简单的线性规划教学设计

1、简单的线性规划一教学目标1知识与技能：了解线性规划的意义以及约束条件、线性目标函数、可行域、 最优解等 相关的基本概念；在巩固二元一次不等式（组）所表示的平面区域的基础上，能从实际优化问题中抽象出约束条件和目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优 解；掌握对一些实际优化问题建立线性规划数学模型并运用图解法进行求解的基本方法和步 骤。2过程与方法：培养学生的形象思维能力、绘图能力和探究能力；强化数形结合的数学 思想方法；提高学生构建（不等关系）数学模型、解决简单实际优化问题的能力3情感态度与价值观： 在感受现实生产、生活中的各种优化、 决策问题中体验应用数学 的快乐；在运用求解

2、线性规划问题的图解方法中，感受动态几何的魅力；在探究性练习中， 感受多角度思考、探究问题并收获探究成果的乐趣。模型、解决简单实际优化问题的能力 二教学重点。难点重点：突出根据实际优化问题准确建立目标函数，并依据目标函数的几何含义直观地运用图解法求出最优解。难点：借助线性目标函数的几何含义准确理解线性目标函数在y轴上的截距与z最值之间的关系；用数学语言表述运用图解法求解线性规划问题的过程。三教学方法：启导教学法、引探教学法四、教学过程设计1例题讲解【设计思路】本环节的教学设计意在实现：选择应用型问题引入课题，体现新课程中突出数学应用意识的理念；通过引例既帮助学生复习如何从实际问题中抽象出约束条件

3、并用平面区域表示，又通过添加优化问题转入新知识的学习；引例向学生展现了线性规划应用问题的第一种类型题：在人力、物力、资金等资源一定的情况下，如何合理规划才能完成最多的任务，即该例属于目标函数求最大值的情况，同时引例展现的可行域属于为有界区域；【例1】某工厂用A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件并耗时1 h,每生产一件乙产品使用 4个B配件并耗时2 h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配件和12个B配件，按每天工作8 h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？若 生产一件甲产品获利 2万元，生产一件乙产品获利 3万元，采用哪种生产安排获得的利润最大？解：设甲、乙两种

4、产品的日生产分别为工厂获得的利润为 Z万元，则x 2y 84x 16x, y满足约束条件为，4y 12x, y 0作出约束条件所表示的可行域，如右图所示目标函数为z 2x 3y ,可变形为y 2x z,如图，作直线l0:2x 3y 0,当33直线lo平移经过可行域时，在点 m处达到y轴上截距z的最大值，即此时 z有最大值.3 x 4解万程组，得点M(4, 2),Zmax 2x 3y 14x 2y 8 0当每天安排生产4件甲产品，2件乙产品时，工厂获利最大为14万元。【教学流程】(1)展示引例，复习旧知，定义可行解、可行域(2)添加优化问题引导学生寻找目标函数(3)引导学生寻找目标函数在平面区域

5、中的几何含义，使其发现截距与最值之间的关系(4)作目标函数过原点的直线，多媒体动态演示平移运动，确定最值，定义最优解(5)形成规范答题过程，归纳图解法步骤(6)定义线性规划2基础练习【设计思路】本环节为模仿性练习环节，意在实现：在给出例题和线性规划的定义后，及时通过练习1帮助学生整理答题思路， 再次强化图解法的基本步骤和规范解答的表述过程；练习1向学生展现了线性规划应用问题的第二种类型题：在任务一定的情况下， 如何合理规划才能使人力、物力、资金等资源花费最少，即该例属于目标函数求最小值的情况， 同时练习1展现的可行域属于为无界区域；【练习1】营养学家指出，成人良好的日常饮食应该至少提供0.07

6、5 kg的碳水化合物，0.06 kg的蛋白质，0.06 kg的脂肪。1 kg食物A含有0.105 kg碳水化合物，0.07 kg蛋白质，0.14 kg 脂肪，花费28元；而1 kg食物B含有0.105 kg碳水化合物，0.14 kg蛋白质，0.07 kg脂肪， 花费21元。为了满足营养专家指出的日常饮食要求，同时使花费最低，需要同时食用食物 A和食物B多少kg ?解：设每天食用xkg食物A, y kg食物B,总花费为z元，则目标函数为z 28x 21y,且x, y满足约束条件0.105x 0.105y 0.0750.07x 0.14y 0.060.14x 0.07y 0.06 x 0, y 0

