广东汕头东山中学2013高三下入学摸底考试-数学理

1、东山中学2013届高三下学期入学摸底考试理科数学试题第卷（选择题 共40分）一、选择题：（本大题共 8小题；每小题 5 分，满分 40 分。）1已知集合，则A B C D2已知，则是的A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充要条件 D既不充分又不必要条件3函数的零点所在区间为 A B C D4设变量、满足约束条件：，则的最大值为A10 B8 C6 D45已知，则 A B C D6已知函数，则A B C D7. 3位男生和3位女生共6位同学站成一排,若男生甲不站两端,3位女生中有且有两位女生相邻,则不同排法的种数是 A360 B288 C216 D96 8在某学校组织的数学竞赛中，学生的竞赛成绩

2、，则直线与圆的位置关系是A相离 B相交 C相离或相切 D相交或相切第卷（非选择题 共110分）二填空题：（本大题共6小题，每小题5分，满分30分.）（一）必做题：第9、10、11、12、13题是必做题，每道试题考生都必须做答9复数（）,且，则的值为 10若向量、满足，与的夹角为，则 11. 按如图所示的程序框图运算若输入，则输出 12一个几何体的三视图如图所示，正视图是正方形，俯视图为半圆，侧视图为矩形，则其表面保积为 13如果在一次试验中，某事件发生的概率为，那么在次独立重复试验中，事件发生偶数次的概率为 14（坐标系与参数方程选做题）曲线：（为参数）上的点到曲线：（为参数）上的点的最短距离

3、为 15（几何证明选讲选做题）如图，已知：内接于，点在的延长线上，是的切线，若，则的长为 三解答题（共6小题，满分80分;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16. (本小题满分12分)已知函数（，），的部分图像如图所示，、分别为该图像的最高点和最低点，点的坐标为（1）求的最小正周期及的值；（2）若点的坐标为，求的面积17（本小题满分12分） 某产品按行业生产标准分成个等级，等级系数依次为、，其中为标准，为标准，产品的等级系数越大表明产品的质量越好，已知某厂执行标准生产该产品，且该厂的产品都符合相应的执行标准.（1）从该厂生产的产品中随机抽取件，相应的等级系数组成一个样本，数据如下： 3

4、5 3 3 8 5 5 6 3 4 6 3 4 7 5 3 4 8 5 3 8 3 4 3 4 4 7 5 6 7该行业规定产品的等级系数的为一等品，等级系数的为二等品，等级系数的为三等品，试分别估计该厂生产的产品的一等品率、二等品率和三等品率；（2）已知该厂生产一件该产品的利润（单位：元）与产品的等级系数的关系式为：，从该厂生产的产品中任取一件，其利润记为，用这个样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，求的分布列和数学期望。18、（本小题满分14分）如图，在底面为直角梯形的四棱锥中，平面，（1）求直线与平面所成的角；（2）设点在棱上，若平面，求的值.19. （本小题满分14分）己知斜率为

5、的直线与双曲线（，），相交于、两点，且的中点为 （1）求双曲线的离心率；（2）设的右顶点为，右焦点为，证明：过、三点的圆与轴相切20.（本小题满分14分）已知函数，曲线在点处的切线方程为（1）证明：对，；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围21 (本小题满分14分)已知数列与满足,(),且（1）求,的值； （2）设,证明是等比数列；（3）设为的前项和，证明： (且)参考答案一、选择题：（本大题共 8小题；每小题 5 分，满分 40 分。） BACB CBBD二填空题：本大题共7小题，考生作答6小题，每小题5分，满分30分。9； 10； 11； 12； 13； 141； 15；三解答题（共6小题

6、，满分80分;解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）16、解：（1）由题意得，因为在的图象上所以又因为，所以 6分（2）设点的坐标为，由题意可知，得，所以连接， 则，又因为，在中，由余弦定理得 解得 又，所以 12分17、解：（1）由样本数据知，30件产品中等级系数有6件，即一等品有6件，二等品有9件，三等品有15件样本中一等品的频率为，故估计该厂生产的产品的一等品率为二等品的频率为，故估计该厂生产的产品的二等品率为三等品的频率为，故估计该厂生产的产品的三等品的频率为 6分（2）的可能取值为：1、2、4用样本的频率分布估计总体分布，将频率视为概率，由（1）可得，可得的分布列如右1240.50

7、.30.2其数学期望(元) 12分18、解1：（1）平面 面 平面平面 过作交于 过点作交于,平面平面面为直线与平面所成的角 在中， 即直线与平面所成角为 6分（2）连结，平面，平面平面又平面 且平面平面又， ，即 14分解2：如图，在平面内过作直线，交于，分别以、所在的直线为、轴建立空间直角坐标系.设，则、来源:（1）设面的法向量为、由 得 令可解得直线与平面所成的角，则 即直线与平面所成的角为6分（2）设面的法向量为、由 得 令可解得若平面,则而, 所以14分19、解：（1）由题设知，直线的方程为代入双曲线的方程，并化简得：设，则， 由为的中点知：，故，即 所以，即 故所以双曲线的离心率为 6分（注：本题也可用点差法解决）（2）由、知，双曲线的方程为： ， 同理 又因为 且 所以 解得：，（舍去） 连结，则由，知，从而，且轴， 因此以为圆心，为半径的圆经过、三点，且在点处与轴相切。所以过、三点的圆与轴相切 14分20、解：（1）由得由题意知 令 则 当时，故在单调递减 当时，故在单调递增 所以，即 6分 （2）当时，由（1）知，当得 -7分 故 ）当时，令 则 令，则， 故在上单调递增，而 故存在区间使得，即存在区间使单调递减，所以存在区间使