第五章第一节向量的内积ppt课件

1、5.1 预备知识预备知识: 向量的内积向量的内积 在解析几何中有两向量的数量积的概念在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设即设x, y为两向量为两向量, 则它们的数量积为则它们的数量积为:x y = | x | y | cos . 设向量设向量x, y 的坐标表示式为的坐标表示式为 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 那么那么x y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .,|232221xxxx .|arccosyxyx 由此引出了向量的长度由此引出了向量的长度(即模即模)和两向量夹角的概念和两向量夹角的概念:定义定义1: 1: 设有设有n

2、n维向量维向量,2121 nnyyyyxxxxx, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn,称称x, y为向量为向量 x 与与 y 的内积的内积. 说明说明1. n(n4)维向量的内积是维向量的内积是3维向量数量积的维向量数量积的推广推广, 但是没有但是没有3维向量直观的几何意义维向量直观的几何意义. 说明说明2. 内积是向量的一种运算内积是向量的一种运算, 如果都是列向量如果都是列向量, 内积可用矩阵记号表示为内积可用矩阵记号表示为: x, y = xT y.我们把两向量的数量积的概念向我们把两向量的数量积的概念向 n 维向量推广维向量推广:记记内积的运算性质内积的运算性质设

3、设x, y, z为为n维向量维向量, 为实数为实数, 那么那么(1) x, y = y, x;(2) x, y = x, y;(3) x+y , z = x, z + y, z;(4) x, x 0, 当且仅当当且仅当x=0时有时有x, x=0.称称| x |为为n维向量维向量 x 的长度的长度(或范数或范数).,|22221nxxxxxx 定义定义: 令令向量的长度具有下述性质向量的长度具有下述性质:(1) 非负性非负性: | x | 0, 当且仅当当且仅当x=0时有时有| x | = 0;(2) 齐次性齐次性: | x| = | | | x |;(3) 三角不等式三角不等式: | x+y

4、| | x | + | y |.|,cosyxyx ,2262318 .4 |,arccosyxyx 单位向量及单位向量及n n 维向量间的夹角维向量间的夹角(1)当当| x |=1时时, 称称x为单位向量为单位向量.(2)当当| x | 0, | y | 0 时时, 称为称为n维向量维向量 x 与与 y 的夹角的夹角, 规定规定0 .例例1: 求向量求向量=(1, 2, 2, 3)与与=(3, 1, 5, 1)的夹角的夹角解解: x, y=13+21+25+31=18, ,183221|2222 x,361513|2222 y所以所以故故, 向量向量x与与 y 的夹角为的夹角为:1. 正交的

5、概念正交的概念2. 正交向量组的概念正交向量组的概念若一非零向量组中的向量两两正交若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量则称该向量组为正交向量组组为正交向量组.当当x, y=0时时, 称向量称向量 x 与与 y 正交正交.由定义知由定义知, 若若x=0, 那么那么 x与任何向量都正交与任何向量都正交.3. 正交向量组的性质正交向量组的性质 定理定理1: 若向量组若向量组1, 2, , r 是是n维正交向量维正交向量组组, 那么那么1, 2, , r 线性无关线性无关.证明证明: 设有数设有数1, 2, ,r, 使得使得: 1 1 + 2 2 + + r r = 0由于由于1, 2, ,

6、r 是两两正交的非零向量组是两两正交的非零向量组,当当 i j 时时, i, j=iTj = 0, 当当 i = j 时时, i, i=iTi 0,则有则有用用iT ( i =1, 2, , r )左乘上式得左乘上式得, 1 iT 1 + 2 iT 2 + + r iT r = iT0 = 0, i iT i = 0.即即从而得从而得, 1=2= = r = 0,所以所以1, 2, ,r 线性无关线性无关.4. 向量空间的正交基向量空间的正交基 定义定义: 若正交向量组若正交向量组1, 2, , r是向量空间是向量空间V的一组基的一组基, 则称则称1, 2, , r 是向量空间是向量空间V的一

