数学北师大必修ⅱ1.7.3球的体积和表面积 素材

1、柱、锥、台、球的表面积和体积计算问题解题指导研究柱、锥、台表面积的关键是明确它们的平面展开图的形状,为此应该复习在小学、初中所学到的有关知识,还要结合在前面的学习中动手折叠几何体的体验,理解展开是折叠的逆过程.认识了测面展开图的形状,自己就可以得出侧面积公式了 ， 对于面积的计算,有些要用表示数字的字母进行计算,有些可以保留准确值及表示圆周率的字母,有些实际应用的问题要根据要求的精确度取值.在计算中可以恰当地应用计算器，但我们要对手算尤其是对含字母式子的变形进行必要的训练 一、侧面积的计算 例l、直平行六面体的底面是菱形,两个对角面面积分别为,求直平行六面体的侧面积 解题指导解决本题首先要正确

2、把握直平行六面体的结构特征.直平行六面体是侧棱与底面垂直的平行六面体，它的两个对角面是矩形 解：如上图所示,设底面边长为山侧棱长为,两条底面对角线的长分别为,即,则: 由(1)得,由(2)得,代入(3)得: 评述与反思:(1)此题需大胆设元,为列方程方便,可以将对角线设出,但设而不解.(2)需大胆消元,整体代入.三个方程不能将四个未知数一一解出,也没有必要解出,这里需要将与的乘积看作一个整体进行计算 二、表面积与体积的计算 例2如图,的三边长分别是,以AB所在直线为轴,将此三角形旋转一周,求所得旋转体的表面积和体积 解题指导:一直角三角形绕它的直角边所在直线旋转一周形成的曲面所围成的几何体叫做

3、圆锥,但绕它的斜边所在直线旋转就不再是圆锥，这时我们可以自三角形的直角顶点C向斜边引垂线CD.垂足为D，线段CD将这个直角三角形分成两个直角三角形,AD、BD分别是两个直角三角形的一条直角边,这样线段CD旋转一周形成的面将整个旋转体分成了底面重合的两个圆锥 解:如图所示,所得的旋转体是两个底面重合的圆锥,高的和为AB=5. 底面半径,故. 评述与反思:求组合体的面积或体积,首先要弄清它是由哪些基本几何体构成,再通过轴截面分析和解决问题;若以AC或BC的边为轴旋转一周形戎怎样的几何体?它们的体积分别走多少?试比较这三个旋转体的体积的大小 三、求几何体被分割后的体积比例3.如下图,三棱柱中,若E,

4、F分别为AB、AC的中点,平面将三棱柱分成体积为、的两部分,求:. 解题指导:对应的几何体是一个棱台,一个底面的面积与棱柱的底面积相等,另一个底面的面积等于棱柱底面积的;对应的是一个不规则的几何体,显然的体积无法直接表示,可以考虑间接的办法,用三棱柱的体积减去来表示. 解：设三棱柱的高为,底面的面积为S,体积为，则E、F分别为AB、AC的中点, 故:=7:5.评述与反思:本题求不规则的几何体的体积时,是通过计算棱柱和棱台的体积的差来求得的 四、相接几何体的体积计算问题例4.已知等边圆柱(轴截面是正方形的圆柱)的全面积为S,求其内接正四棱柱的体积 解题指导要解决此题首先要画出合适的轴截面图来帮助

5、我们思考,要求内接正四棱柱的体积,只需求出等边圆柱的底面团半径,而根据已知条件可以用S表示 解：如上图,设等边圆柱的底面半径为,则高, 内接四棱柱的底面边长 . 评述与反思:本题是正四棱柱与圆柱的相接问题解决这类问题的关键是找到相接几何体之间的联系,如本例中正四棱柱的底面对角线的长与圆柱的底面直径相等,正四棱柱的高与圆柱的母线长相等,通过这些关系可以实现已知条件的相互转化 针对训练:1. 如图，斜三棱柱的底面为直角三角形，点在下底面上的射影 恰为的中点，侧棱与底面成角，侧面与侧面成的二面角为，求此斜三棱柱的侧面积和体积2. 已知四棱锥VABCD的高为h，底面为菱形，侧面VDA和侧面VDC夹角为

6、120，且都垂直于底面，另两侧面与底面夹角都是45,求棱锥的全面积.3. 一个例圆锥形容器，经过高的截面是等边三角形，向这个容器内注入水，并且放入一个半径为R的球，这时水面恰好与球面相切，问将这个球取出后容器内水面的高度.4. 如图，在三棱锥中，底面，、分别是和的中点，为上一点，且，（1）求证：平面；（2）求截面分棱锥所成两部分的体积之比5. 如图，已知棱锥的底面积是，平行于底面的截面面积是，棱锥顶点在截面和底面上的射影分别是、，过的三等分点作平行于底面的截面，求各截面的面积参考答案 1. 解:，又，过作于点，为二面角的平面角，即，30BADEB C 2.解:如下图 面VDA底面ABCD，面V

7、DC底面ABCD，且平面VDA平面VDCVD，VD底面ABCD，VDAD，VDCD,ADC是二面角A-VD-C的平面角 ADC120又底面ABCD是菱形，DAB60，连BD，ABD是等边三角形，取AB的中点H，连DH、VH，则DHAB，由三垂线定理知VHAB，VHD是侧面VAB与底面所成角的平面角，VABVCBS全2SVAD2SVABS ABCD，3. 由题设可知，圆锥的高为3R，底面半径为R.设取出球后容器内水面的高度为x，则这时水面的半径为x .依题意得 解得: x3=15R3 即取出球后容器内水面的高度为 . 4. 证明：（1）平面，且平面平面平面，且相交于在中，是边上的中线平面平面，利用两个平面垂直的性质定理可以证明平面在和中设，则， 利用相似三角形的性质，得到 ，平面（2