2020年安徽省皖南四校尖子生对抗赛九年级数学试题(含答案)

1、2020皖南四校尖子生对抗赛考试时间：120分钟；满分：150分亲爱的同学经过三年的初中数学学习，你一定掌握了很多数学知识，现在迎接挑 战的时候到了，你准备好了吗？到处是坑，你可千万不能掉下去奥！、单选题（10 >4=40）2020的相反数是（9A.2020 B. - 2020C.120201D,20202.若a= V26 , b= E ,则实数a, b的大小关系为（A.a>bB. a = bC. a<b3.化简二次根式a Jf的结果是（A.B. 一 a 2C. . a 2D. - a 24.是若关于x的不等式mx-n>0的解集是x（ ）,则关于x的不等式(m+n)xm

2、的解集A.B. x5.随机闭合开关S、S? S3中的两个，能让灯泡发光的概率是（)第（5）题第（6）题第第（8）题(7)题3A,4B.D.6.如图，已知函数y=与y=a*+bx （a>0,b>0）的图象交于点 巳点P的纵坐标为1,贝U关于x的方程ax2+bx-0的解为（A. x=3B. x=1C. x=3 D.无解7.如图，曲线l是由函数y=-在第一象限内的图象绕坐标原点 x到的，过点A （-342, 3J2）, B9北）的直线与曲线l22OMN）面积为（）。逆时针旋转45。得相交于点M N,则4A.2B.3C.4D.58.已知等腰直角ABC,AC=5zBMN& MN折叠，

3、B点刚好落在MNAC的中点处，求折痕A/9.如图,以半圆的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠与直彳5交于点D,若tanB=1,且 AD2 则 AB()3A.10 B.9 C. 8 D.9.5+an=n310,已知对于任意正整数 n渚B有ai+a2+a3+111a21a31a4 11a20201A 2020 .6063B 2018“6057D 2017U.6054二、填空题（4X5=20）311,已知万程x2 x - 2,则2x2 2x x x则/ BOE=。12,已知AB&C=90 , AD=EC,AC=BE,BD AE于点 O,第（9）题（12 题）（13 题）13,如图，AB

4、C,zDE是等腰直角，EF=10”，顶点D,E分别在AC,AB上滑动，则在 滑动过程中，求点A,F间距离的最大值 。14. 若函数y=a*+bx+c的图像经过p （1, 0）, Q （5,-4）当1wxw5时，y随x的增 大而减小，则实数a的范围。三、解答题15. （8分）先化简，再求值：（x-2-鼻）？与三，其中x= （1-兀）0-| 一2| .什2x -3x216. （8分）某县为落实 精准扶贫惠民政策”，计划将某村的居民自来水管道进行改造.该 工程若由甲队单独施工恰好在规定时间内完成；若乙队单独施工，则完成工程所需天数 是规定天数的1. 5倍.如果由甲、乙队先合作施工15天，那么余下的工

5、程由甲队单 独完成还需5天.（1）这项工程的规定时间是多少天？（2）为了缩短工期以减少对居民用水的影响，工程指挥部最终决定该工程由甲、乙两队 合作完成.则甲、乙两队合彳完成该工程需要多少天？17. （8分）小明从家出发，沿一条直道跑步，经过一段时间原路返回，刚好在第 16min 回到家中.设小明出发第tmin时的速度为vm/min ,离家的距离为sm.v与t之间的函数关 系如图所示（图中的空心圈表示不包含这一点）（1）小明出发第2min时离家的距离为 m；(2)当2 t 5时，求s与t之间的函数表达式;(3)画出s与t之间的函数图像.18. (8分)如图，已知在平面直角坐标系中,A (2, 1

6、) B (3, 3) C (5, 2),(1)画图：以A点为位似中心向右侧放大两倍(2) ABC1有一点p (a,b)求放大后对应点的坐标 19. (10分)阅读下列材料：对于任意正实数a、b,_2 石石 0, a 2Tab b 0, a b 2V0b,当且仅当a b时，等号成立.结论：在a b 2痴(a,b均为正实数)中，若ab为定值P,则a b 2而,当且仅当a b时, a+b有最小值2而.拓展：对于任意正实数a, b, c,都有a b c 3瀛，当且仅当a b c时，等号成立.在a b c 33/abc, (a> b、c均为正实数)中，若abc为定值p ,则a b c 33/&qu

