数列通项公式的求法(较全)

1、时间：二O二一年七月二十九日时间：二O二一年七月二十九日罕见数列通项公式的求法 之巴公并开创作时间：二O二一年七月二十九日公式:等差额列的定义凡-&T = dS之等差额列的通项公式4 =冈L"等差数到1的求才口公式£凡)=融?6:3等差数列的性质口=+4 =% +%(阳+寻=9+g)等比数列的强文巴=式月22)凡引.等比数列的通I员公式口=%9：萼比数列，$白=中_ <2)<1 qzy等比数列的求和公式3 =< 1-? =-?_g小(卡-D等比数列的性质图%=吃:%O十巩=十如，1、界说法若数列是等差数列或等比数列，求通公式项时，只需求出a1与d或

2、a1与q，再代入公式ana1n 1 d或anaiqn1中即可.例1、成等差数列的三个正数的和即是15,而且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列bn的b3,b4,b5,求数列bn的的通项公式一 一.、 一 . . . 、 .练习：数列 an是等差数列，数列 bn是等比数列，数列cn中对任何n N 都有127cn an bn,C1 0,c2 , C3 一储4 一，分别求出此二个数列的通项公式69542、累加法形如an 1 an f n 已知a1型的的递推公式均可用累加法求通项公式.(1) 当f n d为常数时，an为等差数列，则an a n 1 d ；(2) 当f n为n的函数时用累加法.方

3、法如下：由 an 1an f n得那时 n 2, an an 1 f n 1 ,an 1 an 2 f n 2 , *色a3 a2 f 2 ,a2 ai f 1 ,以上n 1个等式累加得an a1 f n 1 +f n 2 f 2 f 1an a1 f n 1 +f n 2 f 2 f 1，求通项.(3)已知a1, an 1 an f n，其中f n可以是关于n的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数若f n可以是关于n的一次函数，累加后可转化为等差数列求和；若f n可以是关于n的二次函数，累加后可分组求和；若f n可以是关于n的指数函数，累加后可转化为等比数列求和；若f n可以是关于n的分式

4、函数，累加后可裂项求和求和.例2、数列an中已知a1 1,an 1 an2n 3,求an的通项公式练习1 ：已知数列 an满足an 1 an 3n 2且a1 2,求an.练习2：已知数列 an中，a1 1,an 1 an 3n 2n,求a的通项公式.1 1练习3：已知数列an满足a-,an1 an -，求求an的通项公式2 n n3、累乘法an 1f n形如ann 已知a1型的的递推公式均可用累乘法求通项公式.给递推公式an 1f n , n N 中的n依次取1,2,3,n 1,可获得下面n 1个式子:也 f 1 ,包 f 2 , f 3，4 f n 1aa2a3an1利用公式an a1冬曳冬

5、三，an0,n N 可得：aa2 a3an 1ana1 f 1 f 2 f 3 f n 1 .一 一，一一2n 、例3、已知数列an满足a1 -, an 1 an求an.3 n 1 ，a n 2练习1：数列 an中已知a1 1, ,求an的通项公式.an n练习2：设an是首项为1的正项数列，且(n 1)a21 na2 anan 0,求an的通项公式.4、奇偶分析法(1)对形如an 1 an f n型的递推公式求通项公式那时an 1 an d d为常数，则数列为 等和数列”它是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论.当f n为n的函数时，由an 1anf n ,an an 1 f

6、 n 1 两式相减，获彳导 an+1 an 1 f n f n 1 ,分奇偶项来求通项例4、数列an满足& 1, an 1练习：数列 an满足a1 6,an 1例5、数列an满足a1 0,an 1an 4 ,求an的通项公式.an6,求an的通项公式.an 2n,求an的通项公式.练习1：数列an满足a1, an 1ann1,求an的通项公式.练习2：数列an满足22,an 1an3n1,求an的通项公式.(2)对形如a 1 anf n型的递推公式求通项公式那时an 1 an d d为常数，则数列为 等积数列”?是一个周期数列，周期为2,其通项分奇数项和偶数项来讨论.a f n当f n

