数列通项的求法ppt课件

1、 数列通项的求法数列通项的求法*1 1 用叠加法求数列的通项用叠加法求数列的通项即利用即利用 求求an.an.假设数列满足假设数列满足 其中其中f(n)f(n)是是易求和数列，那么可用累差法求易求和数列，那么可用累差法求anan 例例1 1 求数列求数列1 1，3 3，7 7，1313，2121，的一个通项公式的一个通项公式解：解： ),()()(123121nnnaaaaaaaa*),)(1Nnnfaann; 21312aa; 43723 aa; 671334 aa).1(21naann,) 1()1(321 21nnnaan以上以上n-ln-l个等式左右两边分别相加，得个等式左右两边分别相

2、加，得21,nann且且n=1n=1时，时，al=1al=1适宜上式，适宜上式，总结总结 我们应验证我们应验证n=ln=l时，时，al=1al=1适宜适宜21.nann2 2 用叠乘法求数列的通项用叠乘法求数列的通项v即利用即利用v v 假设数列假设数列anan满足满足 其中其中v数列数列f(n)f(n)前前n n项积可求，那么可用累商法求项积可求，那么可用累商法求anannnnnaaaaaaaaaaa求,.13423121),)(*1Nnnfaann 例例22在数列在数列anan中，中， 求通项求通项anan解：解：,1, 211nnannaa,1, 211nnannaa3241231234

3、, , , ,1231nnaaaanaaaan123121.nnnaaaaaaaa).2(2123122nnnn, 21a*).(2Nnnan又又3. 借助于等差、等比数列求通项公式：借助于等差、等比数列求通项公式：v例3.知数列an中,a1=2,an+1=2an+3,求an4. 4. 利用数列前利用数列前n n项和项和S nS n求通项公式：求通项公式：数列前数列前 n n 项和项和 Sn Sn 与与 an an 之间有如下关系：之间有如下关系：.,)(nnnnnaSnSSaSa求求由此即可由由此即可由2111例例 4 知知 Sn = 2 n2 + n 1 ，求数列的通项公式，求数列的通项公

4、式 an .解：解：an = Sn - Sn-1 = ( 2 n2 + n 1 ) - 2 (n- 1)2 + (n 1) - 1 = 4 n 1 ( n 2 ) .a1 = S1 = 2 12 + 1 1 = 2 .)(21421nnaan数数列列通通项项公公式式为为 有时，所给数列的通项有时，所给数列的通项 an 正好是另外某一数列的正好是另外某一数列的前前 n 项和，只需求得此和，即可求得项和，只需求得此和，即可求得 an . 例例 5 设数列设数列 a n 的前的前 n 项和项和 Sn 与与 an 的关系的关系是，是，Sn = k an + 1 ( 其中其中 k 是与是与 n 无关的实

5、数，且无关的实数，且 k 0， k 1)，求这个数列通项公式，求这个数列通项公式.解：解：an+1 = Sn+1 Sn = ( k an+1 + 1 ) - ( k an + 1 ) an+1 = k an+1 - k an .,nnakkak111由题设，由题设，S1 = k a1 + 1，即，即 a1 = k a1 + 1 (S1 = a1)，.ka111 a1 0 且且 an 0 (留意留意k 0) .11kkaann所以数列所以数列 a n 为等比数列为等比数列 .)(nnnnkkkkka111111v练习.v数列an满足a1+2a2+3a3+na n=n(n+1)(n+2),求an

6、例例 6 在数列在数列 a n 中，中，a1 = 1，且，且 n a n+1 = (n+1) an + 2n(n+1) (n = 1，2，3， ) ， 求数列的通项公式求数列的通项公式 . ),(321211nnanann解解：由由题题设设条条件件，得得1,2 .nnnnabbbn令则.,21111公公差差为为为为等等差差数数列列，首首项项abbn bn = 1 + 2 ( n 1 ) = 2n -1 .12 nnan数列的通项公式为数列的通项公式为 an = n ( 2n 1 ) .117 1(*)1.nnnnaaaanNa例在数列中，若，且，求数列的通项公式1111 11nnnnnaaaa

7、a：由 有解111 1 11 1,1,nnnnaaaa即是以为首项 为公差的等差数列11, .nnnaan所以 v1.数列an中，an+2=2an+1-an+2,求anv2.数列an,bn满足a1=2,b1=1,且an=an-1+bn-1+1,bn=an-1+bn-1+1(n2),cn=a n+b nv(1)求证c n为等差数列v2求an 小小 结结v数列的通项公式可以看作项数数列的通项公式可以看作项数n n的函数，求数列的通的函数，求数列的通项也就是求函数解析式要学会项也就是求函数解析式要学会“方式分析，层次处理方式分析，层次处理的解题战略，将求数列通项的方法与详细的数列模的解题战略，将求数

8、列通项的方法与详细的数列模型对应起来：型对应起来：v 1 1 型，用累加法：型，用累加法：v v v 2 2 型，用累乘法：型，用累乘法： )(1nfaann.)()()(112211aaaaaaaannnnn)(1ngaann112211.aaaaaaaannnnn3 3 型型(p(p、q q为常数为常数) )方法方法l l：先变形为：先变形为 再根据等比再根据等比 数列的相关知识求数列的相关知识求anan方法方法2 2：变为：变为 先求先求 的通的通 项，再用累加法求项，再用累加法求anan方法方法3 3： 先用累加法求先用累加法求 再求再求ananqpaann1),1(11pqappqa

9、nn),(11nnnnaapaa1nnaa111,nnnnnaaqppp,nnpa4 4 型型(p(p为常数为常数) )方法：变形得方法：变形得 那么那么 可用累加可用累加法法求出，由此求求出，由此求anan 5 5“知知SnSn求求anan型，利用型，利用n2n2时，时，an=Sn-Sn-1.an=Sn-Sn-1.)(1nfpaann,)(111nnnnnpnfpapannap假设以上方法都还不能得到处理，可以尝试利用假设以上方法都还不能得到处理，可以尝试利用“归纳归纳猜测猜测证明的思想方法去处理。证明的思想方法去处理。v 归纳法只作引见即可：归纳法只作引见即可：11711(*).nnnna

10、aaaanN例在数列中，若，且，求数列的通项公式.21111111121aaaa，解解：由由题题设设条条件件，得得,31211211223aaa,41311311334aaa,51411411445aaa.nan1可可以以猜猜想想这是不完全归纳这是不完全归纳法法, ,解选择解选择, ,填空填空题可用题可用v 下面用数学归纳法证明上面的结论：下面用数学归纳法证明上面的结论：v 当当 n = 1 时，公式显然成立时，公式显然成立 .kaknk1时时公公式式成成立立，即即假假设设当当.11111111kkkaaaknkkk时时，当当所以当所以当 n = k + 1 时公式也成立时公式也成立 .由、可知，公式对任何正整数由、可知，公式对任何正整数 n 都成立都成立 .nan1数数列列的的通通项项公公式式为为 注：注：“察看察看猜测猜测证明是求数列通项公式的根本证明是求数列通项公式的根本方