现代控制理论 6-1 概念6-2 李雅普诺夫第一法(间接法)

1、线性连续系统 线性离散系统 c 可控性 可观性 稳定性 e a e a 现代控制理论提纲 建模 建模 状态空间 表达式 建立 求解 转换 分析 分析 设计 设计 状态反馈 状态观测器 最优控制 t y c 返回 第六章 李雅普诺夫稳定性分析 c 1 李雅普诺夫意义下的稳定性 2 李雅普诺夫第一法(间接法 3 李雅普诺夫第二法(直接法 4 应用李雅普诺夫方法分析线性 定常系统的稳定性 t y c 1 第六章 李雅普诺夫稳定性分析 c 1 李雅普诺夫意义下的稳定性 2 李雅普诺夫第一法(间接法 e a e a 3 李雅普诺夫第二法(直接法 4 应用李雅普诺夫方法分析线性 定常系统的稳定性 t y

2、c 一、概述 稳定性是系统性能研究的首要问题 控制系统的重要性质! 正常工作的首要条件! 控制系统原处于平衡状态。受到扰动，产生偏差。 扰动消失以后，偏差渐小，能恢复到原来平衡状 态，则稳定。偏差渐大，不能恢复到原来平衡状 态，则不稳定。 c 系统在初始偏差作用下，过渡过程的收敛性！ t y c 2 经典控制理论 对稳定性描述的局限性 (1 局限于描述线性定常系统； (2 局限于研究系统的外部稳定性。 稳定性判据 c e a e a 劳斯 (Routh 判据； 奈氏 (Nyquist 判据； t y c 前页 返回 现代控制理论 对稳定性描述的特点 (1 稳定判据可用于线性/非线性，定常/时变

3、系统； (2 研究系统外部稳定性和内部稳定性； (3 能够反映系统稳定的本质特征。 稳定性判据 c 李雅普诺夫 (Lyapunov 稳定性理论； t y c 前页 返回 3 二、系统的外部稳定性 （输出稳定） 零初始条件下，对于任意一个有界输入，若 系统所产生的相应输出也是有界的，称该系统是 外部稳定的，简称 BIBO稳定。 系统外部稳定的充分必要条件： 传递函数矩阵中所有元素的极点全部 位于s左半平面。 & x = Ax + Bu y = Cx G (s = C (s I A B = 1 c e a e a t C (sI A * B sI A y c 学过 三、系统的内部稳定性 （系统状态

4、的稳定性李亚普诺夫稳定性） 1. 基本概念 2. 李雅普诺夫稳定性定义 3. 稳定的范围 4. 内部稳定与外部稳定的关系 c t y c 返回 4 1. 基本概念 & 设系统方程为： x = f (x, t & 展开式为： xi = f i ( x1,x2 ,L , xn ,t 方程的解为： c n 维状态向量 e a e a 不受外力 n 维向量函数 i = 1,2, L, n x(t ; x 0 , t0 初始时刻 初始状态向量 x(t0 ; x 0 , t0 = x 0 t y c & x = f (x, t 平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化。 & 线性定常系统： x = Ax &

5、 平衡状态 x e = Ax e = 0 c & x e = f (x e , t = 0 所有状态的变化速度为零，即是静止状态 A 0 x e = 0 一个平衡状态状态空间原点 A =0 无穷多个平衡状态 t y c 5 例：机械位移系统 & x (t , x (t c m e a k & m& = kx x x 1 选取 x = = & x2 x 返回 x x x2 & x1 = x2 状态方程 k & x2 = m x1 m x2 xe x1 平衡状态：xe = 0 t y c 0 前页 返回 平衡状态：各分量相对于时间不再发生变化。 & 非线性系统： x = f (x, t & 平衡状

6、态 x e = f (x e , t = 0 无穷多个平衡状态 c 所有状态的变化速度为零，即是静止状态 & x1 = x1 例： 3 & x2 = x1 + x2 x2 e a & x = f (x, t & x e = f (x e , t = 0 x1 = 0 3 x1 + x2 x2 = 0 0 0 0 xe1 = , xe2 = , xe3 = 1 1 0 t y c 6 例：分析单摆(Pendulum平衡状态的稳定性。 & 解： ML& + Mg sin = 0 & x1 = x 2 状态方程 g & x 2 = L sin x1 x2 = 0 & 平衡状态： x = 0 g l

7、sin x1 = 0 c e a e a x2 & 选取 x1 = , x2 = x2 e = 0 n x e = (n = 0 , 1, 2 ,L sin x1e = 0 0 t y c 例：分析单摆(Pendulum平衡状态的稳定性。 & 解： ML& + Mg sin = 0 c & 选取 x1 = , x2 = & x1 = x 2 状态方程 g & x 2 = L sin x1 平衡状态： K x e x e x e x e x e K x1 n x e = (n = 0 , 1, 2 ,L 0 t y c 7 平衡状态的稳定性： 系统在平衡状态邻域的局部的（小范围的） 动态行为。

