新鲁教二次函数的应用

1、鲁教版九年级数学鲁教版九年级数学(上上)第三章第三章 二次函数二次函数6 二次函数应用二次函数应用 课时课时1 面积最大是多少面积最大是多少w(1) (1) 设矩形的一边设矩形的一边AB=AB=x xcm,cm,那么那么 ADAD边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2)设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何取何 值时值时,y的值最大的值最大?最大值是多少最大值是多少?何时面积最大何时面积最大 w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .M40cm30cmABCDw

2、(1)设矩形的一边设矩形的一边AB=xcm,那么那么AD边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2)设矩形的面积为设矩形的面积为ycm2,当当x取何值时取何值时,y的值最大的值最大? 最大值是多少最大值是多少?w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .ABCDMN.3043xb40cm30cm xxxxxby3043304322.30020432x.30044,202:2abacyabx最大值时当或用公式xcxcmb bcm解：设解：设AD=bcm,AD=bcm,可证可证M

3、ANMANMDCMDC403030 xbANDCMAMD即w(1)如果设矩形的一边如果设矩形的一边AD=xcm,那么那么AB边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2)设矩形的面积为设矩形的面积为ycm2,当当x取何值时取何值时,y的值最大的值最大?最大值最大值 是多少是多少?何时面积最大 w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其中其中ABAB和和ADAD分别在两直角边上分别在两直角边上. .40cm30cmbcmbcmxcmxcm.4034xb xxxxxby4034403422.30015342x.30044,152:2abacy

4、abx最大值时当或用公式ABCDMN解：设解：设AD=bcm,AD=bcm,可证可证MANMANCBNCBN304040 xbAMBCNANB即何时窗户通过的光线最多w某建筑物的窗户如图所示某建筑物的窗户如图所示, ,它的上半部是半它的上半部是半圆圆, ,下半部是矩形下半部是矩形, ,制造窗框的材料总长制造窗框的材料总长( (图中图中所有的黑线的长度和所有的黑线的长度和) )为为15m.15m.当当x x等于多少时等于多少时, ,窗户通过的光线最多窗户通过的光线最多( (结果精确到结果精确到0.01m)?0.01m)?此此时时, ,窗户的面积是多少窗户的面积是多少? ?xxy .1574.1:

5、xxy由解.4715,xxy得xx215272 24715222.222xxxxxxyS窗户面积.02. 45622544,07. 114152:2abacyabx最大值时当或用公式.562251415272x学有学有所思所思 运用二次函数的性质求实际问题的最大值运用二次函数的性质求实际问题的最大值 和最小值的一般步骤和最小值的一般步骤 : 如何运用二次函数求实际问如何运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值题中的最大值或最小值? 求出函数解析式求出函数解析式 配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值 检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值检查求得的最

6、大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内必须在自变量的取值范围内 恰当选设自变量和因变量恰当选设自变量和因变量w(1)设矩形的一边设矩形的一边BC=xcm,那么那么PB边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2)设矩形的面积为设矩形的面积为ycm2,当当x取何值时取何值时,y的值最大的值最大? 最大值是多少最大值是多少?w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形PBCDPBCD，其中点其中点P P和点和点D D分别在两直角边上分别在两直角边上,BC,BC在斜边上在斜边上. .PBCDMNA40Cm30CmxCmbCm .24,501:mAHmM

7、N由面积得由勾股定理得解 xxxxxby24251224251222.3002525122x.30044,252:2abacyabx最大值时当或用公式.242512xbHG 设设PB=bcm,PB=bcm,可证可证MANMANDAPDAP502424xbMNDPAHAG即w(1)(1)设矩形的一边设矩形的一边BC=xcm,BC=xcm,那么那么PBPB边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2)(2)设矩形的面积为设矩形的面积为ycm2,当当x x取何值时取何值时,y的值最大的值最大? ? 最大值是多少最大值是多少? ?w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一

8、个矩形PBCDPBCD，其中点其中点P P和点和点D D分别在两直角边上分别在两直角边上,BC,BC在斜边上在斜边上. .PBCDMNA40Cm30CmxCmbCm解解(1)(1)设设PB=bcmPB=bcm，由勾股定理求得，由勾股定理求得 MN=50cmMN=50cm在在RtRtNPB中，中，tanN=BNbBNPB在在RtRtNAM中，中，tanN=434030ANAM43BNb34bBN 得43bCM同理可求504334xbb那么，242512xb解得： 用用4848米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场米长的竹篱笆围建一矩形养鸡场, ,养养鸡场一面用砖砌成鸡场一面用砖砌成, ,另三面用竹篱笆围成

