五章概率基础ppt课件

1、第五章第五章 概率根底概率根底本章主要内容本章主要内容n概率论的开展史概率论的开展史n随机事件随机事件(Random Events)n概率的统计定义概率的统计定义n古典概型古典概型(Classical Probability)n几何概率几何概率Geometric Probability)n条件概率条件概率(Conditional Probability)n事件的独立性事件的独立性(Independence of Events)一、随机实验一、随机实验(Random experiment) (Random experiment) 为研讨随机景象规律性，往往进展实验。例如：为研讨随机景象规律性，往

2、往进展实验。例如：1. 抛一枚硬币，察看正面、反面出现的情况。抛一枚硬币，察看正面、反面出现的情况。2. 将一枚硬币抛三次，察看出现正面的次数。将一枚硬币抛三次，察看出现正面的次数。3. 抛一枚骰子，察看出现的点数。抛一枚骰子，察看出现的点数。4. 记录车站售票处一天内售出的车票数。记录车站售票处一天内售出的车票数。5. 在一批灯泡中恣意抽取一只，测试它的寿命。在一批灯泡中恣意抽取一只，测试它的寿命。6. 记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。记录某地一昼夜的最高温度和最低温度。 这些实验都具有以下的特点：这些实验都具有以下的特点：可反复性：可在一样条件下反复进展可反复性：可在一样条件下反复进展

3、可预知性：实验能够结果不止一个可预知性：实验能够结果不止一个, ,但能确定但能确定 一切的一切的能够结果结果不止一个，并且能事先明确实验的一能够结果结果不止一个，并且能事先明确实验的一切能够结果；切能够结果；随机性：一次实验之前无法确定详细是哪种随机性：一次实验之前无法确定详细是哪种 结果出现。结果出现。 在概率论中，我们将具有上述三个特点的实验称在概率论中，我们将具有上述三个特点的实验称为随机实验为随机实验(Random experiment)(Random experiment)，表示为，表示为E E 。 二、事件二、事件Event)n必然事件必然事件 ：某件事情在一次实验中一定发生：某件

4、事情在一次实验中一定发生n 如：如： “ “在一副扑克牌中任摸在一副扑克牌中任摸1414张，其中有两张花张，其中有两张花样是不同样是不同 就是必然事件。就是必然事件。n不能够事件不能够事件 ：某件事情在一次实验中一定不发生：某件事情在一次实验中一定不发生n 如：如：“在一副扑克牌中任摸在一副扑克牌中任摸1414张，其中没有两张花张，其中没有两张花样是不同的就是不能够事件。样是不同的就是不能够事件。n随机事件随机事件A,B,C,) A,B,C,) ：某件事情在一次实验中既能：某件事情在一次实验中既能够发生，也能够不发生够发生，也能够不发生n 如：如：“掷一枚硬币，出现正面朝上掷一枚硬币，出现正面

5、朝上n “ “扔一枚骰子，出想扔一枚骰子，出想6 6点点“掷得奇数掷得奇数“掷得偶数掷得偶数根身手件根身手件复合事件01 ， ， . 例例1 1 对于实验对于实验E E： 将一枚硬币连抛三次，思索正反将一枚硬币连抛三次，思索正反面出现的情况，假设记面出现的情况，假设记“正面为正面为H H， “ “反面为反面为T T， 那么根身手件有：那么根身手件有：HHH, HHT, HTH, THHHHH, HHT, HTH, THH，HTTHTT，THTTHT，TTH TTH ， TTT TTT 随机事件随机事件 A A“至少出一个正面至少出一个正面 HHH, HHT, HTH, THHHHH, HHT,

6、 HTH, THH，HTTHTT，THTTHT，TTHTTH； B=“ B=“两次出现同一面两次出现同一面=HHH,TTT =HHH,TTT C=“ C=“恰好出现一次正面恰好出现一次正面=HTT=HTT，THTTHT，TTH TTH n2020世纪，冯世纪，冯. .米泽斯米泽斯(Von Mises)(Von Mises)开场用集合论研讨事件。开场用集合论研讨事件。n1. 1. 样本空间样本空间n样本点：随机实验样本点：随机实验E E的每一个能够结果的每一个能够结果n样本空间：样本点的全体，即随机实验样本空间：样本点的全体，即随机实验E E的一切能够结果组的一切能够结果组成的集合，记为成的集合