8、线性系统：只有一个平衡状态，平衡状态的稳定性 能够表征整个系统的稳定性。 c e a e a 非线性系统：有多个平衡状态，且稳定性不同，需 结合初始条件考虑系统的稳定性。 t y c 欧式范数 2 2 x = x12 + x2 + L xn 表示向量x 的长度 x xe = 表示向量x 到xe 的距离 n=2 表示状态空间中，以xe为圆心，半径为c的圆 n=3 c (x1 x1e 2 + (x2 x2e 2 + L (xn xne 2 (x1 x1e 2 + (x2 x2e 2 =c x xe = x xe = (x1 x1e 2 + (x2 x2e 2 + (x3 x3e 2 表示状态空间中

9、，以xe为圆心，半径为c的球 t y c =c 8 例：机械位移系统 & x (t , x (t c m e a k & m& = kx x x 1 选取 x = = & x2 x 返回 x x x2 & x1 = x2 状态方程 k & x2 = m x1 m x2 xe x0 x1 平衡状态 xe = 0 t y c 0 前页 返回 欧式范数 2 2 x = x12 + x2 + L xn x xe = 表示向量x 到xe 的距离 当范数|xxe|限制在某一范围之内时， c e a 表示向量x 的长度 (x1 x1e 2 + (x2 x2e 2 + L (xn xne 2 可以表示为|xx

10、e| 。且具有明确的几何 意义。用此概念来分析系统的稳定性。 t y c 9 2. 李雅普诺夫稳定性定义 用状态向量到平衡点的范数来表示系统在 n维空间运动过程中，随时间推移状态向量与 平衡点之间的距离变化，存在以下三种情况： 李雅普诺夫意义下稳定 / 稳定 渐近稳定 不稳定 c e a e a t x0 xe t = t0 y c 返回 设系统初始状态位于以平衡状态 xe 为球心， 为半径的闭球域 S(内，即 若能使系统方程的解在 t 的过程中，始终位于 以 xe 为球心，任意规定的半径为 的闭球域 S( 内，即 x(t ; x 0 , tt x e t t0 c 则称系统的平衡状态 xe

11、在李雅普诺夫意义下稳定。 t y c 稳定 前页 返回 10 几何意义： 任给一个球域 S(，若存在一个球域 S(，使 得当 t 时，从 S(出发的轨迹不离开 S(，则 称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。 x2 初始状态有界，随时 间推移，状态向量距平衡 点的距离可以维持在一个 确定的数值内，而到达不 了平衡点。 n=2 n=3 S ( c 圆 e a e a 球 t S ( xe x0 y c x1 S ( 前页 返回 几何意义： 任给一个球域 S(，若存在一个球域 S(，使 得当 t 时，从 S(出发的轨迹不离开 S(，则 称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。 x2 若 与初

12、始时刻t0 无 关，则称系统的平衡状态 c xe 是一致稳定的。 时变系统 与t0 有关 定常系统 与t0 无关 t xe x0 y c x1 S ( 前页 返回 11 几何意义： 任给一个球域 S(，若存在一个球域 S(，使 得当 t 时，从 S(出发的轨迹不离开 S(，则 称系统的平衡状态是李雅普诺夫意义下稳定的。 x2 S ( c e a e a x2 S ( t c S ( xe x0 y c x1 S ( 前页 返回 当系统作不衰减 的振荡运动时，将描 绘出一条封闭曲线， 只要不超出 S(，则 认为是稳定的。 x0 x1 与经典控制理论中线性定常系统 稳定性的定义不同！ t y c

13、前页 返回 12 & x1 = x2 例： & x2 = x1 c e a e a t 平衡状态 xe = 0 0 t 下的稳定性，且有 y c 前页 返回 设系统初始状态位于以平衡状态 xe 为球心， 为半径的闭球域 S(内，即 若系统的平衡状态 xe不仅具有李雅普诺夫意义 lim x(t ; x 0 , tt x e = 0 c x0 xe t = t0 则称此平衡状态是渐近稳定的。 若 与初始时刻t0 无关，则称系统的平衡状态xe 是一致渐近稳定的。 t y c 稳定 前页 返回 13 几何意义： 当 t 时，从 S(出发的轨迹不仅不超出 S(，而且最终收敛于xe ，则称系统的平衡状态是

14、 渐近稳定的。 间推移，状态向量距平衡 点可以无限接近，直至到 达平衡点后停止运动。 c 初始状态有界，随时 e a e a x2 S ( S ( x0 与经典控制理论中稳定性的定义相同！ t y c x1 稳定 前页 返回 几何意义： 当 t 时，从 S(出发的轨迹不仅不超出 S(，而且最终收敛于xe ，则称系统的平衡状态是 渐近稳定的。 c x2 S ( S ( x0 t y c x1 前页 返回 稳定 14 c e a e a & x = x 例： 1 2 & x2 = x1 x2 0 平衡状态 x e = 0 t 称此平衡状态是不稳定的。 几何意义： 初始状态有界，随 时间推移，状态向量距 平衡点越来越远。 y c 前页 返回 如果对于某个实数 0 和任一个实数 0， 不管这两个实数有多么小，在 S( 内总存在着一 个状态 x0 ，由这一状态出发的轨迹超出 S( ，则 c x2 S ( t xe y c x0 S ( x1 稳定 渐稳 15 与经典控制理论中的稳定性一致 G (s = c (sI A b = 1 C (s