仓库存储问题描述

1、问题描述某商场销售的某种商品。市场上这种商品的销售速率假设是不变的，记为r ; 每次进货的订货费为常数g与商品的数量和品种无关；使用自己的仓库存储商品 时，单位商品每天的存储费用记为c2，使用租借的仓库存储商品，单位商品每天 的存储费用记为C3，且C2岂C3 ；允许商品缺货，但因缺货而减少销售要造成损失， 单位商品的损失记为C4 ;每次订货，设货物在x天后到达，交货时间x是随机的； 自己的仓库用于存储该商品的最大容量为 Q0，每次到货后使这种商品的存储量 q补充到固定值Q为止，且Qo : Q ;在销售过程中每当存储量q降到L时即开始 订货。建立单种商品总损失费用达到最低的订货点 L* （最优订

2、货点）的数学模型。问题分析本题所研究的主要对象就是由消费者、商场、供货方三方组成的一个消费链。 其示意图见图1。图.1消费链示意图如图中所示，在实际生活中消费者与商场的相互作用决定了商品的消费速率 r，供货方与商场的相互作用决定了到货时间 x，而且两者应该均为随机变量。 在考虑以上两种随机变量的影响的情况下， 根据商场所掌握的数据如每次订货的 订货费用Ci，仓库存储费用C2、C3，缺货情况下单位商品每天的损失 C4以及存 储商品的最大容量Qo、Q等参数，确定最佳订货点L*。模型的假设和符号说明模型的假设 订货点L的取值范围为：0,Q】。 到货天数x为离散型随机变量，且x0，当x：0时，令其概率

3、px =0 订货周期包括从周期开始到订货日期和从订货日期到货到日期两部分组成， 即订货周期T二 x。并且每次货到时，均将货存量加到 Q。 商品存储时，首先存储满自己仓库然后，再存储到租借仓库。 商品销售时，首先销售完租借仓库商品，再销售自己仓库商品。 在商品的存储与销售过程中，两种仓库的商品在使用上是连续的。即当商品 存满自己仓库后，立即存入租借仓库；当租借仓库商品售完后，立即出售自 己仓库商品。 计算缺货损失时，缺货量采用累计计算方法。即前一天缺货量自动累计到下 一天，而不是当作常量来处理。模型的符号说明r某种商品的销售速率，即每天销售某商品的数量ci每次订货的订货费用C2单位商品在自己仓库

4、中每天的存储费用C3单位商品在租借仓库中每天的存储费用C4缺货情况下单位商品每天的损失Qo自己仓库用于存储商品的最大容量Q商品的总存储量（自己仓库最大存储量与租借仓库最大存储量之和 ）q任意时刻仓库中商品的存储量L订货点，即订货时仓库中商品存储量L*使总损失费达到最低的最优订货点T订货周期C周期商品存储总费用，包括商品储存费和缺货时损失费C周期内商品平均存储费用Tx到货天数，即从订货点时刻到货到时的时间间隔px随机变量x所对应的概率E C周期商品总平均存储费用数学期望T模型的建立本问题的建模思路：首先，根据题目所给条件以及本文假设条件得到仓库商品的几种存储状态示意图；然后，对于我们得到的商品存

5、储各个不同状态， 导出 一个周期内商品库存总费用表达式以及该周期内商品库存平均总费用表达式； 最 后，根据得到的商品库存平均费用表达式求得目标函数表达式， 并建立求解最低 的订货点L*的方法。 内仓库商品存储状态示意图的得到根据问题所给条件：某种商品的销售速率r为一恒定值，可以容易得到一周 期内仓库商品存储量q随时间变化的直线方程：q=Q-rt。依据本文假设得到 订货点L的取值范围为：0,Q，由于到货天数x为随机变量，容易分析出商品存 储状态示意图应该包括三种情况（见图.2）: 货到时，商品库存量q介于Qo与Q之间。此时订货周期T : Q - Qo ,依假 r设订货周期T二 匸丄x，整理得此时

