量子计算和量子信息(量子计算部分-Nielsen等着)4(大部分)(共10页)

1、精选优质文档-倾情为你奉上|->|+>|1>-|i>|i>|0>yzx4.14.2证明过程需要用到如下三个泰勒级数展开式：ex= 1+x+x2/2!+x3/3!+.+xn/n!+Rn(x）sin x = x-x3/3!+x5/5!-.(-1)(k-1)*x(2k-1)/(2k-1)!+Rn(x)(-<x<)cos x = 1-x2/2!+x4/4!-.(-1)k*x(2k)/(2k)!+. (-<x<)这种矩阵形式的指数表达式exp(iAx)就是用相应的泰勒级数展开来定义的，方法就是把上面的x换成这里的矩阵iAx即可。上面的数字1，就

2、是单位矩阵I，n次方也就是矩阵iAx相乘n次。exp(iAx)=I+iAx-A2x2/2!-iA3x3/3!+A4x4/4!+.+(iAx)n/n!+. =I+iAx-Ix2/2!-iA3x3/3!+Ix4/4!+.(注意到A2=I)再结合sinx和cosx的泰勒级数展开式，就可以发现，cos(x)I = I-Ix2/2!+Ix4/4!-.isin(x)A=iAx-iA3x3/3!+iA5x5/5!-.所以就有exp(iAx)=cos(x)I+isin(x)A4.34.4H=(X+Z)/2=Rx() Ry(/2)exp(i/2)Rx()=Rz(-/2) Ry() Rz(/2)所以 H=Rz(-

3、/2) Ry() Rz(/2) Ry(/2)exp(i/2)4.5X2=Y2=Z2=I 并且paili矩阵相互反对易，展开化简即得4.74.17HZH4.18左边线路的作用：|00>à|00>|01>à|01>|10>à|10>|11>à-|11>右边线路的作用：|00>à|00>|01>à|01>|10>à|10>|11>à-|11>所以等价4.191001 0110abef cdghijmn klop1001 011

4、0=abef cdghmnij opkl1001 0110 = abef dchgmnij polk4.20左边=(HH)(|0><0|I+|1><1|X)(HH)= 1000 1000=右边4.21直接输入8个状态进行验证即可4.22设V2=U,而V=e(i)AXBXC,V+=e(-i) C+XB+XA+100e(i)可以无限穿越节点，但不能穿越Xeie-ieiABB+BC4.23U=Rx=Rz-2RyRz2 不能减少Ry2Rz-2Ry2Rz2U=Ry 能Ry2Ry24.24控制比特：|00>:第一比特位 T|0>=|0>第二比特位 T+T+S= (

5、T2)+S=S+S=I第三比特位 HT+TT+TH=I|01>:第一比特位 T|0>=|0>第二比特位 T+T+S= (T2)+S=S+S=I第三比特位 HXT+TXT+TH=I|10>:第一比特位 T|1>=e(i/4)|1>第二比特位 T+XT+XS=e(-i/4) S, e(-i/4) S|0>= e(-i/4)|0>第三比特位 HT+XTT+XTH=I,e(i/4)|1> e(-i/4)|0>=|10>|11>:第一比特位 T|1>=e(i/4)|1>第二比特位 T+XT+XS=e(-i/4) S, e

6、(-i/4) S|1>= e(i/4)|1>第三比特位 HXT+XTXT+XTH= e(-i/2)HZH= e(-i/2)Xe(i/4)|1> e(i/4)|1>= e(i/2)|11>4.25(1)第三比特是控制位(2)第三比特是控制位或第一比特是控制位4.26直接输入8个状态进行验证即可（验算后没相位因子？）4.27构造如图：4.32,=ijij00|i><j|0><0|+ijij11|i><j|1><1| =ijmn|i><j|m><n|tr()= ijmn|i><j|tr(

7、|m><n|)=ijm|i><j| 4.33产生Bell态的线路为HHH而线路与恒等算子I完成的效果一样因而最后测量的是初始输入的计算基4.36X1X2Y1Y24.37U4U3U2U1U=I按照书上的步骤计算即可4.39U4.40E(U,V)=<U-V+U-V> =<(U+U+V+V)>-<(U+V+V+U)> =2-<(U+V+V+U)>U=cos(/2)-isin(/2)n*V= cos(+)/2)-isin(+)/2)n*<(U+V+V+U)>=<2cos2I>=2cos2E(U,V)= 2-

8、2cos2=|1-exp(i/2)|4.41(S为相位门)输入|00 >输出是|00>(3/4 S| >+1/4 XSX| >)+(|01>+|10>-|11>(1/4)(S| >- XSX| >)（3/4）2+(1/4)2=5/8所以以5/8的概率得到|00>3/4 S+1/4 XSX=(1/4) 3+i001+3iRz=exp(-i /2) 10035+45i而(3+i) 10035+45i= 3+i001+3i4.47利用练习2.54 A，B对易，则exp(A)*exp(B)=exp(A+B)4.49左边对e(A+B)t泰勒展开到O(t3)即可右边对e（At），e（Bt）泰勒展开到O(t3)e-0.5A,B t2泰勒展开到O(t4)右边再合并化简即可与左边相同4.50(1) 每项e-iHk