7、，记为 。n例例1 1：掷一枚硬币，调查出现向上的面，实验的能够结果有：掷一枚硬币，调查出现向上的面，实验的能够结果有：“正面向上，正面向上，“反面向上两个，那么样本空间为：反面向上两个，那么样本空间为：三、事件的集合论定义三、事件的集合论定义1221若采用记号 “正面向上”， “反面向上”则 ，“正面向上”，“反面向上”2. 2. 事件的集合论定义事件的集合论定义 事件可以看作是样本空间的子集事件可以看作是样本空间的子集 事件事件A A不发生不发生 不是不是A A中的点中的点事件事件A A发生发生 是是A A中的点中的点事件事件A A 子集子集A A A A根身手件、样本点根身手件、样本点

8、点元素点元素不能够事件不能够事件 空集空集必然事件、样本空间必然事件、样本空间 空间空间概率论解释概率论解释集合论解释集合论解释符号符号AA1 1事件的包含与相等事件的包含与相等假设假设“A“A发生必导致发生必导致B B发生发生 记为记为假设假设 , ,那么那么 称事件称事件A A与与B B相等相等, ,记为记为A=B.A=B.2 2事件的和并事件的和并“事件事件A A与与B B至少有一个发至少有一个发生生, ,记作记作ABAB3 3、事件间的关系与运算、事件间的关系与运算ABABBA且3 3事件的积事件的积事件事件A A与与B B同时发生，记作同时发生，记作 AB ABABABn n个事件个

9、事件A1, A2, AnA1, A2, An同时发同时发生，记作生，记作 A1A2An A1A2An 4 4事件的差事件的差事件事件A A发生而发生而B B不发生不发生, ,记为记为A AB B思索：何时思索：何时A-B=?A-B=?何时何时A-B=AA-B=A？5 5互斥事件互斥事件假设事件假设事件A A与与B B不能同时不能同时发生发生, ,即即AB=,AB=,那么那么 称事件称事件A A与与B B互斥互斥, ,或或互不相容互不相容 BA6 6逆事件逆事件设设A A，B B为两事件为两事件, ,假设假设AB=AB=且且AB=,AB=,那那么称事件么称事件A A与与B B互为互为逆事件或对立

10、事件逆事件或对立事件. . 记作记作 ，称，称为为B B是是A A的对立事件的对立事件A BABA解：解：A1A1： “ “至少有一人命中目的：至少有一人命中目的：A2A2： “ “恰有一人命中目的：恰有一人命中目的：A3A3：“恰有两人命中目的：恰有两人命中目的：A4A4：“三人均命中目的：三人均命中目的：A5A5：“三人均未命中目的：三人均未命中目的：A6A6： “ “最多有一人命中目的：最多有一人命中目的：ABC ABC ABC ABC ABC ABC A BC A BC ABCA BC A B C ABCABC例：甲、乙、丙三人各向目的射击一发子弹，以例：甲、乙、丙三人各向目的射击一发

11、子弹，以A、B、C分别表示甲、乙、丙命中目的，分别表示甲、乙、丙命中目的， 试用试用A、B、C的运算关系表示以下事件：的运算关系表示以下事件：一、一、 事件的频率事件的频率(Frequency)(Frequency) 1. 1. 定义：设定义：设E E为任一随机实验，为任一随机实验，A A为其中为其中 任一事件，在一样条件下，把任一事件，在一样条件下，把E E独立的独立的反复做反复做n n次，次，nAnA表示事件表示事件A A在这在这n n次实验次实验中出现的次数中出现的次数( (即频数即频数) )。 比值比值 称为称为事件事件A A在这在这n n次实验中出现的频率次实验中出现的频率(Freq

12、uency).(Frequency).nnAfAn)(2.频率的性质频率的性质n非负性：非负性： 0 fn(A) 1；n规范性：规范性：fn()1， fn( )=0；n可加性：假设可加性：假设AB，那么，那么 fn(AB) fn(A) fn(B). n稳定性：当实验次数稳定性：当实验次数n增大时，频率增大时，频率fn(A)n 逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作逐渐趋向一个稳定值。可将此稳定值记作P(A)， 作为事件作为事件A的概率的概率. 实际证明：频率稳定于概率实际证明：频率稳定于概率1 1历史上曾有人做过实验，试图证明抛掷历史上曾有人做过实验，试图证明抛掷匀质硬币时，出现正反面的时机均等

