第六章 二次型ppt课件

1、二次型及其标准形二次型及其标准形正定二次型与正定矩阵正定二次型与正定矩阵 二次型，作为矩阵的四大名标四大矩阵标量函二次型，作为矩阵的四大名标四大矩阵标量函数之一，经常出现在物理、力学等学科中。对它数之一，经常出现在物理、力学等学科中。对它的研究最早发轫于高斯的的研究最早发轫于高斯的 数论研究，该书第数论研究，该书第5 5章章讨论了二次型的理论，目的旨在确定一个给定整数讨论了二次型的理论，目的旨在确定一个给定整数能否表示为特殊的形式。之后柯西在进行二次曲面能否表示为特殊的形式。之后柯西在进行二次曲面的研究时发现需要寻找一个坐标变换将二次型变成的研究时发现需要寻找一个坐标变换将二次型变成只含平方项

2、的形式，即二次型的标准形。只含平方项的形式，即二次型的标准形。1、二次型及其标准形、二次型及其标准形一、二次型的定义一、二次型的定义(,)( , ),kf t x t yt f x ytR 在高中数学课程中我们就学习过圆锥曲线，比如椭圆、在高中数学课程中我们就学习过圆锥曲线，比如椭圆、双曲线、抛物线等，从代数上看，它们的方程分别为双曲线、抛物线等，从代数上看，它们的方程分别为2222( , )1,( , )1,yxabf x yf x yxy 实际上，它们是高等数学课程中学习过的实际上，它们是高等数学课程中学习过的 的的二元二元 次齐次函数，即有次齐次函数，即有k2k 12(,)nff x x

3、x n为为 元二次型，简称为二次型。我们只学习系数元二次型，简称为二次型。我们只学习系数和未知数全为实数的所谓实二次型。和未知数全为实数的所谓实二次型。n,1()ni jiii jj ijja xaxa 2111121211nnfa xa x xa x x 21122nnnnnnna x xa x xa x 22121222232322nna x xa xa x xax x 11111221()nnx a xa xa x 1122()nnnnnnxa xaxax 22112222332()nnx a xa xa xa x11112212112222121122,nnnnnnnnnnaxaxax

4、axaxaxxxxaxaxax 1112112122221212,nnnnnnnnaaaxaaaxxxxaaax 所以，所以， 元的二次型与对称矩阵元的二次型与对称矩阵 一一 一对应，一对应，因因 此称此称 为二次型为二次型 的矩阵，称的矩阵，称 为对称矩为对称矩阵阵 的二次型。二次型的秩就是对应矩阵的秩。的二次型。二次型的秩就是对应矩阵的秩。所以，所以，“实二次型就是实对称矩阵实二次型就是实对称矩阵”。nAfAAf,Tfx Ax 如果令如果令12, ,Tni jn nxxxxAa 那那么么这里这里.TAA 112312323123(,)(,) 456.789xf x xxx xxxx 112

5、312323123(,)(,) 456.789xf x xxx xxxx 112312312323(47,258,369)xxxxxxxxxxxx22212312132359(24)(37)(68)xxxx xx xx x 所求矩阵为所求矩阵为112323551(,)5.37379xx xxxx 155337579 Tfx Ax A1().2TAA 因为因为(,)TTTTTx Axx Axx A x 所以所以1().22TTTTTTA Afx Axx Ax x A xxx 并且易知并且易知 是对称矩阵。是对称矩阵。2TA A 对应只含有平方项的二次型对应只含有平方项的二次型(即标准形即标准形)

6、显然，作为特殊的矩阵，对角矩阵显然，作为特殊的矩阵，对角矩阵12(,)nDdiag d dd 2221122.nnfd yd yd y 假如假如 ，则标准形中非零系数的个数为，则标准形中非零系数的个数为 反之亦然。反之亦然。()r Dr . r显然有了标准形，好多问题一目了然。显然有了标准形，好多问题一目了然。联想到实对称矩阵必可对角化，所以对给定二次联想到实对称矩阵必可对角化，所以对给定二次型型 ，我们的中心问题就是确定一个满秩矩阵，我们的中心问题就是确定一个满秩矩阵 使得通过保秩的线性变换使得通过保秩的线性变换 fPxPy 2221122nTny D yfd yd yd y 将二次型将二次

