小波信号去噪--武延亮

1、小波信号去噪小波信号去噪汇报人：西南石油大学2016年3月学号：汇报内容汇报内容一、简介简介二、小波变换模极大去噪二、小波变换模极大去噪 三、基于小波变换尺度间相关性的去噪三、基于小波变换尺度间相关性的去噪四、小波阈值去噪法四、小波阈值去噪法 简介：去噪必要性简介：去噪必要性设长度为设长度为 N的信号的信号 nf被噪声被噪声 ne所污染，所测得的含噪数据为：所污染，所测得的含噪数据为： nnnXfe目标目标: 求求f的最优逼近的最优逼近.假设条件假设条件: 高斯噪声高斯噪声基本策略基本策略: 变换到频域变换到频域(如小波域如小波域), 将信号的小波变换与噪声的小波将信号的小波变换与噪声的小波

2、变换分离变换分离.已知已知: 简介简介: : 去噪问题的描述去噪问题的描述简介简介: :去噪的主要方法去噪的主要方法简介简介: :去噪的主要方法去噪的主要方法含噪图像模型：,jijifjig原图像噪声分量,jiVjiXjiY简介简介: :去噪的主要方法去噪的主要方法汇报内容汇报内容一、简介简介二、小波变换模极大去噪二、小波变换模极大去噪 三、基于小波变换尺度间相关性的去噪三、基于小波变换尺度间相关性的去噪四、小波阈值去噪法四、小波阈值去噪法 信号的奇异性检测与小波模极大值Lipschitz指数 度量信号奇异性定理 ：若小波 是实函数且连续可微，并具有 阶消失矩（ ），则函数 在 处具有Lips

3、chitz指数 ，当且仅当存在常数 ，使得 ， 其小波变换满足：)(xnZn)()(2RLxf)(xf0 x0BxxK)2()(2jKxfWj小波变换模极大去噪小波变换模极大去噪 将根据信号与噪声的小波变换模极大在各尺度上的不同传播特性，介绍小波变将根据信号与噪声的小波变换模极大在各尺度上的不同传播特性，介绍小波变换模极大在信号去噪中的原理和方法。换模极大在信号去噪中的原理和方法。为了更好地将具有正为了更好地将具有正Lipschitz指数的信号与具有负指数的信号与具有负Lipschitz指数的噪声区别指数的噪声区别开，本节用开，本节用 sW f u替代替代 ( , )Wf s u作为作为 f

4、t的小波变换的小波变换.设设 01若若v为函数的局部奇异点，则存在一个常数为函数的局部奇异点，则存在一个常数 A,使得使得, 22jjWf uA或或 222loglogjWf uAj信号与噪声在小波变换各尺度上的模极大值具有截然不同的传播特性，这信号与噪声在小波变换各尺度上的模极大值具有截然不同的传播特性，这为利用小波变换模极大去噪提供了重要依据。为利用小波变换模极大去噪提供了重要依据。 小波变换模极大去噪小波变换模极大去噪 小波变换模极大去噪小波变换模极大去噪 小波变换模极大去噪小波变换模极大去噪 算法描述算法描述 算法的基本思想算法的基本思想是，根据信号与噪声在不同尺度上的模极大的不同传播

5、特性，是，根据信号与噪声在不同尺度上的模极大的不同传播特性，从所有小波变换模极大值中选择信号的模极大值而去除噪声的小波变换模极大值，从所有小波变换模极大值中选择信号的模极大值而去除噪声的小波变换模极大值，然后用剩余的小波变换模极大值去重构信号。然后用剩余的小波变换模极大值去重构信号。 理想的算法理想的算法是是,对信号进行连续小波变换对信号进行连续小波变换,寻找模极大曲线寻找模极大曲线 ,进而确定奇异点的进而确定奇异点的位置并计算该奇异点的位置并计算该奇异点的Lipschiz指数指数. 在离散的二进尺度下在离散的二进尺度下,可以用所谓可以用所谓ad hoc算法来搜索模极大曲线算法来搜索模极大曲线