7、ot;p,当且仅当 a b c时，a b c有最小值33/p例如：x 0,则x 4 2Jx 4 4,当且仅当x 4,即x 2时等号成立. x . xx又如：若 x鸟，即x 2时等号成立，故当x 2时，2x 8有最小值6. xx 0,求2x 8的最小值时，因为2x -82-x x -82-3axx -826当且仅当xxx . x根据上述材料，解答下列问题:(1)若a为正数，则当a=时，代数式2a 1取得最小值，最小值为 ；a(2)已知函数 x2 x 0与函数y2 16 x 0 ,求函数yi y2的最小值及此时x的值； x(3)我国某大型空载机的一次空载运输成本包含三部分：一是基本运输费用，共81

8、00元；二是飞行耗油，每一百公里1200元；三是飞行报耗费用，飞行报耗费用与路程(单 位：百公里)的平方成正比，比例系数为0.04,设该空载机的运输路程为x百公里，则 该空载机平均每一百公里的运输成本 y最低为多少？20. (10分)如图，南海某海域有两艘外国渔船 A、B在小岛C的正南方向同一处捕鱼.一 段时间后，渔船B沿北偏东30°的方向航行至小岛C的正东方向20海里处.(1)求渔船B航行的距离；(2)此时，在D处巡逻的中国渔政船同时发现了这两艘渔船，其中B渔船在点D的南偏西60方向，A渔船在点D的西南方向，我渔政船要求这两艘渔船迅速离开中 国海域.请分别求出中国渔政船此时到这两艘

9、外国渔船的距离.(注：结果保留根号)r21,已知AB是。的直经，PB是。的切线，C是。上的点，AC/OP, M是直径 AB上的动点，A与直线CM上的点的连线距离的最小值为 d, B与直线CM上的连线 距离为最小值为f,(1)求证：PC是。切线。(2)设OP=3AC,求/CPO的正切值。2(3)设AC=9,AB=1昧d+f的取值范围。22. (12分)如图6,一条抛物线经过原点和点C(8, 0), AB是该抛物线上的两点，AB/ x 轴OA=5, AB = 2.点E在线段OC上，作/MEN = / AOC,使/ MEN的一边始终经过 点A,另一边交线段BC于点F,连接AF.(1)求抛物线的解析式

10、； 当点F是BC的中点时，求点E的坐标； 当4AEF是等腰三角形时，求点E的坐标.图623. 如图，在ABC ,AB=AC,点D是BC边上的中点，点P是AC边上的一个动点，延长DP至U点E,使/CAEW CDE作/DCGHACE其中G点在DE上(1)如图，若/ B=45 ,则=正DG(2)如图，若/ DCG=30, 生=5求区造DG 4 SA ABC 如图，若/ ABC=60 ,延长CGE点M,使得MG=GC£接AM,BM在点P运动的过程中， 探究：当空 的值为多少时,线段AM与DM勺长度之和取得最小值？ACE,1(1)(2)(3)18参考答案一选择题1, B 2, C 3, B 4

11、, B 5, B 6, A 7, B 8, C 9, A 10,C二，填空题(11) 6(12)45(13) 5M 5V12(14) - a -44三，解答题15,解：原式=工一-二？£+2支(3-3)=.J Jw+22"匕=.Kx= (1-兀)0- I -|=1-1=|c2尺；+6原式=Q=二=1421 ,+5 x，=1,x解的x=30116 (1)设规定时间为x,由题意可得15 (x这项工程的规定时间是30天；(2)设合作为y天 由题意的吗7=1解的y=18.甲乙两队合作完成该工程需要18天17, 1) 200; (2) s 160t 120； (3)图象见解析.(2)

12、 P' (2a+2,2b1)8分、519,【答案】(1)2夜；(2) yi+y2=x2+16=x2+8 - >331x2 8 =12 且当 x2=- 解的 x=2 x x x , x xx x所以yi+y2的最小值为12,此时x=2;(3)由题意可得：y=%0”生1200 A2,照”包1200=36+1200=1236该空载机 x xx x平均每一百公里的运输成本y最低1236元.20.解：(1)由题意得，/ CAB= 30 , /ACB= 90 , BC= 20,.AB= 2BC= 40 海里，答：渔船B航行的距离是40海里；(2)过B作BEAE于E,过D作DHL AE于H,延