7、型 化为新变量化为新变量 的标准形的标准形12,nyyyf因此问题变成能否找到满秩矩阵因此问题变成能否找到满秩矩阵 ，使得，使得PTP APD 也就是所谓相合对角化的问题。也就是所谓相合对角化的问题。()()TTTTfx AxPyA PyyP AP y 注意到注意到TBP AP ABP则称矩阵则称矩阵 和和 是相合矩阵或合同矩阵，也称是相合矩阵或合同矩阵，也称矩阵矩阵 和和 相合或合同。按变换的观点，称矩相合或合同。按变换的观点，称矩阵阵 相合变换或合同变换成相合变换或合同变换成 ， 称为相合变称为相合变换矩阵或合同变换矩阵。换矩阵或合同变换矩阵。ABBBAAP显然，当显然，当 为对角阵为对角

8、阵 时，就是将时，就是将 相合对角化相合对角化成了标准相合矩阵成了标准相合矩阵 。此时有相合标准形。此时有相合标准形BDAD11()TTAPDPC DC 由于对正交矩阵由于对正交矩阵 ，有，有 , 而且总可以通过而且总可以通过正交变换矩阵正交变换矩阵 将实对称矩阵将实对称矩阵 正交对角化为对角正交对角化为对角阵阵 。因此正交变换既是特殊的相似变换，也是特。因此正交变换既是特殊的相似变换，也是特殊的相合变换，是这两种变换集的交集。殊的相合变换，是这两种变换集的交集。1TQQ QQA 根据前面的分析，我们可有下面的定理。根据前面的分析，我们可有下面的定理。Tfx Ax xQ y AQ12(,)nd

9、iag Tfyy2,x xQ y Qxy 值得说明的是，正交变换值得说明的是，正交变换 不仅是保秩变换，而不仅是保秩变换，而且是保范变换且是保范变换(保持向量的范数或长度不变保持向量的范数或长度不变)，因为，因为xQ y 而且二次型而且二次型 通过正交变换后得到的标准通过正交变换后得到的标准形的系数一定是矩阵形的系数一定是矩阵 的特征值的特征值 。ATfx Ax () ()TTTQ yQ yy Q Q y 2,Tyyy yy 22112254548xx xx 化成标准形式。化成标准形式。二次型的矩阵为二次型的矩阵为52.25A 121122,1122pp 可求得特征值为可求得特征值为 3 和和

10、 7 ，相应的单位特征向量分别为，相应的单位特征向量分别为令令 121122,1122Ppp 则通过变换则通过变换 ，有，有 xPy 22123748yy 因此得到椭圆的标准形因此得到椭圆的标准形 48()()()TTTTx AxPyA PyyP AP y3007Tyy % ex6105.mh=ezplot(5*x12-4*x1*x2+5*x22-48),hold on% 绘出二次型的几何图形，这里为椭圆绘出二次型的几何图形，这里为椭圆set(h,Color,r); %颜色为红色颜色为红色set(h,LineWidth,2);%线宽为线宽为2axis square; grid on; %产生正

11、方形坐标轴，加上网格产生正方形坐标轴，加上网格% ex6105.m续）续）A=5 -2;-2 5; V,D=eig(A) %计算特征值和特征向量计算特征值和特征向量h=ezplot(x1+x2),hold on %在同一张图上绘制对称轴在同一张图上绘制对称轴set(h,Color,g); %颜色为绿色颜色为绿色h=ezplot(x1-x2),hold on %另一条对称轴另一条对称轴set(h,Color,g);% ex6105.m续）续）h=ezplot(3*x12+7*x22-48),hold on%绘制规范二次型的几何图形绘制规范二次型的几何图形set(h,Color,b);set(h,