6、 .从而可以给从而可以给出小波模极大去噪的基本算法出小波模极大去噪的基本算法 . 为简化计算为简化计算,我们可取消我们可取消Lipschitz指数的计算，而将噪声模极大值点的消除指数的计算，而将噪声模极大值点的消除包含在包含在ad hoc算法中，从而给出一个较实用的小波模极大去噪算法算法中，从而给出一个较实用的小波模极大去噪算法. 小波变换模极大去噪小波变换模极大去噪 小波变换模极大去噪小波变换模极大去噪 汇报内容汇报内容一、简介简介二、小波变换模极大去噪二、小波变换模极大去噪 三、基于小波变换尺度间相关性的去噪三、基于小波变换尺度间相关性的去噪四、小波阈值去噪法四、小波阈值去噪法 信号与噪声

7、的小波变换在各尺度下的不同传播特性表明，信号的小波变换在各信号与噪声的小波变换在各尺度下的不同传播特性表明，信号的小波变换在各尺度间有较强的相关性，而且在边缘处具有很强的相关性；而噪声的小波变换在各尺度间有较强的相关性，而且在边缘处具有很强的相关性；而噪声的小波变换在各尺度间确没有明显的相关性，而且，噪声的小波变换主要集中在小尺度各层次中。尺度间确没有明显的相关性，而且，噪声的小波变换主要集中在小尺度各层次中。 基于小波变换尺度间相关性的去噪基于小波变换尺度间相关性的去噪 根据信号与噪声的小波变换在不同尺度间的上述不同特点，我们可以通根据信号与噪声的小波变换在不同尺度间的上述不同特点，我们可以

8、通过将相邻尺度的小波系数直接相乘来增强信号，抑制噪声。过将相邻尺度的小波系数直接相乘来增强信号，抑制噪声。 基于小波变换尺度间相关性的去噪基于小波变换尺度间相关性的去噪 122( , )( )( )jjCor j nW f n Wf n基本概念和算法原理基本概念和算法原理:( , )( , )(1, )Cor j nW j n W jn或或 ( , )( , )/NCor j nCor j nPWjPCor j 2,nPWjWj n 2,nPCor jCor j n 下面以尺度下面以尺度j=1为例说明为例说明SSNF是如何区分该尺度下的信号与噪声的。是如何区分该尺度下的信号与噪声的。 （1）对

9、）对 1,2,nN，通过比较，通过比较 1,NCorn和和 1,Wn提取信号的边缘信息。提取信号的边缘信息。 的绝对值，的绝对值，|(1, )| |(1, )|NCornWn若若,则将则将n点处的变换点处的变换1,Wn赋值给赋值给 1,Wn然后将该点的小波系数然后将该点的小波系数1,Wn与相关系数与相关系数1,Corn都置为都置为0。 若若|(1, )| |(1, )|NCornWn,则该点的小波系数与相关系数保持不变则该点的小波系数与相关系数保持不变.基于小波变换尺度间相关性的去噪基于小波变换尺度间相关性的去噪 （2）1,Wn对对和 1,Corn按照步骤（按照步骤（1）处理）处理,得到次重要

10、的边缘信息得到次重要的边缘信息. 以上相关系数规范化、数据比较和边缘提取的过程可递归进行，直到以上相关系数规范化、数据比较和边缘提取的过程可递归进行，直到 1,Wn中尚未被抽取的点的能量近似等于该尺度下的噪声能量阈值为止。中尚未被抽取的点的能量近似等于该尺度下的噪声能量阈值为止。 问题问题: 噪声的能量如何计算噪声的能量如何计算?基于小波变换尺度间相关性的去噪基于小波变换尺度间相关性的去噪 噪声的能量的计算噪声的能量的计算:e假设假设服从正态的高斯分布服从正态的高斯分布 20,N，其中，其中 2为噪声的标准方差，为噪声的标准方差， 记为记为 2D e 222jjjW X nW f nW e n

11、. 由于由于 (2 , )2 ,2 ,jjjWXnWfnWen根据离散二进小波变换的滤波器算法，如图根据离散二进小波变换的滤波器算法，如图7.2a所示，有所示，有: 102 ,Wene gn 01212 ,jjjWene hhhgn 22200201()nnD e gD egg2220121(),2jjjnhhhgj基于小波变换尺度间相关性的去噪基于小波变换尺度间相关性的去噪 噪声的能量的计算噪声的能量的计算: SSNF方法中各尺度下递归过程的结束条件方法中各尺度下递归过程的结束条件 在尺度在尺度j下下, 当从当从 ,Wj n1,2,nN中已抽取中已抽取 K噪声能量阈值该如何取值？噪声能量阈值