7、组的一组正交基正交基.例例2: 已知三维向量空间中两个向量已知三维向量空间中两个向量正交正交. 试求试求3使使1, 2, 3构成三维空间的一组正交基构成三维空间的一组正交基. 1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 2, 1)T即即.02,0,3213232131 xxxxxx 解之得解之得解解: 设设3=(x1, x2, x3)T0, 且分别与且分别与1, 2正交正交.则有则有1, 3=2, 3=0,x1 = x3, x2 = 0.1013213 xxx 若令若令 x3 = 1, 则有则有,101,121,111321 构成三维空间的一组正交基构成三维空间的一组正交基.那么那么5. 规范正交

8、基规范正交基.212100,212100,002121,0021214321 eeee例如例如 定义定义: : 设设n n维向量组维向量组e1, e2, , ere1, e2, , er是向量是向量空间空间V VRnRn的一组正交基的一组正交基, , 且都是单位向量且都是单位向量, , 则称则称e1, e1, e2, , ere2, , er是向量空间是向量空间V V的一组规范正交基的一组规范正交基. .).4, 3, 2, 1,(10, jijijieeijji 由于由于所以所以, e1, e2, e3, e4为为R4的一组规范正交基的一组规范正交基.1000,0100,0010,00014

9、321 同理可知同理可知也为也为R4的一组规范正交基的一组规范正交基(即单位坐标向量组即单位坐标向量组). 设设e1, e2, , er是向量空间是向量空间V的一组规范正交基的一组规范正交基, 则则V中的任一向量中的任一向量a可由可由e1, e2, , er线性表示线性表示, 设表示式为设表示式为:a =1e1 + 2e2 + + rer ,用用eiT左乘上式左乘上式, 有有 eiTa =i eiTei =i ,即即 i = eiTa = a, ei,这就是向量在规范正交基中的坐标这就是向量在规范正交基中的坐标(即线性表示系数即线性表示系数)的计算公式的计算公式. 利用该公式可方便地计算向量在

10、规范正利用该公式可方便地计算向量在规范正交基中的坐标交基中的坐标, 因此我们常取向量空间的规范正交基因此我们常取向量空间的规范正交基.6. 求规范正交基的方法求规范正交基的方法 知知1, 2, , r 是向量空间是向量空间V 的一组基的一组基, 求求V 的一组规范正交基的一组规范正交基, 就是要找一组两两正交的单位向就是要找一组两两正交的单位向量量e1, e2, , er , 使使e1, e2, , er 与与1, 2, , r 等等价价, 这样一个问题称为把基这样一个问题称为把基1, 2, , r 规范正交规范正交化化.(1) 正交化正交化设设a1, a2, , ar 是向量空间是向量空间V

11、 的一组基的一组基. ,1112122bbbabab ,222321113133bbbabbbbabab 取取 b1 = a1,111122221111, rrrrrrrrrbbbabbbbabbbbabab 则则b1, b2, , br两两正交两两正交, 且且b1, b2, , br与与a1, a2, ,ar等价等价.(2) 单位化单位化, 取取,|,|,|222111rrrbbebbebbe 则则e1, e2, , en是向量空间是向量空间V的一组规范正交基的一组规范正交基. 上述由线性无关向量组上述由线性无关向量组a1, a2, , ar 构造出正交构造出正交向量组向量组b1, b2,

12、, br 的过程称为施密特的过程称为施密特(Schimidt)正正交化过程交化过程. 例例3: 用施密特正交化方法用施密特正交化方法, 将向量组将向量组a1=(1, 1, 1, 1), a2=(1, -1, 0, 4), a3=(3, 5, 1, -1)正交规范化正交规范化.解解: 先正交化先正交化.1112122,bbbabab )1 , 1 , 1 , 1(1111411)4, 0, 1, 1( ),3, 1, 2, 0( 取取b1= a1=(1, 1, 1, 1),222321113133,bbbabbbbabab )3, 1, 2, 0(1414)1 , 1 , 1 , 1(48)1,

