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文档简介
1、 (3可导与连续 若 w=f (z 在点 z0 处可导 Þ w=f (z 点 z0 处连续. Ü ? 证明 : 若f ( z 在z0可导, 则"e > 0, $d > 0, f ( z 0 + Dz - f ( z 0 使得当 0 < Dz < d , 时, 有 - f ¢( z 0 < e , Dz f ( z 0 + Dz - f ( z 0 令r (Dz ) = - f ¢( z0 , 则 lim r (Dz ) = 0, Dz ® 0 Dz 由此可得f ( z0 + Dz - f ( z0 = f
2、 ¢( z0 Dz + r (Dz )Dz , Dz ® 0 lim f ( z0 + Dz = f ( z0 , 所以f ( z 在z0连续 二. 解析函数的概念 定义 如果函数w=f (z在z0及z0的某个邻域内处处 可导，则称f (z在z0解析； 如果f (z在区域D内每一点都解析，则称 f (z在D内解析，或称f (z是D内的解析函数 (全纯函数或正则函数）。 如果f (z在点z0不解析，就称z0是f (z的奇点。 A (1 w=f (z 在 D 内解析 在D内可导。 Û (2 函数f (z在 z0 点可导，未必在z0解析。 例如 (1 w=z2 在整个复
3、平面处处可导，故是整个复平面 上的解析函数； (2 w=1/z，除去z=0点外，是整个复平面上的解析 函数； (3 w=zRez 在整个复平面上处处不解析(见例4。 定理1 设w=f (z及w=g(z是区域D内的解析函数， 则 f (z±g(z，f (zg(z 及 f (z ¤ g(z (g (z0时 均是D内的解析函数。 由以上讨论Þ P ( z = a0 + a1 z + L + an z n是整个复平面上的解析 函数； P(z R( z = 是复平面上 (除分母为 0点外的解析函数 . Q( z 定理 2 设 w=f (h 在 h 平面上的区域 G 内解析, h=g(z 在 z 平面上的区域 D
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