12、该如何取值？ 个边缘点时，个边缘点时，2jNK含噪信号的噪声方差含噪信号的噪声方差 2的估计的估计: 01 /() /nPWNKg噪声主要分布在小尺度上，所以可以从最小的两个尺度层的小波变换估计噪声主要分布在小尺度上，所以可以从最小的两个尺度层的小波变换估计 。如果。如果 |(1, )| |(1, )|NCornWn，则将该点的小波系数，则将该点的小波系数 1,Wn置为置为0。 对每个小波系数做这样的一轮处理后，我们用对每个小波系数做这样的一轮处理后，我们用 1,Wn表示对表示对 1,Wn处理的结果处理的结果,则则基于小波变换尺度间相关性的去噪基于小波变换尺度间相关性的去噪 改进算法改进算法:

13、1引入系数比较的权重引入系数比较的权重3. 从大尺度到小尺度提取边缘信息从大尺度到小尺度提取边缘信息 2引入噪声能量的权重引入噪声能量的权重目的目的: 避免在小尺度上将许多噪声作为边缘被提取出来避免在小尺度上将许多噪声作为边缘被提取出来.考虑到信号与噪声在不同尺度下的能量大小的不同变化，需引入考虑到信号与噪声在不同尺度下的能量大小的不同变化，需引入一个噪声能量权重，以使噪声阈值更加合理一个噪声能量权重，以使噪声阈值更加合理 . 为避免从小尺度到大尺度的提取方法由于在小尺度上将过多的为避免从小尺度到大尺度的提取方法由于在小尺度上将过多的噪声作为边缘提取而影响去噪的质量。噪声作为边缘提取而影响去噪

14、的质量。 基于小波变换尺度间相关性的去噪基于小波变换尺度间相关性的去噪 基本原理基本原理 主要理论依据是，主要理论依据是， 系数幅值系数幅值. 经小波分解后，信号的小波系数幅值要大于噪声的经小波分解后，信号的小波系数幅值要大于噪声的具体处理过程为：具体处理过程为：将含噪信号在各尺度上进行将含噪信号在各尺度上进行(正交正交)小波分解，保留小波分解，保留大尺度（低分辨率）下的全部分解值；对于小尺度（高分辨率）下的大尺度（低分辨率）下的全部分解值；对于小尺度（高分辨率）下的分解值，可以设定一个阈值，幅值低于该阈值的小波系数置为零，高分解值，可以设定一个阈值，幅值低于该阈值的小波系数置为零，高于该阈值

15、的小波系数或者完整保留，或者做相应的于该阈值的小波系数或者完整保留，或者做相应的“收缩收缩（shrinkage）” 处理。最后将处理后获得的小波系数利用逆小波变处理。最后将处理后获得的小波系数利用逆小波变换进行重构，恢复出有效的信号。换进行重构，恢复出有效的信号。 阈值的选取方法，阈值的选取方法， 这里介绍最常用的这里介绍最常用的VisuShrink，这种方法采用全局，这种方法采用全局统一阈值统一阈值 2logN基于小波变换尺度间相关性的去噪基于小波变换尺度间相关性的去噪 汇报内容汇报内容一、简介简介二、小波变换模极大去噪二、小波变换模极大去噪 三、基于小波变换尺度间相关性的去噪三、基于小波变

16、换尺度间相关性的去噪四、小波阈值去噪法四、小波阈值去噪法 算法描述算法描述 1）计算含噪信号的）计算含噪信号的正交小波变换正交小波变换。常采用周期延拓方法。常采用周期延拓方法。 ,1,2LL kvk ,1,1,1,2jj kwjL LJk2）对小波系数进行）对小波系数进行非线性阈值处理非线性阈值处理为保持信号的整体形状不变，保留所有的低频变换系数为保持信号的整体形状不变，保留所有的低频变换系数 对每个小波系数，采用软阈值和硬阈值方法进行处理对每个小波系数，采用软阈值和硬阈值方法进行处理 (a) 硬阈值方法硬阈值方法 (b)软阈值方法软阈值方法特点特点:软阈值法获得的重构信号具有软阈值法获得的重