12、LineWidth,2);plot(-2*pi,2*pi,0,0,Color,k)hold onplot(0,0,-2*pi,2*pi,Color,k)hold on%在同一张图上绘制水平和在同一张图上绘制水平和%垂直坐标轴垂直坐标轴22123121223(,)244.f xxxxxx xx x 解法一：解法一： （正交变换法）（正交变换法）二次型二次型 的矩阵为的矩阵为f220212020A 由由220212020AI (1)(4)(2)0 得得 的特征值为的特征值为A1234,1,2. 对于对于 ，解，解 ， 有有1()0AI x 14 2201104232012024000AI 可得特征

13、向量可得特征向量122 .1 对于对于 ，解，解 ， 有有2()0AI x 21 120120202021021000AI 可得特征向量可得特征向量221.2 对于对于 ，解，解 ， 有有3()0AI x 32 4202102232201022000AI 可得特征向量可得特征向量312 .2 1232211112 ,1,2 .333122 由于三个特征值都是单根，不需要施密特正交化，因由于三个特征值都是单根，不需要施密特正交化，因此分别将此分别将 单位化，得单位化，得123, 令令1232211,2123122Q 那那么么41.2TQ AQ 化成了标准形化成了标准形这时二次型这时二次型2221

14、23123(,)412g yyyyyy 22123121223(,)244.f xxxxxx xx x 从几何上看，从几何上看， 显然是高等数学显然是高等数学中学过的单叶双曲面！这说明二次型理论可以从中学过的单叶双曲面！这说明二次型理论可以从代数上化简二次曲面的方程，进而确定其形状。代数上化简二次曲面的方程，进而确定其形状。123(,)1g yyy 2212232()24xxxxx212222332)(2)4(xxxxx22123121223(,)244f xxxxxx xx x 2223122342()(2)xxxxx),(2)yxyxxyxx 令令即即112321

15、331122222,xyyyxyyxy 写成矩阵形式，即写成矩阵形式，即1122331222202100 xyxxyPyxy 因而，经过满秩变换因而，经过满秩变换xPy 123(,)f x xx123(,)g yyy 222123412yyy 显然，配方法的优点是计算简单，但缺点难以得到显然，配方法的优点是计算简单，但缺点难以得到保范的正交变换。保范的正交变换。经正交变换经正交变换 化成标准形化成标准形xQ y 222123123122313(,)222f x x xxxxax xbx xx x 求参数求参数, .a b由于采用的正交变换是特殊的相似变换，所以特征由于采用的正交变换是特殊的相似

16、变换，所以特征值不变，特征多项式也不变。值不变，特征多项式也不变。本题是二次型标准形的逆问题。本题是二次型标准形的逆问题。22232fyy 变换前后二次型变换前后二次型 的矩阵分别为的矩阵分别为f111,11aAabb 000010 .002 由于采用的正交变换是特殊的相似变换，所以矩阵由于采用的正交变换是特殊的相似变换，所以矩阵 与与 类似，因而类似，因而 的特征值也为的特征值也为0，1，2。从而。从而A A0,00112.AIA 011100,101011aaababbb 即即也就是也就是220,()0.abab 所以所以0.ab211121112A ，100010 .000B AB211

17、121112AI 2(3)0 得得 的特征值为的特征值为A1233,3,0. 111121112 因为因为 和和 的特征值不全相等，所以的特征值不全相等，所以 和和 不相似。不相似。ABAB(3,3,0)TQ AQdiag 由于由于 是实对称矩阵，因而存在正交矩阵是实对称矩阵，因而存在正交矩阵 ，使，使QA即即1133()()(1,1,0)TQAQBdiag 显然显然 是可逆矩阵，并且是可逆矩阵，并且13PQ TP APB 所以所以 和和 是合同的。是合同的。AB2、正定二次型与正定矩阵、正定二次型与正定矩阵在将可对角矩阵相似对角化为对角阵在将可对角矩阵相似对角化为对角阵 时，并没有规定时，并