6、L的取值范围为：L Qo rx ;r 货到时，商品的库存量q介于0与Qo之间。此时订货周期 色9 汀，整理得到此时L取值范围为：rx乞L乞Qo r ;rrr 货到时，商品的库存量为零，即处于缺货状态。此时订货周期 Tx Q，整理得此时L的取值范围为：L ： rx。根据上述三种情况分rr别画图即可得到仓库商品存储状态示意图。4货到时仓库货存量介于与Q之间b货到时仓库货存量介于Q与之间图.2不同情况仓库商品存储状态示意图商品存储费用表达式的得到图.2中a,b,c图分别表示了 L在不同取值范围情况下一个周期内商品库存量 的变化情况，图中阴影部分的面积与其相应权重 期内商品库存总费用C,表达式如下：；

7、Q°dt C3 q -Qo dt，t3t4,Qodtc2. qdt0t3t3t*c1c2L Qoc1c2CiC2tC3，o0oq - Qo0 Qodt C2qdt C3q 一 Qo（C2,C3或C4）的乘积和即为一周rxdt， rx - L - Qodt +c4 乂 * qdt，rxL : rx经积分得到如下结果:2LQ0rxC Q0 Q-L rxc3Q-L rxr2r2c2L - rx-2r，丄 C4"L_rx 22r'rx 乞 L 乞 Qo rxL ： rx2Q xQo x (2Q Qo ) C3 x (Q Qo ) C =+2r2r2 c jC2 xQo X(

8、2Q _Qo )丄 C3 X(Q Qo ) G +2r2r 由此，可以得到一周期内的平均费用 C，将周期的表达式T = QL x代入Tr方程组，并整理可得：亠二 C2 Qo C3L rx，L Qo rxQ - L rx亠2，rx 兰 L 兰 Qo + rx 2 Q-L rx 2 Q-L rxc" L_rx ,L . rx2 Q - L rxC2 Qo 2Q -'QoC3Q-'QoC2L - rx-2+2 Q - L rxQ-L rx2 Q-L rxC1 rC2 Qo 2Q - QoC3Q - Q°Q-L rx2 Q-L rx 为了方便起见，我们令rx,即rg

9、ix 二亠C2 QoC3L rx，L QoQ -L rx2护丄一"，XL 兰Qo+rx,2(X)_ C1 疋 r + Q 沃 Qo(2Q - Qo ) + C3 X (Q -Qo ) g2XQ|_+rx2 汇(QL+rx)2><(Q L + rx) 2 汇(Q L + rx)即 L - QoLrrt iCi"丄 C2 "<Qo（2Q Qo ）丄 C3 "Q Qo f 丄 C4UL rxf曲Lg3 x， L rx,即x Q-L rx 2 Q-L rx 2 Q - L rx 2 Q - L rxr目标函数的建立及优化由题目给出x为离散随机变

10、量，更切合实际的平均费用应为一周期内平均费用的数学期望E C。所以题目所要求解的最低订货点L*即为使E C取最小值It丿It丿所对应的L值，即目标函数应为minE C。由本文假设可知订货点L的取值范围为0,Q 1,那么函数g x定义域跨越了 0点，此时应分为两种情况描述E CI.当 Q° 乞 L zQ 时，0 ：xrLr此时，EL_Q0<T-be卜送 gi% y pg)+ z gzg W p(Xi)+Z g3(Xi HPx )，其中 p(x)xi 卫x L q°x lXi = X 为离散随机变量x所对应的概率分布列。II .当 0 空 L :：: Qo 时，x ：0由

11、于离散随机变量x（货到天数）为非负值，由假设可知当x：0时，其概率px=O，此时,Lr亠g2 洛 p 人 ' g3 人 p Xil q。lXiXirr在实际问题中，L在其取值范围内必定存在最优值L*使得E岗最小。此最小值应该在定义域边界上达到或者在定义域内部达到。极小值L*，必定使EC对L的一阶偏导数为零。且我们得到的其中在定义域内部达到的应如下:.:LG rL q°二 / gi 人Xj -09 x 二.:L孑点(g3(x). P人'Lxi 二r.:Lp Xi:L Q - L rx丄，：x :2L Qorg2 x =Cir：L Q - L rx 2L Q0LrrC2 Q0 2Q-Q°C3 Q-Q° 22Q-L rx22Q-L rx2C2L - rx 2Q - L22Q -L rxrx：g3 x =Cir-:LQ