总数为件总数为 ，A包含的基本事件数为包含的基本事件数为 ，故，故2100nC116010rC C60 104( )133100 992P A（2）设事件）设事件B表示产品为合格品，则产品合格率为事件表示产品为合格品，则产品合格率为事件B的的概率概率P(B)，B包含的基本事件数为包含的基本事件数为 ，基本事件总数，基本事件总数为为: , 故产品合格率为：故产品合格率为： 190rC1100nC90( )90%100P B 例例 3 将将 只球放入只球放入 个盒子里，试求每个盒子至多有个盒子里，试求每个盒子至多有一只球的概率（盒子容量不限）。一只球的概率（盒子容量不限）。Nn()Nn解：

5、基本事件总数为解：基本事件总数为 ，每个盒子至多放一只球，共有，每个盒子至多放一只球，共有 种不同放法，于是种不同放法，于是nN(1)(1)N NNn(1)(1)nN NNnPN例例 4 某班有某班有30名学生，试求该班至少有两名学生生日相同的名学生，试求该班至少有两名学生生日相同的概率。概率。例例 4 据调查，某部门接待站在某一周曾接待过据调查，某部门接待站在某一周曾接待过12次来访，已次来访，已知这知这12次来访接待的时间都是在周一和周五进行的，问是否可次来访接待的时间都是在周一和周五进行的，问是否可以推断接待来访的时间是特意安排的？以推断接待来访的时间是特意安排的？解：设事件解：设事件A

6、表示至少有两名学生生日相同，基本事件总表示至少有两名学生生日相同，基本事件总数为数为 ， 表示表示30个学生生日各不相同，则其基个学生生日各不相同，则其基本事件总数为本事件总数为 ，从而，从而30365n A365 364(365301)r 30365 364336( )1( )10.706365P AP A 思路：假设接待站来访的时间是每周的任意一天，而来访思路：假设接待站来访的时间是每周的任意一天，而来访者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，者在一周的任一天中去接待站是等可能的，那么，12次接次接待来访者都是在周一周五的概率为待来访者都是在周一周五的概率为12122773 10 实际

7、推断原理实际推断原理例例 5 袋中有袋中有a只白球，只白球，b只红球，只红球，k个人依次在袋中取一球，求个人依次在袋中取一球，求（1）作放回抽样（）作放回抽样（2）作不放回抽样，求第）作不放回抽样，求第i（i=1,2k）人取）人取到白球（记为到白球（记为B）的概率。（其中）的概率。（其中k不大于不大于a+b）11( )/kka ba baP BaAAab 解：（解：（1）放回抽样）放回抽样( )aP Bab各取一球共有取法各取一球共有取法 (a+b)(a+b-1)(a+b-k+1)。B发生，第发生，第i人取白球有人取白球有a种取法，其余有种取法，其余有 (a+b-1)(a+b-2)(a+b-1

8、-(k-1)+1), 即即B事件包含事件包含a(a+b-1)(a+b-2)(a+b-1-(k-1)+1)个基个基本事件，于是本事件，于是（2）不放回抽样）不放回抽样kabA11ka bA 1.3.2 几何概型几何概型引例：设引例：设S为一区域，某质点等可能的落在位于区域中的任一为一区域，某质点等可能的落在位于区域中的任一点，点，A为为S子区域，求质点位于子区域，求质点位于A的概率的概率P(A). 由等可能的假定知，质点位于由等可能的假定知，质点位于A的概率与的概率与A的度量成正比，的度量成正比，因此，因此，P(A)可定义为：可定义为：( )( )( )AP AS( )A为为A的度量，可以是长度

9、，面积，体积等几何度量。的度量，可以是长度，面积，体积等几何度量。这种方法定义的概率称为几何概率几何概率例例6 甲乙两人相约在甲乙两人相约在0到到T这段时间内，在预定地点会面。先这段时间内，在预定地点会面。先到者等待到者等待 t 时离去时离去(tT)，设两人在，设两人在0到到T这段时间内各时刻到这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连。求甲、乙两达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不牵连。求甲、乙两人能会面的概率人能会面的概率P(A).解：以解：以x，y表示甲乙两人到达的时刻，则表示甲乙两人到达的时刻，则0,0,xTyT即即( , ) 0,0,Sx yxTyT两人能会面的充