7、为n的函数时，由an 1 anf n , an an 1 f n 1两式相除，获彳#-n+1 ，分奇偶项来求an 1f n 1通项.例6、已知数列 3 满足a12,an 1 an 4,求an的通项公式.一一一2练习：已知数列an满足a1 - ,an 1 an2 ,求an的通项公式3n1例7、已知数列 3 满足a1 3,an 1 an一 ，求an的通项公式2练习1：数列an满足a 2,an 1 an 3n，求an的通项公式.练习2：数列an满足a 1,an 1 an 2n，求an的通项公式.5、待定系数法（构造法）若给出条件直接求 an较又t，可通过整理变形等从中构造出一个等差或等比数列，从而根

8、据等差或者等比数列的界说求出通项.罕见的有：panq p,q为常数an 1 t p ant，构造an t为等比数列.an(2)panntp1 t p为常数 两边同时除以pn 1an 1n 1pan pan.ntq1 ,4母多将两边同时除以pt, p,q为吊奴an 1n 1q卫2 t,再参考类型1 q q（4）apanqnr p,q,r是常数an 1p an nanpan1 +qanan 2 tan 1p an 1 tan,构造等比数列an 1 tan例8、已知数列an中，a11, an 12an3,求 an .练习:已数列an中，a1 1且an 11,-an1,则 an2例9、已知数列 国中，

9、a13,an 13an 3n1,求an的通项公式.练习1：已知数列an中，a13,an2412n，则 .2n练习2：已知数列an中，a1-,an13an4 3 ,求an的通项公式3例10、已知数列an满足an 1 6an 2n 1,a1 1,求an.练习1：设数列an满足a11,an 1 3an 2n，则ann 1511练习2：已知数列 an中，a16413 an2，求an.1练习3：已知数列 an n N 的满足：a1 1 3k,an 4n 1 3an 1n 2,k -,k R(1)判断数列an是否成等比数列;(2)求数列 an的通项公式例11、数列an中已知a11，an 12an3n,求a

10、n的通项公式.练习1：数列an中已知a12,an3ann 2,求an的通项公式.练习2:数列an中已知a12,an3an2n2 n 2,求an的通项公式.例12、已知数列an 中，科5包2, an2an1+3an 2 n 3 ,求求an的通项公式.练习1：已知数列an 中，a11色2, an+221an+ -an,求求 an练习2：在数列an中，a1 1 ,a233 5an32 人,-an,令 bn3的通项公式.an1 an 求证:数列bn是等比数列，并求bn .(2)求数列an的通项公式.6、利用an与Sn的关系如果给出条件是an与Sn的关系式，可利用ana1Sn&1,n求解.2例1

11、3、已知数列 an的前n项和为Snn2 2n 3,求an的通项公式 一一一 1 2 一练习1：已知数列 an的前n项和为Sn -n n 3,求an的通项公式4一一 一一.一 3 一练习2：若数列 &的前n项和为Sn -an 3,求an的通项公式.2一 一一一1练习3：已知数列an前n项和Sn4anr于求an的通项公式.27、倒数法(1) an 1panqan p qap= 9,构造 是等差数列an 1panan pan(2) an 1panqan t1qan t _1± q.an 1pan p an p2a.例14、已知数列 an满足a1=1,an 1 ，求an的通项公式.3

12、an 2练习：已知数列an中，a1 3,an 1 /,则an.1 2an例15、已知数列an满足a1=1,an2 an 1 ，求an的通项公式.3ani 42 2a练习：已知数列an中，a1 2,an 1 一n-,则an.3 1 an8、an1panp0, an0两边取对数ig an 1 1g prlgan,转化为 an1 pan q型例 16、已知数列 an 中，a1 100,an 1 10 a2,求 an练习：已知数列an中，a1 2,an 1 2a3,求an9、其他例17、已数列an中，a11,an 1 an an 1 an,则数列通项an .例18、在数列an中，a1 = 1, n >2时,an、Sn、Sn 1成等比数列.2(1)求a?®a；(2)求数列 4的通项公式.例19、已知在等比数列an中，a11,且a2是&和23 1的等差中项.(1)