13、 1 , 5, 3( ),0, 2, 1 , 1( 再单位化再单位化.得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下:),143,141,142, 0()3, 1, 2, 0(141|222 bbe).0,62,61,61()0, 2, 1, 1(61|333 bbe),21,21,21,21()1 , 1 , 1 , 1(21|111 bbe例例4: 设设,014,131,121321 aaa试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化试用施密特正交化过程把这组向量规范正交化.bbbaab1211222|, 12164131;11135 bbbabbbaab2223111333|,|, 解解: 先正交

14、化先正交化. 取取b1= a1 1113512131014.1012 ,121 |111bbe ,12161 |222bbe ,11131 |333bbe .10121 再单位化再单位化.得规范正交向量组如下得规范正交向量组如下:故故, e1, e2, e3 即为所求即为所求.例例5: 知知,1111 a求一组非零向量求一组非零向量a2, a3, 使使a1, a2, a3两两正交两两正交.解解: 非零向量非零向量a2, a3应满足方程应满足方程 a1Tx = 0, 即即x1+ x2+ x3= 0.110,10121 它的基础解系为它的基础解系为:把基础解系正交化把基础解系正交化, 即合所求即合

15、所求. 亦即取亦即取,12 a.,1112123 a其中其中1, 2=1, 1, 1=2,于是得于是得,1012 a.12121101211103 aa1a3a2b1c2b2c3c31c32b3几几 何何 解解 释释,|,|,12112111122bbbabbbbac b2 = a2 c2, c2为为a2在在b1上上的投影向量的投影向量, 即即b1 = a1, b3 = a3 c3, c3为为a3在在b1, b2所确定的平面上的投影向量所确定的平面上的投影向量, 由于由于b1b2, 故故c3等于等于a3分别在分别在b1, b2上的投影向上的投影向量量c31及及c32之和之和, 即即32313c

16、cc ,|,|,2222312113bbbabbba 定理定理: A为正交矩阵的充要条件是为正交矩阵的充要条件是A的列向量都是的列向量都是单位向量且两两正交单位向量且两两正交. 若若n阶方阵阶方阵A满足满足ATA = E, 即即A-1=AT, 则称则称A为正为正交矩阵交矩阵.证明证明: 由于由于Eaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnn 212222111211212221212111ATA = E EnTnTT ,2121 ., 2, 1,01njijijiijjTi EnTnTnTnnTTTnTTT 212221212111性质性质1: 1: 正交变换保持向量的长度不变

17、正交变换保持向量的长度不变. .|xxxPxPxyyyTTTT 定义定义: : 若若P P为正交阵为正交阵, , 则线性变换则线性变换 y = Px y = Px 称为称为正交变换正交变换. .证明证明: 设线性变换设线性变换 y = Px为正交变换为正交变换.则有则有 性质性质2: 设设A为正交矩阵为正交矩阵, 则则A-1=AT也为正交矩阵也为正交矩阵, 且且|A|=1或或1. 性质性质3: 设设A,B都是正交矩阵都是正交矩阵, 则则AB也为正交矩阵也为正交矩阵.例例6: 判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵. ,1213121121312111 .979494949198949

18、8912 解解(1): 考察矩阵的第一列和第二列考察矩阵的第一列和第二列. , 021311)21()21(1 所以所以(1)不是正交矩阵不是正交矩阵.由于由于解解(2): 注意到注意到, 该矩阵为对称矩阵该矩阵为对称矩阵, 则有则有 100010001T 74441848191 74441848191所以所以(2)是正交矩阵是正交矩阵.例例6: 验证矩阵验证矩阵 2121000021212121212121212121P 解解: P 的每个列向量都是单位向量的每个列向量都是单位向量, 且两两正交且两两正交, 所以所以P是正交矩阵是正交矩阵.是正交矩阵是正交矩阵. 1. 将一组基规范正交化的方法将一组基规范正交化的方法: 先用施密特正交化方法将基正交化先用施密特正交化方法将基正交化, 然后再将其然后再将其单位化单位化.2. A为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立为正交矩阵的充要条件是下列条件之一成立:(1