18、没有规定对角阵中对角元的顺序和取值约定，所以对角阵是不对角阵中对角元的顺序和取值约定，所以对角阵是不唯一的，相应的相似变换也不是唯一的。类似地，对唯一的，相应的相似变换也不是唯一的。类似地，对实对称矩阵正交对角化或相合对角化后得到的对角阵实对称矩阵正交对角化或相合对角化后得到的对角阵也不是唯一的，相应的正交变换或相合变换也不是唯也不是唯一的，相应的正交变换或相合变换也不是唯一的。所以化二次型为标准形时，采用的可逆变换一的。所以化二次型为标准形时，采用的可逆变换满秩变换不是唯一的，得到的标准形自然也不是满秩变换不是唯一的，得到的标准形自然也不是唯一的。唯一的。虽然虽然“沧海桑田沧海桑田”，仍有能

19、够，仍有能够“永久之物，即永久之物，即两个对角阵中非零元个数、正元个数、负元个数两个对角阵中非零元个数、正元个数、负元个数都是相同的，此即西尔维斯特都是相同的，此即西尔维斯特(Sylvester)惯性定惯性定理。理。1133()()(1,1,0)TTQAQP APBdiag (3,3,0)TQ AQdiag 上节例上节例9 9中，对同一个实对称矩阵中，对同一个实对称矩阵 ，通过正交矩，通过正交矩阵阵 将将 变换成了对角矩阵变换成了对角矩阵 ，即，即QAA 通过可逆矩阵通过可逆矩阵 ，则变换成了对角矩阵，则变换成了对角矩阵 ，即，即B13PQ rTfx Ax 2221122rrfyyy xQz

20、xP y 2221 122,rrfzzz22222121()fyyyyry 根据惯性定理，规定二次型根据惯性定理，规定二次型 的规范形为的规范形为f显然，规范形是唯一的。显然，规范形是唯一的。222123123122313(,)222f x x xxaxxx xx xax x 的正、负惯性指数都是的正、负惯性指数都是1。求参数。求参数 。a二次型的秩就是正、负惯性指数之和。二次型的秩就是正、负惯性指数之和。所以二次型所以二次型 的秩为的秩为 2 ，即其对应矩阵，即其对应矩阵 的秩为的秩为2。fA111111aAaa 211011011aaaaa 211011002aaaaa 111000000

21、 A因此当因此当 且且 ，即，即 时时 10a 220aa 1a ()12,r A 所以所以1.a 从而求得从而求得2.a 当当 且且 ，即，即 时时 10a 220aa 2a ()2,r A 根据二次型的标准形中系数的符号，我们有：根据二次型的标准形中系数的符号，我们有：；（3 3可正、可负，则称可正、可负，则称为不定二次型。为不定二次型。f(0)Tfx Axx 0(0)fffA0(0)AA f0(0)ffA0(0)AA 从定义看，当二次型是标准形时，显然确定其定性从定义看，当二次型是标准形时，显然确定其定性(definitiveness)(definitiveness)极其简单。对于一般二

22、次型，化成极其简单。对于一般二次型，化成标准形后，根据惯性定理，显然有下面的充要条件。标准形后，根据惯性定理，显然有下面的充要条件。 Tfx Ax nn21.niiifd y 从而对从而对 任一任一 ，必有，必有 0 x 10,yPx 又由又由 ， n xP y 因为存在满秩线性变换因为存在满秩线性变换12,0.nd dd 故有故有将二次型将二次型 化成标准形化成标准形f否则否则 ，出现矛盾。，出现矛盾。00 x = P yP 210.niiifd y 所以所以21.niiifd y 取取 ，则有，则有 00,0,1Tnye 00.nxP yP e 假设假设 ， n xP y 则存在满秩线性变

23、换则存在满秩线性变换0.nd 其中必有某个系数不大于零。不妨设其中必有某个系数不大于零。不妨设将二次型将二次型 化成标准形化成标准形f此时此时0TTTTnnnnnfx Axe P AP ee D ed 与与 正定相矛盾。正定相矛盾。Tfx Ax 用反证法。用反证法。所以必有所以必有 .n 定理定理4 4应用到二次型的矩阵上，即得下面的推论。应用到二次型的矩阵上，即得下面的推论。AnnA为正定二次型。为正定二次型。22222211221332312342428()fxx xxx xxx xt xxx t的实对称矩阵为的实对称矩阵为22211221332342428qxx xxx xxx x 二次

