数学奥林匹克初中训练题2

1、数学奥林匹克初中训练题2第一试一、选择题(每小题7分,共42分1.若x、y、z均为实数,且满足,则x、y、z的取值情况是( .(A全为正数 (B全为非负数 (C全为负数 (D有且仅有一个为零2.如图,在钝角ABC中,BC=1,A=30°,D为边BC的中点,G为ABC的重心.若B、C为定点,当点A运动时,线段GD长度的取值范围是( .(A0 (B (C0 (D GD 3.设a、b为正整数,且a+b、a+5、b-2是某个直角三角形的三边长.则正整数对(a,b的个数是( 个.(A0 (B1 (C2 (D34.已知抛物线y=ax2+bx+c(a>0与直线y=k(x-1-.无论k取任何实

2、数,此抛物线与直线都只有一个公共点.那么,抛物线的解析式是( .(Ay=x2 (By=x2-2x (Cy=x2-2x+1 (Dy=2x2-4x+25.若x为实数,记x=x-x(x表示不超过x的最大整数,则方程2006x+x=的实根的个数是( .(A0 (B1 (C2 (D大于2的整数6.如图,正方形ABCD内接于O,P为劣弧CD上一点,PA交BD于点M,PB交AC于点N,记PAC=.若MNPA,则2cos2-tan的值等于( . (A1 (B2 (C12 (D4二、填空题(每小题7分,共28分1.已知x、y为实数,且满足(x+(y+=2 008.则x2-3xy-4y2-6x-6y+2 008的

3、值等于 .2.设实数a、b、c满足a+b+c=0,abc=2.则u=|a|3+|b|3+|c|3的最小值为 .3.在直角坐标平面内,已知A(- ,0、B( ,0,点P在直线y=(x+4+1上运动.当APB最大时,的值为 .4.设RtABC的三边长分别为a、b、c,且a 若 . 则 a b c= . 第二试一、(20分已知m、n均为正整数,且m>n,2006m2+m=2 007n2+n.问m-n是否为完全平方数?并证明你的结论.二、(25分如图,在梯形ABCD中,ABCD,AD=12,E是边CD上一点,且.设过A、B、C、E四点的O1的半径为R1,过A、C、D三点的O2的半径为R2,且边B

4、C与O2相切.(1求边CD的长;(2求的取值范围.三、(25分求实数a的值,使得函数f(x=(x+a(|x-a+1|+|x-3|-2x+4a的图像为中心对称图形.数学奥林匹克初中训练题2参考答案第一试一、1.D.显然,(x+y(y+z(z+x0.去分母得xy(x+y+yz(y+z+zx(z+x=(x+y(y+z(z+x.化简整理得xyz=0.所以,x、y、z中至少有一个为零.若x、y、z中有两个或三个为零,则x+y、y+z、z+x中至少有一个为零,等式无意义.故x、y、z中有且仅有一个为零.2.B.因为A= 30°,且ABC为钝角三角形,所以,点A在如图所示的不含端点的弧A1B、弧A

5、2C上(其中,A1BBC,A2CBC.设G1为RtA1BC的重心,则BD 易知A1B= ,则G1D=A1D=.又BD=1/6,所以,1/6 . 3.A.若a+b为斜边长,则(a+b2=(a+52+(b-22,即 2(ab-5a+2b=29.上式左边为偶数,右边为奇数,矛盾.若a+5为斜边长,则(a+52=(a+b2+(b-22,即 2(5a-ab-b2+2b=-21.矛盾.若b-2为斜边长,则(b-22=(a+b2+(a+52,即 2(a2+ab+5a+2b=-21.矛盾.故满足条件的正整数对(a,b不存在.4.C.由y=ax2+bx+c,y=k(x-1-k2/4得ax2+(b-kx+c+k+