13、长CB交DH于G,则四边形AEBCffl四边形BEH费矩形，.BE= GH= AC= 20V3, AE= BC= 20,设 BG= EH= x,.AH= x+20,由题意得，/ BDG= 60 , /ADH= 45 ,. .? yx,DH= AH, 20v3+ ?x=x+20,解得：x=20v3,.BG=20v3, AH=20+20v3.BD=?_1T=40AD= v2AH= 20V2+20v6,答：中炉渔政网此时到外国渔船B的距离是40海里，到外国渔船 A的距离是(20v2 + 20v6)海里.21 解：(1)连接 OC, AC/ OP, ./OACu/ BOP/ACO士 COP 又.OA=

14、OC./COPh BOPOP=OP ,OC=OB= OdOBP 又BP是圆的切线./ OBP=90. / OCP=90 , PC是圆的切线。图1图23(2)OPqAC,设 AC=2a易证 BC± OP, O 是 AB 中点，OH 是 ABC 中位线 OH=a,HP=2a 又. /OCP=90 ,又射影定理，HC2=OHXHP 求得 HC= 2 a 由勾股定理 CP=. CH 2 HP2 . (2a)Lr2a)2 6asin/CPO=CH 2t 虫CP , 6t 3(3)由题意可得 d+f=AM- sin AMC+BMsinZSMB. /AMC=/ SMB：d+f=sin/AMC (A

15、M+BM) =AB- sin AMC当/AMC最大，d+f最大，即CMAB最大。d+f=AB=15当 / AMC 最小 d+f 最小，即 M 在 B 点/AMC=/ ABC. M 在 A 点/AMC=/ CAB.显然/ ACB< / ABC即 M 在 B 点 d+f=AC=9/.9<d+f< 15 (其他方法也可)22.解:(1)如图 该抛物线经过原点和点C (8, 0),设该抛物线的解析式为：y=ax (x- 8) (a#0) 点C (8, 0), 该抛物线的对称轴是x=4.XB=2, ABA 轴，型A (3, t), B (5, t) 又gA= 5,公=4,即 A (3,

16、 4) B (5, 4), 把点A的坐标代入解析式，得4=3aX (3-8),解得 a=-15学抛物线的解析式是：y=-各(X-8)(或y=-尚人警1(2) AB/X 轴，用据抛物线白对称性知 OA=CB=5, XOC= ZBCO, 便F是BC的中点，CF=1./AEC=&EF+ &EF= /AOC+ gAE, MEN=&OC,即 EF=&OC, CEF=/©AE, AAOEAECF,.AO EO 即 5 EOCE CF8-EO 52解得，OE=生叵或OE=里骐 22(3)当AE=EF 时，可证 AOEzECF.贝 UOA= CE=5, .OE=3,贝

17、UE (3,0当AF=EF时，过点F作FK&O.易证&BFzFKE,求得OE=半，则E (三，01O0/过点A和点K分别作BC的垂线(另解：)当 AF=EFB证&FEzKBC .里CB交BC于点H和I,由相似可求BK2代入上式可求生 -,X / AABeAECF 3EF 5年 祟，求得EC洋 . BE等 第3种也可这样求。（其它方法也可） EF EC66当AE=AF时，在A0上取点Q,使得EQ=0E. 易证以BFzEQA,则 EQ=AB=2,.0E=2.则 E （2, 0）综上所述，点E的坐标是：（3, 0）（孕，0）或（2, 0）时，A AEF是等腰三角形.法二略23

18、.解：（1）如图，连接AD. AB=AC. ZB=45 .ABC是等腰直角三角形.又.点D是BC边上的中点, BD=CD. . ADL BC. ADBDDC . AC/CDZ CAEN CDEZ DCG=ZACE./. ADCGAACE. 生处=2 DG DC如图.连接AD. / CAE= / CDE. / ECA=. / GCD.DCS A ACE.AE AC _ 5DG DC 4又 AB=AG点D是BC边上的中点？BD=DC,ADBC设 AB=AC=5k . BD=DC=4曲勾股定理可得 AD=3k/.»AADC-. EGC,可得 EG,. GC,又D,G,E三点共线. .DGC=90又. DCG=30可得 DG=2k, GC=2、河 k： SDGC=1 x 2kK；3 k=2收 k2 2Sa abc =1x8kx 3k=12k.S2Sa abc如图.当A,M.D三点共线时.AM+DM的值最小.连接EM,取AC的中点O连接OE.OD.作PH .CD于点H.AB=AC,： ABC=60 ? . ABC等边三角形.X/.BC= AC./.ACB=60DAC=. HPC= 30 . . BD=CD,AC=BC, . AC=2CD. CAE=*. CDE. ECA=. GCD DCG. ACE.CD CG 1AC CE 2/. EC=2CGX/.