24、型二次型122224242A 1232,7. 的特征值为的特征值为A222123227.qyyy 故必有正交变换故必有正交变换 化二次型化二次型 为标准形为标准形xQ y q同时，由于正交变换是保范变换，即同时，由于正交变换是保范变换，即,xQ yy也就是也就是222222123123.xxxyyy 222222123123227()fyyyt yyy 所以正交变换所以正交变换 化二次型化二次型 为标准形为标准形xQ y f222123(2)(2)(7)t yt yty 解此不等式组，得解此不等式组，得7.t 20, 20,70.ttt 要使二次型要使二次型 正定，正惯性总数必须为正定，正惯性

25、总数必须为 3，即，即f第一章曾提到方阵的第一章曾提到方阵的 分解。对于实对称正定分解。对于实对称正定矩阵矩阵 ，我们则有比较一般的满秩分解。，我们则有比较一般的满秩分解。LUAAPnTAPP A充分性充分性从而对任一从而对任一 ，必有，必有 0 x 0,Ty = P x 定理定理 6的证明：的证明：TAPP 所以所以 可逆。可逆。TP否则否则 ， 矛盾。矛盾。00-T-Tx = PyP () ()TTTTTTfx Axx PP xP xP x 再根据再根据因为因为 是满秩阵，即可逆阵，是满秩阵，即可逆阵，P,0.TTTP x P xP x 所以二次型所以二次型因此实对称矩阵因此实对称矩阵 是

26、正定的。是正定的。A必要性必要性TAQQ 那那么么TTAQ QQQ 12,.n= diag 其中其中又由又由 正定，故正定，故A令令显然显然 是满秩的，并且有分解是满秩的，并且有分解P因为因为 是实对称矩阵，所以存在正交矩阵是实对称矩阵，所以存在正交矩阵 ，使，使AQ0 .i 12,.n= diag ()()TQQ 令令.PQ.TAPP A显然推论显然推论3 3可以用来判断实对称矩阵不为正定矩阵。可以用来判断实对称矩阵不为正定矩阵。A20.TTAPPPPP 因为因为 ，且，且 ，所以，所以TAPP 0P 遗憾的是，定理遗憾的是，定理6 6的推论的推论2 2仅仅是正定的必要条件，不仅仅是正定的必

27、要条件，不是充分条件。因为矩阵的行列式为正，只能说明该矩是充分条件。因为矩阵的行列式为正，只能说明该矩阵所有特征值的乘积为正，但显然不能保证所有的特阵所有特征值的乘积为正，但显然不能保证所有的特征值都是正数。征值都是正数。TAGG AGnA结合满秩分解和结合满秩分解和LULU分解，对于实对称矩阵，我们有矩分解，对于实对称矩阵，我们有矩阵计算中非常重要的楚列斯基分解。阵计算中非常重要的楚列斯基分解。因而因而A1*AA、 因为因为 是正定的，所以存在可逆阵是正定的，所以存在可逆阵 ，使，使PA显然显然 也是实对称矩阵。也是实对称矩阵。1*,AA TAPP 11111TTTAPPPPQQ 这里这里

28、是可逆阵，所以是可逆阵，所以 是正定的。是正定的。1A 1TQP 同理同理*1TAA AAQQ 这里这里 是可逆阵，所以是可逆阵，所以 也正定。也正定。*ARA Q ()()TTAQAQRR 若实对称矩阵若实对称矩阵 是正定的，那么是正定的，那么A0.i ia 因为因为 是正定的，所以存在可逆阵是正定的，所以存在可逆阵 ，使，使PATAPP 11,nppp都是非零向量。因而都是非零向量。因而20Ti iiiiap pp 由于由于 是可逆的，所以是可逆的，所以 的每个列向量的每个列向量PP同理，若实对称矩阵同理，若实对称矩阵 是负定的，那么是负定的，那么A0.i ia 例例8 8也仅仅是正定的必