9、另三面用竹篱笆围成, ,并并且在与砖墙相对的一面开且在与砖墙相对的一面开2 2米宽的门米宽的门( (不用篱不用篱笆笆),),问养鸡场的边长为多少米时问养鸡场的边长为多少米时, ,养鸡场占养鸡场占地面积最大地面积最大? ?最大面积是多少最大面积是多少? ?2mym2ym2xmxm 正方形正方形ABCDABCD边长边长5cm,5cm,等腰三角形等腰三角形PQRPQR中中,PQ=PR=5cm,PQ=PR=5cm,QR=8cm,QR=8cm,点点D D、C C、Q Q、R R在同一直线在同一直线l l上，当上，当C C、Q Q两两点重合时，等腰点重合时，等腰PQRPQR以以1cm/s1cm/s的速度沿

10、直线的速度沿直线l l向向左方向开始匀速运动，左方向开始匀速运动，tsts后正方形与等腰三角形后正方形与等腰三角形重合部分面积为重合部分面积为Scm2Scm2，解答下列问题：，解答下列问题：(1)(1)当当t=3st=3s时，求时，求S S的值；的值；(2)(2)当当t=3st=3s时，求时，求S S的值；的值；(3)(3)当当5st8s5st8s时，求时，求S S与与t t的函数关系式，并求的函数关系式，并求S S的最大值。的最大值。M MABCDPQRl本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决本节课我们进一步学习了用二次函数知识解决最大面积问题，增强了应用数学知识的意识，最大面积问题，增强

11、了应用数学知识的意识，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，获得了利用数学方法解决实际问题的经验，并进一步感受了数学建模思想和数学知识的并进一步感受了数学建模思想和数学知识的应用价值应用价值通过前面活动，这节课你学到了什么？通过前面活动，这节课你学到了什么？如图，在一面靠墙的空地上用长为如图，在一面靠墙的空地上用长为24米的篱笆，围成中间隔有二道米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽篱笆的长方形花圃，设花圃的宽AB为为x米，面积为米，面积为S平方米。平方米。(1)求求S与与x的函数关系式及自变量的取值范围；的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当当x取何值时所围成的花圃面积最大

12、，最大值是多少？取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为若墙的最大可用长度为8米，则求围成花圃的最大面积。米，则求围成花圃的最大面积。 ABCD解： (1) AB为x米、篱笆长为24米 花圃宽为（244x）米 (3) 墙的可用长度为8米 (2)当当x 时，S最大值 36（平方米）32ababac442 Sx（244x） 4x224 x （0 x6） 0244x 6 4x6当x4cm时，S最大值32 平方米w(1).设矩形的一边设矩形的一边BC=xm,那么那么AB边的长度如何表示？边的长度如何表示？w(2).设矩形的面积为设矩形的面积为ym2,当当x取何取何值时值时

13、,y的最大值是多少的最大值是多少?何时面积最大 w如图如图, ,在一个直角三角形的内部作一个矩形在一个直角三角形的内部作一个矩形ABCDABCD，其顶点其顶点A A和点和点D D分别在两直角边上分别在两直角边上, ,BCBC在斜边上在斜边上. .想一想想一想P63ABCDMNP40m30mxmbm : 1 .50 ,24 .MNm PHm解由勾股定理得 xxxxxby242512242512.22.3002525122x.30044,252:2abacyabx最大值时当或用公式12,24.25ABbmbx 设易得HG何时窗户通过的光线最多w某建筑物的窗户如图所示某建筑物的窗户如图所示, ,它的

14、上半部是半圆它的上半部是半圆, ,下下半部是矩形半部是矩形, ,制造窗框的材料总长制造窗框的材料总长( (图中所有的黑线图中所有的黑线的长度和的长度和) )为为15m.15m.当当x等于多少时等于多少时, ,窗户通过的光线窗户通过的光线最多最多( (结果精确到结果精确到0.01m)?0.01m)?此时此时, ,窗户的面积是多少窗户的面积是多少? ?做一做做一做P62xxy .1574.1:xxy由解.4715,xxy得xx215272 24715222.222xxxxxxyS窗户面积.02. 45622544,07. 114152:2abacyabx最大值时当或用公式.562251415272

15、x3.3.用一块宽为用一块宽为m m的长方形铁板弯起两边做一的长方形铁板弯起两边做一个水槽，水槽的横断面为底角个水槽，水槽的横断面为底角120120的等腰的等腰梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧梯形。要使水槽的横断面积最大，它的侧面面ABAB应该是多长？应该是多长？AD120BC4.如图，规格为如图，规格为60 cm60 cm的正方形地砖在运输过程中受的正方形地砖在运输过程中受损，断去一角，量得损，断去一角，量得AF=30cm，CE45 cm。现准备从五边形。现准备从五边形地砖地砖ABCEF上截出一个面积为上截出一个面积为S的矩形地砖的矩形地砖PMBN。（1）设）设BN=x，BM=y，请用含