17、构信号具有更好的光滑性更好的光滑性,但误差相对较大但误差相对较大.硬阈值法获得的重构信号具有硬阈值法获得的重构信号具有更好的逼近性更好的逼近性,但有附加振荡但有附加振荡.3）进行小波逆变换。）进行小波逆变换。小波阈值去噪法小波阈值去噪法: :小波阈值收缩法小波阈值收缩法 原信号原信号含噪信号含噪信号软域值法软域值法(Sym8)软域值法软域值法(Haar) 平移不变量小波去噪方法不仅能有效的抑制伪吉布斯现象，而且能减小原始信号平移不变量小波去噪方法不仅能有效的抑制伪吉布斯现象，而且能减小原始信号和估计信号之间的均方根误差，是一种比阈值法有更好的去噪方法。和估计信号之间的均方根误差，是一种比阈值法

18、有更好的去噪方法。 Pseudo-Gibbs现象现象 产生的原因及解决方法产生的原因及解决方法: Pseudo-Gibbs现象和信号不连续点的位置有关，确切地说，是和信号的特征现象和信号不连续点的位置有关，确切地说，是和信号的特征（如不连续点）和小波基元素的特征之间的精确对准有关。（如不连续点）和小波基元素的特征之间的精确对准有关。 为了改进去噪效果，一个自然的想法就是通过平移含噪声信号来改变不连续点的为了改进去噪效果，一个自然的想法就是通过平移含噪声信号来改变不连续点的位置，对平移后的信号进行阈值法去噪处理，然后把去噪后的信号再进行相反的平位置，对平移后的信号进行阈值法去噪处理，然后把去噪后

19、的信号再进行相反的平移，便可以得到原信号的去噪信号。移，便可以得到原信号的去噪信号。 通常采用通常采用n次循环平移，并将每次平移去噪后的结果再进行平均，即所谓次循环平移，并将每次平移去噪后的结果再进行平均，即所谓“平移平移-去噪去噪-平均平均”的平移不变量（的平移不变量（Translation-invariant，简称，简称TI）小波去噪法。）小波去噪法。 ;nnhh Hhhh HT xSAveST S x|0nHhhn 平移不变量小波去噪方法可有效地去除伪吉布斯现象，表现出更好的视觉效果。平移不变量小波去噪方法可有效地去除伪吉布斯现象，表现出更好的视觉效果。小波阈值去噪法小波阈值去噪法: :

20、平移不变量平移不变量小波阈值去噪法小波阈值去噪法 软阈值软阈值(Sym8)软阈值软阈值(Haar)TI(Sym8)TI(Haar)TI基本算法的计算效率低基本算法的计算效率低,即我们需要计算原信号所有可能的循环平移即我们需要计算原信号所有可能的循环平移信号的小波变换。信号的小波变换。 基本性质基本性质:计算原信号及其循环平移计算原信号及其循环平移1的信号的的信号的DWT，并在每个分，并在每个分解级对低频信息重复这一小波变换过程，即可得到解级对低频信息重复这一小波变换过程，即可得到TI算法中的所算法中的所有可能的小波系数。有可能的小波系数。 快速算法的计算过程快速算法的计算过程: 设设 ,h g滤波器，滤波器， 表示正交小波变换的分析示正交小波变换的分析2Jn ,0Jx，.小波阈值去噪法小波阈值去噪法: :TI算法的快速实现算法的快速实现 11,0JShg222,1J2,1JHG01,1JShg222,2J2,2JHG01,0JShg222,0J2,0JHG11,1JShg222,3J2,3JHG小波阈值去噪法小波阈值去噪法: :TI算法的快速实现算法的快速实现 01,jkShg22,2jk,2jkHG11,jkShg22,21jk,21jkHG1,jJJL最后所得到的最后所得到的TI变换的结果为变换的结果为 ,0,21,J LJ