八年级数学上册第一章勾股定理3勾股定理的应用难点分析素材北师大版课件

1、勾股定理的应用难点分析勾股定理的应用就是把实际问题转化到直角三角形中用“勾股定理”解决. 下面举例说 明并分析学生在应用勾股定理所遇到的难点.一 . 在实际问题中抽象出直角三角形应用勾股定理例 1. 飞机在空中水平飞行,某一时刻刚好飞机飞到一个男孩头顶正上方 4000多米处, 过 20秒,飞机距离这个男孩头顶 5000米,飞机每时飞行多少千米? 分析:从题意中抽抽象出图形, 如右图, 图中 ABC 的 90, 4000C AC =米, AB =5000米,欲求飞机每小时飞行多少千米,就要知道飞机在 20秒的时间里的飞行路程,即图中的 CB 的长,由于直角 ABC 的斜边 AB =5000米,

2、AC =4000米,这样的 CB 就可以通过勾股定理 得出.解:由勾股定理得 千米 (94522222=-=-=AC AB BC即 BC =3千米飞机 20秒飞行 3千米,那么它 1小时飞行的距离为: 小时 千米 /(5403203600=答:飞机每个小时飞行 540千米.二 . 注意方程思想的应用的两个类型.类型一:在一个直角三角形中,应用勾股定理列方程.例 2. 在平静的湖面上,有一支红莲,高出水面 1米,阵风吹来,红莲被吹到一边,花朵 齐及水面,已知红莲移动的水平距离为 2米,问这里水深是多少米?ABC 分析:从实际中抽象出几何图形,如图,由题意可知: ADC = BDC =90

3、6;红莲高出水 面 AD =1米; 花朵齐及水面说明:AB =BC ; 红莲移动的水平距离为 2米说明:DC =2米. 在 Rt BDC 中,应用勾股定理例方程可得.解:如图 2,由题意可知: ADC = BDC =90°红莲高出水面 AD =1米;花朵齐及水面 说明:AB =BC ;红莲移动的水平距离为 2米说明:DC =2米.设水深 BD =x 米,则 AB =BC =(x +1米在 Rt BDC 中,根据勾股定理得:222BD DC BC +=所以 2222(2 x x +=+解得:1.5x =答:这里水深是 1.5米类型二:在两个直角三角形中,分别应用勾股定理列方程.例 3.

4、 如图 3,铁路上 A , B 两点相距 25km , C , D 为两村庄, DA AB 于 A , CB AB 于 B , 已知 DA =15km, CB =10km,现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E ,使得 C , D 两村到 E 站的距离相等,则 E 站应建在离 A 站多少 km 处?分析:要求 AE 的长度,在 Rt ADE 中应用勾股定理,只知道 DA =15km,不能求.同时 我们发现, 在这个图形中有两个直角三角形, 能否分别这两个三角形中都利用勾股定理呢? 是可以的,在 Rt ADE 中,根据勾股定理得:222AD AE DE +=,在 Rt CBE 中,根据勾

5、股 定理得:222CB BE CE +=,而 DE =CE ,从而得到等式 22AD AE +=22CB BE +,列方程问题 解决了.A E B 第 3题图B 第 2题图解:设 AE =x ,则 BE =(25 x -在 Rt ADE 中,根据勾股定理得:222AD AE DE +=在 Rt CBE 中,根据勾股定理得:222CB BE CE +=因为现在要在铁路 AB 上建一个土特产品收购站 E ,使得 C , D 两村到 E 站的距离相等 所以 DE =CE所以 22DE CE =所以 22AD AE +=22CB BE +所以 2215x +=2210(25 x +-解得:10x =所

6、以 E 站应建在离 A 站 10km 处例 4. 已知中, 5cm 12cm 13cm AB BC AC =, , ,求 AC 边上的高线的长.分析:首先通过所给的三角形的三边长, 判断出所求高线长的三角形为直角三角形, 并 且要求的为斜边上的高线,在 Rt BDC 中,根据勾股定理得:222BD BC CD =-. 在 Rt CBE 中,根据勾股定理得:222BD AB DA =-,得到 2222BC CD AB DA -=-,未知量 可用方程的思想求得.解:因为 , 16914425222=AC BC AB , , 16914425=+所以 222AC BC AB =+ ABC 为 Rt