16、，请用含x的代数式表示的代数式表示y，并写出，并写出x的取的取值范围；值范围；（2）请用含）请用含x的代数式表示的代数式表示S，并在给定的直角坐标系内画出该，并在给定的直角坐标系内画出该函数的示意图；函数的示意图；（3）利用函数图象回）利用函数图象回2答：当答：当x取何值时，取何值时，S有最大值？最大值有最大值？最大值是多少？是多少？ 图图ABCDPEFMN5.5.在矩形在矩形ABCDABCD中，中，ABAB6cm6cm，BCBC12cm12cm，点，点P P从点从点A A出发，沿出发，沿ABAB边向点边向点B B以以1cm/1cm/秒的速度移动，同时，秒的速度移动，同时，点点Q Q从点从点B

17、 B出发沿出发沿BCBC边向点边向点C C以以2cm/2cm/秒的速度移动。秒的速度移动。如果如果P P、Q Q两点在分别到达两点在分别到达B B、C C两点后就停止移动，两点后就停止移动，回答下列问题：回答下列问题：（1 1）运动开始后第几秒时，）运动开始后第几秒时，PBQPBQ的面积等于的面积等于8cm8cm2 2（2 2）设运动开始后第）设运动开始后第t t秒时，秒时，五边形五边形APQCDAPQCD的面积为的面积为ScmScm2 2，写出写出S S与与t t的函数关系式，的函数关系式，并指出自变量并指出自变量t t的取值范围；的取值范围；t t为何值时为何值时S S最小？求出最小？求出

18、S S的最小值。的最小值。QPCBAD6.如图，在平面直角坐标系中，四边形如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC为菱形，点为菱形，点C的坐标为的坐标为(4,0)，AOC=60，垂直于，垂直于x轴的直线轴的直线l从从y轴出发，轴出发，沿沿x轴正方向以每秒轴正方向以每秒1个单位长度的速度运动，设直线个单位长度的速度运动，设直线l与菱形与菱形OABC的两边分别交于点的两边分别交于点M、N(点点M在点在点N的上方的上方).(1)求求A、B两点的坐标；两点的坐标；（2)设设OMN的面积为的面积为S，直线，直线l运动时间为运动时间为t秒秒(0t6)，试求试求S 与与t的函数表达式；的函数表达式；(3)在

19、题在题(2)的条件下，的条件下，t为何值时，为何值时，S的面积最大？最大面积的面积最大？最大面积是多少？是多少？ 7.二次函数二次函数y=ax +bx+c的图象的一部分如图所示，的图象的一部分如图所示，已知它的顶点已知它的顶点M在第二象限，且经过点在第二象限，且经过点A（1，0）和）和点点B（0，1）。）。（04杭州）杭州）（1）请判断实数）请判断实数a的取值范围，并说明理由；的取值范围，并说明理由；2xy1B1AO54（2）设此二次函数的图象）设此二次函数的图象与与x轴的另一个交点为轴的另一个交点为C， 当当AMC的面积为的面积为ABC的的 倍时，求倍时，求a的值。的值。-1a01.理解问题

20、理解问题;“二次函数应用” 的思路 w回顾上一节回顾上一节“最大利润最大利润”和本节和本节“最大面积最大面积”解解决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本决问题的过程，你能总结一下解决此类问题的基本思路吗？与同伴交流思路吗？与同伴交流. .议一议议一议2.分析问题中的变量和常量分析问题中的变量和常量,以及它们之间的关系以及它们之间的关系;3.用数学的方式表示出它们之间的关系用数学的方式表示出它们之间的关系;4.做数学求解做数学求解;5.检验结果的合理性检验结果的合理性,拓展等拓展等.例：有一根直尺的短边长例：有一根直尺的短边长2cm，长边长，长边长10cm，还有一块锐角，还有一块锐角为为4

21、5的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为的直角三角形纸板，其中直角三角形纸板的斜边长为12cm按图按图141的方式将直尺的短边的方式将直尺的短边DE放置在与直角三角形放置在与直角三角形纸板的斜边纸板的斜边AB上，且点上，且点D与点与点A重合若直尺沿射线重合若直尺沿射线AB方向平方向平行移动，如图行移动，如图142，设平移的长度为，设平移的长度为x（cm），直尺和三角形），直尺和三角形纸板的重叠部分纸板的重叠部分(图中阴影部分图中阴影部分)的面积为的面积为S cm 2）（1）当）当x=0时，时，S=_；当当x = 10时，时，S =_；（2）当）当0 x4时，如图时，如图142，求，求S与与x的函数关系式；的函数关系式；（3）当）当6x10时，求时，求S与与x的函数关系式；的函数关系式；