29、要条件，不是充分条件。例如也仅仅是正定的必要条件，不是充分条件。例如1111B 由于由于 的特征值为的特征值为 ，出现零特征值，出现零特征值，根据定理根据定理4 4的推论的推论1 1，实对称矩阵，实对称矩阵 不是正定的。但不是正定的。但是矩阵是矩阵 的对角元都是正数。的对角元都是正数。120,2 BBB但是直接通过矩阵的元素值，或者通过对元素值进但是直接通过矩阵的元素值，或者通过对元素值进行简单加工得到的信息来判断实对称矩阵的定性，行简单加工得到的信息来判断实对称矩阵的定性，比之于繁琐的计算出所有特征值定理比之于繁琐的计算出所有特征值定理2 2的推论或的推论或把实对称矩阵正交对角化定理把实对称

30、矩阵正交对角化定理1 1进而得出矩阵的进而得出矩阵的定性，要显得更加定性，要显得更加“诱人诱人”，更具，更具“古典美古典美”。由于正定矩阵的行列式为正，而且对角元都是正数，由于正定矩阵的行列式为正，而且对角元都是正数，遗憾的是，这些仅仅是正定的必要条件，不是充分条遗憾的是，这些仅仅是正定的必要条件，不是充分条件。因此我们自然想到如何加强条件，从行列式角度，件。因此我们自然想到如何加强条件，从行列式角度，得到判定正定的充分条件。得到判定正定的充分条件。注意到注意到 是矩阵左上角的一阶行列式，是矩阵左上角的一阶行列式，而而 则可以看成矩阵左上角的则可以看成矩阵左上角的 阶行列式，阶行列式，再考虑到

31、其他对角元，因此我们可以猜想从矩阵再考虑到其他对角元，因此我们可以猜想从矩阵左上角的各阶行列式来考虑。左上角的各阶行列式来考虑。1111|aa |AnkAAkkAkAkkD111212122212.kkkkkkkkaaaaaaDAaaa (1,2, )kn An120,0,0.nDDD AAn120,0,0.nDDD A有意思的是，命题有意思的是，命题1 1居然是错误的！居然是错误的！对定理对定理1010稍加修改，我们可得到下面的命题稍加修改，我们可得到下面的命题1 1。事实上，事实上， 负定即负定即 正定，故由定理正定，故由定理1010，有：，有：AA An( 1)0kkkDA 1,2,kn

32、 高阶行列式难以计算，更何况要计算出所有前主高阶行列式难以计算，更何况要计算出所有前主子式。因此定理子式。因此定理 10 10 作为判定矩阵正定的方法，作为判定矩阵正定的方法，对低阶尚可考虑，至于高阶，显然仅具理论价值。对低阶尚可考虑，至于高阶，显然仅具理论价值。这样一来，判定高阶矩阵是否正定，还是需要从这样一来，判定高阶矩阵是否正定，还是需要从标准形或特征值入手，而要得到高阶矩阵的标准标准形或特征值入手，而要得到高阶矩阵的标准形或特征值，变换是首选方法，这更加凸显出矩形或特征值，变换是首选方法，这更加凸显出矩阵计算中变换的阵计算中变换的“现代性与行列式的现代性与行列式的“古典古典性性”。 22212312313,2454.fx xxxxxx x 二次型的矩阵为二次型的矩阵为202040,205A （特征值判别法）（特征值判别法）.所以所以 是正定矩阵，此二次型为正定二次型是正定矩阵，此二次型为正定二次型.A其特征值为其特征值为 ，均为正数，均为正数，1231,4,6 二次型的矩阵为二次型的矩阵为202040,205A （前主子式判别法）（前主子式判别法）.2020,80,04 它的各阶前主子式它的各阶前主子式202040240205 所以所以 是正定矩阵，此二次型为正定二次型是正定矩阵，此二次型为正定二次型.A为正定二次