10、要条件为：两人能会面的充要条件为：|,xyt即即( , ) |,Ax yxyt所以所以2222( )()( )1 (1)( )ATTttP ASTT 例例7 （Buffon投针问题）投针问题） 在平面上画有等距离的一些平行线，在平面上画有等距离的一些平行线，距离为距离为 ，向平面上随意投掷一长为，向平面上随意投掷一长为 的针，的针，al ()la试求试求A=“针与平行线相交针与平行线相交”的概率的概率P(A).解：解：设设M为针的中点，为针的中点，x表示表示M点与最近的一条平行线的距离，点与最近的一条平行线的距离，表示针与最近的平行线的交角，易知：表示针与最近的平行线的交角，易知：:0,2aS

11、x0.而针与平面相交的充要条件为而针与平面相交的充要条件为：sin2lx故所求概率为：故所求概率为：0sin( )22( )( )2ldAlP AaSa 若以频率代替概率，则有若以频率代替概率，则有2mlna即即2nlma统计试验法统计试验法蒙特卡罗方法蒙特卡罗方法(Monte-Carlo)1.4 条件概率与乘法定理条件概率与乘法定理1.4.1 条件概率条件概率引例引例 某班有某班有30名学生，其中女生名学生，其中女生12名，男生名，男生18名，女生中有名，女生中有2人人喜欢看足球赛，男生中有喜欢看足球赛，男生中有10人喜欢看。先从该班中随意挑选一位人喜欢看。先从该班中随意挑选一位学生。考虑：

12、学生。考虑：定义：在事件定义：在事件B已经发生的条件下，事件已经发生的条件下，事件A发生的概率，称为事发生的概率，称为事件件A对于事件对于事件B的条件概率。记为：的条件概率。记为：(|)P A B( )0P B 当时，有()(|)( )P ABP A BP BA=“该生喜欢看足球赛该生喜欢看足球赛”；B=“该生为男生该生为男生”；该生喜欢看足；该生喜欢看足球赛（已知该生为男生），此事件记为球赛（已知该生为男生），此事件记为|A B( )P A 10181230( )P B 1830(|)P A B ()( )P ABP B()?P AB 1030例例7 市场上供应的灯泡中，甲厂产品占市场上供应

13、的灯泡中，甲厂产品占70%，乙厂产品占，乙厂产品占30%，甲厂产品的合格率为甲厂产品的合格率为95%，乙厂产品合格率为，乙厂产品合格率为80%，现随意买，现随意买一只灯泡，若用一只灯泡，若用 分别表示该灯泡是甲乙厂生产的，分别表示该灯泡是甲乙厂生产的，B表示该表示该灯泡为合格品，试计算下面的概率：灯泡为合格品，试计算下面的概率：,A A( ),( ),(|),(|),(|),(|)P AP AP B AP B AP B AP B A解：解： 依题意依题意( )0.7, ( )0.3, (|)0.95, (|)0.8P AP AP B AP B A(|)0.05, (|)0.2P B AP B

14、A进一步可得进一步可得例例8 设某种动物活到设某种动物活到20岁以上的概率为岁以上的概率为0.8，活到，活到25岁以上的岁以上的概率为概率为0.4，现在有一个，现在有一个20岁的这种动物，问它能活到岁的这种动物，问它能活到25岁以岁以上的概率是多少？上的概率是多少？解：设事件解：设事件A表示表示“活到活到20岁以上岁以上”；事件；事件B表示表示“活到活到25岁岁以上以上”，则有，则有P(A)=0.8,P(B)=0.4,由于由于 ，则，则 ，BAABB()0.4.P AB 故故()0.4(|)0.5( )0.8P ABP B AP A1.4.2 乘法定理乘法定理定理定理1.1 (乘法公式乘法公式

15、) 设设A,B为二事件，若为二事件，若( )0,P B 则()( ) (|)P ABP B P A B一般地，对多个事件一般地，对多个事件123,nA A AA12()0,nP A AA若则有12121312121()() (|) (|)(|)nnnP A AAP A P AA P AA AP AA AA条件概率实质是缩减了样本空间例例9 猎手在距猎物猎手在距猎物10米远处开枪，击中概率为米远处开枪，击中概率为0.6，若击不，若击不 中，中，待开第二枪时猎物已逃至待开第二枪时猎物已逃至30米远处，此时击中概率为米远处，此时击中概率为0.25，若再击不中，则猎物已逃至若再击不中，则猎物已逃至50

16、米远处，此时只有米远处，此时只有0.1的击中概的击中概率率 ，求猎手在三枪内击中猎物的概率。，求猎手在三枪内击中猎物的概率。解：,1,2,3iA i 以分别表示“第i枪击中猎物”，则所求概率为123().P AAA123123123()1()1()P AAAP AAAP A A A 1213121() (|) (|)P A P AA P AA A 1 (1 0.6)(1 0.25)(1 0.1)0.73. 例例10 10个考签中有四个难签，个考签中有四个难签，3人参加抽签，不放回，甲人参加抽签，不放回，甲乙丙顺序抽，求甲抽到难签，甲乙都抽到难签，甲没抽到乙丙顺序抽，求甲抽到难签，甲乙都抽到难签