6、k2/4=0.由题设知,方程有两个相等的实根,则=(b-k2-4a( c+k+k2/4=0,即 (1-ak2-2(2a+bk+b2-4ac=0.因为k为任意实数,所以,抛物线的解析式为y=x2-2x+1.5.C.因为x=x+x,所以,原方程可化为2 006x+2 007x=1/2 007.又02 007x<2 007,所以,x=-1或x=0.若x=-1,则x=1-<1.所以,x=-.若x=0,则x=1/2 0072,即x=1/2 0072.综上所述,x1=-2 006/2 0072,x2=1/2 0072.6.A.设O的半径为1,则AC=2.如图,联结PC.则APC=90°

7、;.从而,PA=ACcos=2cos.在RtAOM中,AM=OA/cos=1/cos;在RtAMN中,MN=AM/tan=tan/cos;在RtPMN中,因为MPN=APB=ADB=45°,所以,PM=MN=tancos.又AM+PM=PA,得1/cos+tan/cos=2cos.故2cos2-tan=1.二、1.2 008.由题设得(x+=2 008/(y+.分母有理化得x+= -y.同理,y+=-x.+得x+y=0.故x2-3xy-4y2-6x-6y+2 008=(x+y(x-4y-6(x+y+2 008=2 008.2.10.由题设知,a、b、c必为一正两负.不妨设a>0

8、、b<0、c<0.因为b+c=-a,bc=2/a,所以,b、c为方程x2+ax+2/a=0的两个负根.于是,有=a2-8/a0.解得a38.故u=a3-b3-c3=a3-(b+c(b+c2-3bc=a3+a (a2-6/a=2a3-62×8-6=10.当且仅当a3=8,即a=2时,上式等号成立.此时,b=c=-1.因此,u的最小值为10.3. -1.如图,设直线与x轴的交点为M.由平面几何知识即知,要使APB最大,则过A、B、P三点的圆必和直线相切于点P.因为MPA=MBP,所以,MPAMBP.则有PA/PB=MP/MB.又由切割线定理得MP2=MA·MB.故P

9、A/PB= =MA/MB.因M(-4- ,0、A(-,0、B(,0,所以,MA=4,MB=4+2.故PA/PB=-1.4.8:15:17因为c2-a2=b2,c2-b2=a2,所以,又ab= (a+b+c(a+b-c,所以, ,即17(a+b=23c.两边平方得289(a2+2ab+b2=529c2=529(a2+b2.整理得(15a-8b(8a-15b=0.所以,a/b=8/15或a/b=15/8.又82+152=172,且a 故 abc=81517.第二试一、m-n为完全平方数.证明如下:设m=n+k(k为正整数.代入2 006m2+m=2 007n2+n,得n2-2×2 006

10、kn-(2 006k2+k=0.因为n为正整数,所以,=4(2 006k2+4(2 006k2+k为完全平方数.故/4=k(2 0062+2 006k+1为完全平方数.又因(k,(2 0062+2 006k+1=1,所以,k与(2 0062+2006k+1均为完全平方数.故m-n为完全平方数.二、(1因为BC是O2的切线,所以,ACB=CDA.又ABCD,则BAC=ACD.所以,ABCCAD.从而,ABC=CAD.故AD是O1的切线.由切割线定理得AD2=DE·DC.则122=DC2.解得CD=18.(2由(1知,ABCCAD,CD=18.所以, R1/R2=AC/CD,即R1/R2=AC/18.因为6=CD-AD 所以 , 1/3< R 1 /R 2 <5/3. 又ACCD(否则,四边形ABCD为平行四边形,所以,R1R21.故R1R2的取值范围是1/3< R1/R2<5/3,且R1R21.三、为叙述方便,用maxa1,a2,an、mina1,a2,an分别表示a1,a2,an中的最大数和最小数.当xmina-1,3时,有f(x=(x+a(-2x+a+2-2x+4a=-2x2-ax+a2+6a.当xmaxa-1,3时,有f(x=(x+a(2x-a-2-2x+4a=2x2+(a-4x-a2+2a.当mina-1,3