13、。匀质硬币时，出现正反面的时机均等。 2 2男性别比率稳定于男性别比率稳定于0.50.5n一个孕妇生男生女偶尔，但是就整个国家和大城市而言，从人口普查资料中看到，男性占全体人数的比例几乎年年不变，约为0.5。人口普查人口普查总人数（亿）总人数（亿）男性人数男性人数比例比例第一次（第一次（19531953）5.825.823.023.020.5180.518第二次（第二次（19641964）6.956.953.573.570.5130.513第三次（第三次（19821982）10.0810.085.195.190.5150.515第四次（第四次（19901990）11.3411.345.855.

14、850.5160.516 第五次（第五次（20002000）12.6612.666.536.530.5160.516定义：设有随机实验，假设当实验的次数充分大时，定义：设有随机实验，假设当实验的次数充分大时，事件的发生频率稳定在某数附近摆动，那么称该数事件的发生频率稳定在某数附近摆动，那么称该数为事件的概率为事件的概率(Probability)(Probability)，记为：，记为：注：注：1 1 事件出现的概率是事件的一种属性。也就是事件出现的概率是事件的一种属性。也就是说完全决议于事件本身的结果，是先于实验客观存说完全决议于事件本身的结果，是先于实验客观存在的。在的。 2 2 概率的统计

15、定义只是描画性的。概率的统计定义只是描画性的。 3 3 通常只能在充分大时，以事件出现的频率作通常只能在充分大时，以事件出现的频率作为事件概率的近似值为事件概率的近似值monto calomonto calo方法的根本方法的根本思想思想 pAP)(二、二、 概率的统计定义概率的统计定义n1.1.定义：假设对随机实验定义：假设对随机实验E E所对应的样本空间所对应的样本空间中的每中的每一事件一事件A A，均赋予一实数，均赋予一实数P(A)P(A)，集合函数，集合函数P(A)P(A)满足条件：满足条件： n(1) (1) 非负性：非负性：P(A) 0P(A) 0；n(2) (2) 规范性：规范性：

16、P()P()1 1； n(3) (3) 可列可加性：可列可加性：n 设设A1A1，A2A2，是一列两两互不相容的事件，是一列两两互不相容的事件，n 即即AiAjAiAj，(ij)(ij)，i,ji,j1,2, 1,2, 有有 n P( A1A2 ) P( A1A2 ) P(A1) P(A1) P(A2)+P(A2)+n 那么称那么称P(A)P(A)为事件为事件A A的概率。的概率。2. 2. 概率的性质概率的性质 例例. .在在1 11010这这1010个自然数中任取一数，求个自然数中任取一数，求 1 1取到的数能被取到的数能被2 2或或3 3整除的概率，整除的概率， 2 2取到的数即不能被取

17、到的数即不能被2 2也不能被也不能被3 3整除的概率，整除的概率， 3 3取到的数能被取到的数能被2 2整除而不能被整除而不能被3 3整除的概率。整除的概率。 n解解: :设设A=“A=“取到的数能被取到的数能被2 2整除整除; B=“; B=“取到的数能被取到的数能被3 3整整除。那么除。那么nP(A)=1/2 P(B) = 3/10 P(AB) = 1/10P(A)=1/2 P(B) = 3/10 P(AB) = 1/10n(1) P(A B)= P(A)+P(B)-P(AB)=7/10 (1) P(A B)= P(A)+P(B)-P(AB)=7/10 n(2)(2)n(3) P(A-B)

18、 =P(A)-P(AB)=1/2-1/10=2/5(3) P(A-B) =P(A)-P(AB)=1/2-1/10=2/5n () 1() 1 7/10 3/10PA BPA B “ “古典概型是最简单、最直观的概率模型。古典概型是最简单、最直观的概率模型。 定义：假设某实验定义：假设某实验E E满足：满足：1.1.有限性：样本空间有限性：样本空间1,2 , ,n 1,2 , ,n 2.2.等能够性：等能够性：P(1)=P(2)=P(n)P(1)=P(2)=P(n)。那么称那么称E E为古典概型也叫等能够概型。为古典概型也叫等能够概型。 设在古典概型中，实验设在古典概型中，实验E E共有共有n

