定 积 定 义ppt课件

1、定 积 分 的 定 义单位：信息与管文科学学院 abxyo? A)(xfy 姓名：张晓梅 第五章第五章 定积分定积分 第一节第一节 定积分的概念定积分的概念 一、问题的提出一、问题的提出 二、定积分的定义二、定积分的定义 三、存在定理三、存在定理 四、几何意义四、几何意义 曲曲边边梯梯形形由由连连续续曲曲线线实例实例1 1 求曲边梯形的面积求曲边梯形的面积)(xfy )0)( xf、x轴与两条直线轴与两条直线ax 、bx 所所围围成成.一、问题的提出abxyo? A)(xfy abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形总面积越接近显然

2、，小矩形越多，矩形总面积越接近曲边梯形面积曲边梯形面积四个小矩形四个小矩形九个小矩形九个小矩形察看以下演示过程，留意当分割加细时，察看以下演示过程，留意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系矩形面积和与曲边梯形面积的关系播放播放曲边梯形如下图，曲边梯形如下图，,1210bxxxxxabann 个个分分点点，内内插插入入若若干干在在区区间间abxyoi ix1x1 ix1 nx;,11 iiiiixxxxxnba长度为长度为，个小区间个小区间分成分成把区间把区间，上任取一点上任取一点在每个小区间在每个小区间iiixx ,1 iiixfA )( 为为高高的的小小矩矩形形面面积积为为为为底底，

3、以以)(,1iiifxx iniixfA )(1 曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积的近似值为iniixfA )(lim10 时，时，趋近于零趋近于零即小区间的最大长度即小区间的最大长度当分割无限加细当分割无限加细)0(,max,21 nxxx曲边梯形面积为曲边梯形面积为实例实例2 2 求变速直线运动的路程求变速直线运动的路程 设某物体作直线运动，已知速度设某物体作直线运动，已知速度)(tvv 是是时间间隔时间间隔,21TT上上t的一个连续函数，且的一个连续函数，且0)( tv，求物体在这段时间内所经过的路程，求物体在这段时间内所经过的路程.思绪：把整段时间分割成假设干小段，每小段思绪：把整段

4、时间分割成假设干小段，每小段上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，上速度看作不变，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后经过对时间的无限便得到路程的近似值，最后经过对时间的无限细分过程求得路程的准确值细分过程求得路程的准确值1分割分割212101TtttttTnn 1 iiitttiiitvs )( 部分路程值部分路程值某时辰的速度某时辰的速度2求和求和iinitvs )(1 3取极限取极限,max21nttt iniitvs )(lim10 路程的准确值路程的准确值设设函函数数)(xf在在,ba上上有有界界，记记,max21nxxx ，如如果果不不论论对对,ba在在,ba中中任任

5、意意插插入入若若干干个个分分点点bxxxxxann 1210把把区区间间,ba分分成成n个个小小区区间间，各各小小区区间间的的长长度度依依次次为为1 iiixxx，), 2 , 1( i，在在各各小小区区间间上上任任取取一一点点i （iix ），作作乘乘积积iixf )( ), 2 , 1( i并并作作和和iinixfS )(1 ，二、定积分的定义定义定义怎怎样样的的分分法法， baIdxxf)(iinixf )(lim10 被积函数被积函数被积表达式被积表达式积分变量积分变量积积分分区区间间,ba也也不不论论在在小小区区间间,1iixx 上上点点i 怎怎样样的的取取法法，只要当只要当0 时，

6、时，和和S总总趋趋于于确确定定的的极极限限I，我我们们称称这这个个极极限限I为为函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分，记为记为积分上限积分上限积分下限积分下限积分和积分和留意：留意：（1） 积积分分值值仅仅与与被被积积函函数数及及积积分分区区间间有有关关， badxxf)( badttf)( baduuf)(（2）定定义义中中区区间间的的分分法法和和i 的的取取法法是是任任意意的的.（3 3）当当函函数数)(xf在在区区间间,ba上上的的定定积积分分存存在在时时，而而与与积积分分变变量量的的字字母母无无关关.称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. 当当函函数数)(xf在

7、在区区间间,ba上上连连续续时时，定理定理1 1定理定理2 2 设设函函数数)(xf在在区区间间,ba上上有有界界，称称)(xf在在区区间间,ba上上可可积积. .且且只只有有有有限限个个间间断断点点，则则)(xf在在三、存在定理区间区间,ba上可积上可积. ., 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积, 0)( xf baAdxxf)(曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值的负值1A2A3A4A4321)(AAAAdxxfba 四、定积分的几何意义几何意义：几何意义：积取负号积取负号轴下方的面轴下方的面在在轴上方的面积取正号；轴上方的面积取正号；在在数和数和之间的各部分面积

8、的代之间的各部分面积的代直线直线的图形及两条的图形及两条轴、函数轴、函数它是介于它是介于xxbxaxxfx ,)( 例例1 1 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.102dxx 解解将将1 , 0n等分，分点为等分，分点为nixi ，(ni, 2 , 1 )小小区区间间,1iixx 的的长长度度nxi1 ，(ni, 2 , 1 )取取iix ，(ni, 2 , 1 )iinixf )(1 iinix 21 ,12iniixx nnini121 niin12316)12)(1(13 nnnn,121161 nn n0 dxx 102iinix 210lim nnn121161lim.31 例例2 2 利用定义计算定积分利用定义计算定积分.121dxx 解解在在2 , 1中中插插入入分分点点 12, nqqq,典典型型小小区区间间为为,1iiqq ，（ni, 2 , 1 ）小小区区间间的的长长度度)1(11 qqqqxiiii,取取1 iiq ，（ni, 2 , 1 ）iinixf )(1 iniix 11 )1(1111 qqqinii niq1)1()