17、，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲乙丙都抽到难签的概率。难签而乙抽到难签以及甲乙丙都抽到难签的概率。甲、乙、丙抽到难签的概率是否相等？甲、乙、丙抽到难签的概率是否相等？1.5 1.5 概率基本公式概率基本公式1.5.1 全概率公式怎样从已知的简单事件的概率去推算出复合事件的概率？怎样从已知的简单事件的概率去推算出复合事件的概率？ 把一个复合事件分解为若干个互斥的简单事件之和，再把一个复合事件分解为若干个互斥的简单事件之和，再通过分别计算这些简单事件的概率得到最终结果。通过分别计算这些简单事件的概率得到最终结果。定理定理1.2 （全概率公式）（全概率公式）1,2,., ,.,in则对任一随机事件B

18、，有12,nA AA设事件组为完备事件组，且()0,iP A 1( )() (|)iiiP BP A P B A证明提示：证明提示：12.nBAAA 1212(.).nnBBB AAABABABA 注注2：若随机试验可以看成分两个阶段（层次）进行，且第一若随机试验可以看成分两个阶段（层次）进行，且第一阶段的各试验结果具体发生了哪一个未知，要求的是第二阶段阶段的各试验结果具体发生了哪一个未知，要求的是第二阶段的结果发生的概率，则用全概率公式。的结果发生的概率，则用全概率公式。注注3：应用公式时，必须首先找出引发该事件的完备事件组。应用公式时，必须首先找出引发该事件的完备事件组。注注1：上述和式既

19、可以是有限和，也可以是级数和，事件组也上述和式既可以是有限和，也可以是级数和，事件组也1iiBA 不必是完备事件组，只要是不必是完备事件组，只要是两两互斥两两互斥的且的且 即可即可。推论推论1.6 设有事件设有事件A，且，且0P(A)0，则有下边公式成立：，则有下边公式成立：1() (|)(|)(1,2,., )() (|)iiiniiiP A P B AP A BinP A P B A后验概率公式后验概率公式注注1 若随机试验可以看成分两个阶段（层次）进行，且第一若随机试验可以看成分两个阶段（层次）进行，且第一阶段的各试验结果具体发生了哪一个未知，但第二阶段阶段的各试验结果具体发生了哪一个未

20、知，但第二阶段的某一个结果已知，要求的是此结果为第一阶段某个结的某一个结果已知，要求的是此结果为第一阶段某个结果所引起的概率。则肯定用果所引起的概率。则肯定用Bayes公式。公式。注注2 (|)iP A B是试验结果是试验结果B发生之后对各种发生之后对各种“原因原因”的重新度量。的重新度量。这种条件概率称为后验概率。这种条件概率称为后验概率。例例3(P31-20) 对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为产品的合格率为98%，当机器发生某种故障时，其合格率为，当机器发生某种故障时，其合格率为55%，每天早上机器开动时，机器调整良好的

21、概率为每天早上机器开动时，机器调整良好的概率为95%，试求已知某，试求已知某日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？日早上第一件产品是合格品时，机器调整得良好的概率是多少？解：解： 设设A表示机器调整良好，则表示机器调整良好，则 表示机器发生某种故障，表示机器发生某种故障，B表示表示产品为合格品。由题意可得：产品为合格品。由题意可得：A( )95%, ( )5%, (|)98%, (|)55%P AP AP B AP B A由贝叶斯公式，所求概率为：由贝叶斯公式，所求概率为：( ) (|)0.931(|)0.970.9585( ) (|)( ) (|)P A P B AP A

22、BP A P B AP A P B A解：解：( )95%, ( )5%, (|)1(|)0.05, ( )0.005P AP AP A CP A CP C 由贝叶斯公式，所求概率为：由贝叶斯公式，所求概率为：( ) (|)(|)0.087( ) (|)( ) (|)P C P A CP C AP C P A CP C P A C例例4 根据临床记录某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以根据临床记录某种诊断癌症的试验具有如下效果：若以A表表示事件示事件“试验反应为阳性试验反应为阳性”，以，以C表示表示“被诊断者患有癌症被诊断者患有癌症”，则有则有 ，现对自然人群普查，设被试，现对自然人群普查，设