7、整理为7x 7y 57x 14y 614x 7y 6 x 0, y 0作出约束条件所表示的可行域，如右图所示17y 65 7雷+1廿，64：加十呀Q4 z_;目标函数可变形为 y x ，如图，作直线l0:28x 21y 0,当直线10平移321经过可行域时，在点 M处达到y轴上截距-z的最小值，即此时 z有最小值.21 7x 7y 5 14解万程组y ，得点M的坐标为x -, y ,zmin 28x 21y 1614x 7y 677每天需要同时食用食物 A约0.143 kg,食物B约0.571 kg,能够满足日常饮食要求， 且花费最低16元.【教学流程】(1)出示练习(2)给予难点提示，学生独

8、立解答(3)强化答题数学语言的规范3探究练习【设计思路】本环节为探究性练习环节，意在实现：创设一个探究、讨论的课堂氛围，激发学生的学习情趣，增强师生、生生之间的互动，体现新课程中让学生“做中学”的理念；练习2的设计意在引导学生在探究的环境下，自己发现、归纳线性规划问题中目标函数的最值与平彳T直线族在 y轴上截距的各种关系(包括在可行域边界上取得最值的情况)，【练习2】如图1所示，已知a ABC中的三顶点A(2,4), B( 1, 2) , C(1, 0),点P(x, y)在a ABC内部及边界运动，请你探究并讨论以下问题： zxy在 处有最大值 ,在 处有最小值; zxy在 处有最大值 ,在

9、处有最小值 ; 你能否设计一个目标函数，使得其取最优解的情况有无穷多个？ 请你分别设计目标函数，使得最值点分别在A处、B处、C处取得?(课后思考题)若目标函数是 z x2 y2,你知道其几何意义吗？你能否借助其几何意义求得zmin和zmax ?如果是Z yL-1或Z 2y 3呢?xx 1你从以上探究过程中获得哪些探究成果和感受呢？（图2 ）点A 处有最大值 6,在边界BC处有最L,在点B 处有最小值3)4小结。作业（1）、图解法求解线性规划应用问题的基本步骤:1 1:建立数学模型（设变量，建立线性约束条件及线性目标函数）2:图形工具（作出可行域及作目标函数过原点的直线10）1 3:平移求解（确

10、定10的平移方向，依据可行域找出取得最优解的点）二4:确定最值（解相关方程组，求出最优解，代入目标函数求最值）（2）、回顾引例和练习中展现的两类线性规划应用问题，渗透数学建模的思想。【作业】某家电生产企业根据市场调查分析，决定调整产品生产方案，准备每周（按40个工时计算）生产空调器、彩电、冰箱共 120台，且冰箱至少生产 20台，已知生产这些家电 产品每台所需工时和每台产值如下表：家电名称空调器彩电冰箱工 时121314产值（干兀）432问每周生产空调器， 彩电，冰箱各多少台，才能使产值最高？最高产值是多少（以千元为单 位）？ 五、教后反思:线性规划是数形结合思想的完美体现，我们要尽力展现数学

11、的魅力，激发学生的学习积极性。简单的线性规划教案一【教学目标】1 .知识与技能：使学生了解二元一次不等式表示平面区域；了解线性规划的意义以及约束 条件、目标函数、可行解、可行域、最优解等基本概念；了解线性规划问题的图解法，并能 应用它解决一些简单的实际问题；2 .过程与方法：经历从实际情境中抽象出简单的线性规划问题的过程，提高数学建模能力;3 .情态与价值：培养学生观察、联想以及作图的能力，渗透集合、化归、数形结合的数学 思想，提高学生“建模”和解决实际问题的能力。【教学重点】用图解法解决简单的线性规划问题教教学难点】准确求得线性规划问题的最优解【教学过程】复习提问1、二元一次不等式 Ax B