7、,且 90=B作 AC BD 于 D设 ,则 x CD -=13132525 13(1222222222=-=-=-=x x x AD AB CD BC BD5C 13 D A 第 4题图1360 1325(252222=-=-=AD AB BD 答:AC 边上的高线长为 60cm 13三 . 连续求出线段长与连续表示线段的意识在解题寻找思路方法过程中, 同学们往往感觉无所适从, 建议你要具有“连续求出线段 长与连续表示线段的意识”,一些题会迎刃而解,感觉题还特别容易.例 5. 如图 5:在长方形 ABCD 中,已知 AB =8 cm, BC =10cm,将 AD 沿直线 AF 折叠,使点 D

8、 落在 BC 上的点 E 处,求 CF 的长.分析:不难连续求出线段:AD =AE =10, BE =6, EC =4.连续表示线段:设 CF =x ,则 DF =EF =(8-x .这时,你就会发现在 Rt ECF 中应用勾股定理就解决了.解:因为 在长方形 ABCD 中,已知 AB =8 cm, BC =10cm所以 DC =8 cm; AD =10因为 将 AD 沿直线 AF 折叠所以 AE = BC =10cm; DF =EF在 Rt ABE 中,应用勾股定理得:BE =6所以 EC =4设 CF =x ,则 DF =EF =(8-x 在 Rt ECF 中,应用勾股定理得:222EC

9、CF EF +=即, 2224(8- x x +=解得:3x =所以 CF 的长为 3. FDCB A 第 5题图例 6. 在一棵树的 10米高处有两只猴子,一只猴子爬下树走到离树 20米处的池塘的 A 处. 另一只爬到树顶 D 后直接跃到 A 处, 距离以直线计算, 如果两只猴子所经过的距离相等, 求这棵树高. 分析:如图 6,根据题意可知:BD +DA =BC +CA =10+20=30米,连续表示线段:设树高 为 x 米,则 BD =( x -10 米, AD =30-BD =30-(x -10=(40-x 米.在 Rt ACD 中应用勾 股定理可解.解:如图 6,根据题意可知:BD +

10、DA =BC +CA =10+20=30米设树高为 x 米,则 AD =30-BD =30-(x -10=(40-x 米在 Rt ACD 中应用勾股定理得:222DC CA AD +=即, 22220(40- x x +=解得:15x =所以 树高为 15米.四 . 构造直角三角形应用勾股定理例 7. 如图 7, A 、 B 两个小集镇在河流 CD 的同侧,分别到河的距离为 AC =10千米, BD =30千米,且 CD =30千米,现在要在河边建一自来水厂,向 A 、 B 两镇供水,铺设水管的费用为 每千米 3万,请你在河流 CD 上选择水厂的位置 M ,使铺设水管的费用最节省,并求出总费

11、用是多少?分析:要使铺设水管的费用最节省, 需要使水厂位置到两个小集镇的距离最短, 有轴对 图 7-1 B l F B Bl第 7题图 A第 6题图称的知识可知：作 B 点关于直线 l 的对称点 B，连结 AB与 l 相交于 E，则 E 点为水厂位 置，使铺设水管距离最短，费用最节省 因为 AEEB= AB，还需求出 AB的长，这时，不妨构造直角三角形应用勾股定理， 过点 A 作 AEBD 于点 F，在 RtAFB中应用勾股定理求 AB的长即可 答：如图 7-1，将河流 CD 抽象为直线 l，在直线 l 同侧有两个点 A 和 B，作 B 点关于直 线 l 的对称点 B，连结 AB与 l 相交于 E，则 E 点为水厂位置，使铺设水管距离最短，费 用最节省 理由：事实上，如果是 E点的话，则连结 AE与 EB 和 EB， 由轴对称性知道，EB= EB，EB=E B 所以 E到 A、B 距离之和 AE+EB=AE+EB 而 E 到 A、B 距离之和 AE+EB=AE+ E B=AB 在ABE中，三角形两边之和大于第三边 AE+ EB> AB 所以 E 点为所求的点 过点 A 作 AEBD 于点 F，则得到长方形 ACDF，AF=CD=30 千