19、n个根本件，个根本件，事件事件A A包含了包含了m m个根身手件，那么事件个根身手件，那么事件A A的概率为的概率为nmAP)( 二、概率的古典定义二、概率的古典定义例：恣意投掷两枚均匀的硬币，求例：恣意投掷两枚均匀的硬币，求A “恰好发恰好发生一个正面向上的概率。生一个正面向上的概率。n解：实验的一切结果：解：实验的一切结果： n正，正正，反反，正反，反正，正正，反反，正反，反n根据硬币的均匀性、对称性、抛的恣意性，四种结果具有根据硬币的均匀性、对称性、抛的恣意性，四种结果具有等能够性，这是一个古典概型。等能够性，这是一个古典概型。nA A 正、反反、正正、反反、正 n所以，概率所以，概率P

20、=2/4P=2/40.50.5例：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的例：有三个子女的家庭，设每个孩子是男是女的概率相等，那么至少有一个男孩的概率是多少概率相等，那么至少有一个男孩的概率是多少? ?n解：设解：设H=“H=“某个孩子是男孩，某个孩子是男孩，A=“A=“至少有一个男至少有一个男孩孩 n实验一切结果为：实验一切结果为：nHHHHHH，HHTHHT，HTHHTH，THHTHH，HTTHTT，TTHTTH，THTTHT，TTT TTT n事件事件A=HHHA=HHH，HHTHHT，HTHHTH，THHTHH，HTTHTT，TTHTTH，THTTHTn 从而，从而，n=8n=8，m=7

21、m=7nP(A) = m/n= 7/8 P(A) = m/n= 7/8 1.1.几何概型：假设一个实验具有两个特征：几何概型：假设一个实验具有两个特征： 1 1每次实验结果有无限个，且全体可以用一个有度量的每次实验结果有无限个，且全体可以用一个有度量的 几何区域来表示几何区域来表示 2 2每次实验的各种结果等能够的。每次实验的各种结果等能够的。 那么称这样的实验是几何概型。那么称这样的实验是几何概型。2.2.几何概率：设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，几何概率：设几何概型的样本空间可表示成有度量的区域，记为记为 ，事件，事件A A所对应的区域记为所对应的区域记为A A，那么定义事件，那

22、么定义事件A A的概率为：的概率为：( )( )( )m AP AmA的度量的度量一几何概型的定义一几何概型的定义n例例 某人发现他的表停了，他翻开收音机想听电台报时，某人发现他的表停了，他翻开收音机想听电台报时，试求它等待的时间不超越试求它等待的时间不超越1010分钟的概率。分钟的概率。 n解：由于电台每隔解：由于电台每隔6060分钟分钟( (即即1 1小时小时) )报时一次报时一次, ,因此，可因此，可以为此人翻开收音机的时辰处在以为此人翻开收音机的时辰处在00，6060上任何一点都是上任何一点都是等可等可 能的，其样本点有无限多个，样本空间就是区间能的，其样本点有无限多个，样本空间就是区

23、间=0=0，6060。设事件。设事件A=“A=“等待时间不超越等待时间不超越1010分钟，那分钟，那么导致事件么导致事件A A发生的样本点是翻开收音机的时辰处于区间发生的样本点是翻开收音机的时辰处于区间5050，6060上的任一点。上的任一点。 这个区间长度为这个区间长度为10(10(单位单位: :分分) ) 。而而的长度为的长度为 60( 60(单位单位: :分分) )。由几何概率的定义，。由几何概率的定义，( )10( )1/6()60Am AP Am的度量的度量n例布丰问题平面上有间隔为例布丰问题平面上有间隔为d d的一族平行线，向此平面恣的一族平行线，向此平面恣意投掷一长为意投掷一长为l(ld)l(l0P(B)0，那么事，那么事件件B B曾经发生的条件下，事件曾经发生的条件下，事件A A发生的条件概率发生的条件概率P(B|A)P(B|A)定义为：定义为：P(AB)P(B|A)P(B)例：甲乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气候记录知道例：甲乙两市都位于长江下游，根据一百多年来的气候记录知道一年中雨天的比例占一年中雨天的比例占2020，乙市占，乙市占1414，两地同时下雨占，两地同时下雨占1212，试求：试求：1 1甲市下雨的条件下，乙市出现雨天的概率甲市下雨的条件下，乙市出现雨天的概率2 2乙市出现雨天的条件下，