12、y C 0在平面直角坐标系中表示什么图形?2、怎样画二元一次不等式（组）所表示的平面区域？应注意哪些事项?3、熟记“直线定界、特殊点定域”方法的内涵。在现实生产、生活中，经常会遇到资源利用、人力调配、生产安排等问题。1、下面我们就来看有关与生产安排的一个问题：引例：某工厂有A、B两种配件生产甲、乙两种产品，每生产一件甲产品使用4个A配件耗时1h,每生产一件乙产品使用 4个B配件耗时2h,该厂每天最多可从配件厂获得 16个A配 件和12个B配件，按每天8h计算，该厂所有可能的日生产安排是什么？（1）用不等式组表示问题中的限制条件：设甲、乙两种产品分别生产 x、y件，又已知条件可得二元一次不等式组

13、：x 2y 8 4x 16 4y 12.（1）x 0 y 0 （2）画出不等式组所表示的平面区域： 如图，图中的阴影部分的整点（坐标为整数的点）就代表所有可能的日生产安排。 （3）提出新问题：进一步，若生产一件甲产品获利 2万元，生产一件乙产品获利 3万元，采用哪种生产安排利 润最大？（4）尝试解答：设生产甲产品x件，乙产品y件时，工厂获得的利润为z,则z=2x+3y.这样，上述问题就转化为：当x,y满足不等式（1）并且为非负整数时，z的最大值是多少？把z=2x+3y变形为y -x-,这是斜率为2 ,在y轴上的截距为 乙的直线。当z333328z 一.-x 一），这说明，截距一可以由333-x

14、1与不等式组（1）的区域的33变化时，可以得到一族互相平行的直线，如图，由于这些直线的斜率是确定的，因此只要给 定一个点，（例如（1, 2）,就能确定一条直线（y平面内的一个点的坐标唯一确定。可以看到，直线 y交点满足不等式组(1),而且当截距(最大时，z取得最大值。因此，问题可以转化为当直线y 2x三与不等式组(1)确定的平面区域有公共点时，在区域内找一个点P,使直33线经过点P时截距-最大。3(5)获得结果：由上图可以看出，当实现y 2x -金国直线x=4与直线x+2y-8=0的交点M (4, 2)33a z14时，截距z的值最大，最大值为 14,这时2x+3y=14.所以，每天生产甲产品

15、4件，乙产品332件时，工厂可获得最大利润14万元。2、线性规划的有关概念：线性约束条件：在上述问题中，不等式组是一组变量x、y的约束条件，这组约束条件都是关于x、y的一次不等式，故又称线性约束条件.线性目标函数：关于x、y的一次式z=2x+y是欲达到最大值或最小值所涉及的变量x、y的解析式，叫线性目标函数.线性规划问题：一般地，求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值的问题，统称为线性规划问题.可行解、可行域和最优解：满足线性约束条件的解(x,y)叫可行解.由所有可行解组成的集合叫做可行域.使目标函数取得最大或最小值的可行解叫线性规划问题的最优解.1、变换条件，加深理解探究：课本第88

16、页的探究活动(1) 在上述问题中，如果生产一件甲产品获利3万元，每生产一件乙产品获利2万元，有应当如何安排生产才能获得最大利润？在换几组数据试试。(2) 有上述过程，你能得出最优解与可行域之间的关系吗？1 .请同学们结合课本P91练习1来掌握图解法解决简单的线性规划问题y x,(1)求z=2x+y的最大值，使式中的 x、y满足约束条件 x y y 1.解：不等式组表示的平面区域如图所示：当 x=0,y=0 时，z=2x+y=0点(0, 0)在直线l0:2x+y=0上.作一组与直线I。平行的直线l :2 x+y=t, t C R可知，在经过不等式组所表示的公共区域内的点且平行于l的直线中，以经过点 A (2,-1)的直线所对应的t最大.所以 Znax=2X 2-1=3.(2)求z=3x+5y的最大值和最小值，使式中的x、y满足约束条件5x 3y 15,y x