23、被试验的人患癌症的概率为验的人患癌症的概率为0.005，求，求 (|)0.95, (|)0.95P A CP A C(|).P C A 和和 的区别。的区别。(|)P C A(|)P A C小小 结结1.古典概率，几何概率古典概率，几何概率2.条件概率，乘法定理条件概率，乘法定理3.全概率公式全概率公式4.贝叶斯公式贝叶斯公式1.61.6事件的独立性与重复独立试验事件的独立性与重复独立试验1.6.1 事件的独立性定义定义1.4-1：若事件若事件A发生的可能性不受事件发生的可能性不受事件B发生与否的影响，发生与否的影响，(|)( )P A BP A即：，则称事件则称事件A对于事件对于事件B独立。

24、独立。定义定义1.4-2：若事件若事件A和和B满足满足()( ) ( )P ABP A P B则称事件则称事件A与事件与事件B相互独立。相互独立。定理定理1.4若四对事件若四对事件, ; , ; , ; ,A B A B A B A B中有一对是相互独立的，中有一对是相互独立的，则另外三对也是相互独立的。则另外三对也是相互独立的。推广：推广：n个事件相互独立个事件相互独立注注1：若事件：若事件 相互独立，则有相互独立，则有12,.,nA AA121(.)()nniiP A AAP A注注2：若事件：若事件 相互独立，则有相互独立，则有12,.,nA AA11()1()nniiiiPAP A 例

25、例1 甲乙丙三部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内他甲乙丙三部机床独立工作，由一个工人照管，某段时间内他们不需要工人照管的概率分别为们不需要工人照管的概率分别为0.9，0.8及及0.85。求在这段时间。求在这段时间内有机床需要工人照管的概率及机床因无人照管而停工的概率。内有机床需要工人照管的概率及机床因无人照管而停工的概率。解：解： 用事件用事件A,B,C分别表示在这段时间内机床甲乙丙不需分别表示在这段时间内机床甲乙丙不需工人照管，依题意，工人照管，依题意，A，B，C，相互独立，并且，相互独立，并且( )0.9, ( )0.8, ( )0.85P AP BP C()1()1( ) ( )

26、 ( )P ABCP ABCP A P B P C 1 0.6120.388 ()P ABBCAC0.1 0.20.2 0.150.1 0.152 0.1 0.2 0.15 0.059例例2 甲乙两射手独立的射击同一目标，他们击中目标的概率分甲乙两射手独立的射击同一目标，他们击中目标的概率分别为别为0.9和和0.8，求在一次射击中，目标被击中的概率。，求在一次射击中，目标被击中的概率。解：以A表示“甲击中目标”，B表示“乙击中目标”，则A与B独立，P(A)=0.9，P(B)=0.8，所求概率为()( )( )()P ABP AP BP AB( )( )( ) ( )P AP BP A P B0

27、.98()()()2 ()P ABP BCP ACP ABC1A2AnA1A2AnA串联系统并联系统对串联系统，系统能正常工作的概率为对串联系统，系统能正常工作的概率为对并联系统，系统能正常工作的概率为对并联系统，系统能正常工作的概率为12()nP A AA12()nP AAA例例3 电路由电池电路由电池A与两个并联的电池与两个并联的电池B，C串联而成，设电池串联而成，设电池A，B，C损坏与否是相互独立的，他们损坏的概率依次为损坏与否是相互独立的，他们损坏的概率依次为0.3，0.2，0.2.求该电路发生间断的概率。求该电路发生间断的概率。ABC解：解：设设123,A A A分别表示分别表示A，

28、B，C工作正常，则由题知，电路能正常工作的概率工作正常，则由题知，电路能正常工作的概率为为 123(),P A AA故电路发生间断的概率为：故电路发生间断的概率为：1231()PP A AA 12131()P A AA A 12131231()()()P A AP A AP A A A 12131231() ()() ()() () ()P A P AP A P AP A P A P A 1 0.7 0.80.7 0.80.7 0.8 0.80.328 1.6.2 重复独立试验 若每次试验的样本空间都是一样的，有关事件的概率若每次试验的样本空间都是一样的，有关事件的概率也保持不变，而且每次试验之间互不影响，这类试验称为也保持不变，而且每次试验之间互不影响，这类试验称为重复独立试验。重复独立试验。问题：问题：若一次试验中事件若一次试验中事件A发生的概率为发生的概率为p，那，那n次重复独立试验次重复独立试验(n重贝努里试验重贝努里试验)中该事件总共发生中该事件总共发生k次的概率是多少？次的概率是多少？kA以以表示表示“在第在第k次试验中次试验中A发生发生”，kB表示表示“n