第10章 期权定价模型与数值方法

1、10.1期权基础概念1 期权的定义 期权分为买入期权（call option）和卖出期权（put option）。 买入期权买入期权:又称看涨期权（或敲入期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格买入一定数量某种资产的权利的一种法律合同。 卖出期权卖出期权:又称看跌期权（或敲出期权），它是赋予期权持有者在给定时间（或在此时间之前任一时刻）按规定价格卖出一定数量某种资产的权利的一种法律合同。2 期权的要素 期权的四个要素：行权价（exercise price或striking price）、到期日（maturing data）、标的资产（underlying ass

2、et）、期权费（option premium）。对于期权的购买者（持有者）而言，付出期权费后，只有权利没有义务；对期权的出售者而言，接受期权费后，只有义务没有权利。10.1.1 期权及其有关概念期权及其有关概念3 期权的内在价值 买入期权在执行日的价值CT为 CT=max(ST E,0)式中:E表示行权价；ST表示标的资产的市场价。 卖出期权在执行日的价值PT为 PT=max(E ST,0) 根据期权的行权价与标的资产市场价之间的关系，期权可分为价内期权（in the money）(S E)、平价期权（at the money）(S = E)和价外期权（out of the money）(S

3、Call=13.70 %买入期权 Put=6.35 %卖出期权10.2.5 影响期权价格的因素分析影响期权价格的因素分析期权价格受到当前价格S、执行价格E、期权的期限T、股票价格方差率2及无风险利率r五个因素的影响。下面以欧式看涨期权为例来分析。期权对这五个因素的敏感程度称为期权的Greeks，其计算公式与计算函数如下。1. 德尔塔（Delta）期权是考察期权价格随标的资产价格变化的关系，从数学角度看，是期权价格相对于标的资产价格的偏导数,有计算函数为blsdelta.m,函数语法如下：10.2.5 影响期权价格的因素分析影响期权价格的因素分析CallDelta,PutDelta=blsdel

4、ta(Price,Strike,Rate,Time,Volatility,Yield)输入参数：Price：标的资产市场价格； Strike：执行价格； Rate：无风险利率； Time：距离到期时间； Volatility：标的资产价格波动率； Yield：（可选）资产连续贴现利率，默认为0。输出参数： CallDelta: 看涨期权的； PutDelta：看跌期权的。 例10.2 假设欧式股票期权,三个月后到期,执行价格95元,现价为100元,无股利支付,股价年化波动率为50%,无风险利率为10%,计算期权。 代码如下:Price=60:1:100; %标底资产价格Strike=95; %

5、执行价格Rate=0.1; %无风险收益率（年化）Time=(1:1:12)/12; %剩余时间Volatility=0.5; %年化波动率CallDelta, PutDelta = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time, Volatility) 若要分析期权与标的资产价格、剩余期限的关系，即不同的Price与Time计算不同的三维关系，可以编写如下代码：Price=60:1:100; %标底资产价格Strike=95; %执行价格Rate=0.1; %无风险收益率（年化）Time=(1:1:12)/12; %剩余时间Volatility=0.5; %年化波动率

6、Price,Time=meshgrid(Price,Time);Calldelta, Putdelta = blsdelta(Price, Strike, Rate, Time, Volatility);%mesh(Price, Time, Calldelta);mesh(Price, Time, Putdelta);xlabel(Stock Price );ylabel(Time (year);zlabel(Delta);10.2.5 影响期权价格的因素分析影响期权价格的因素分析2. 西塔（Theta）表示期权价格对于到期日的敏感度，称为期权的时间损耗。3. 维伽（Vega）表示方差率对期权

7、价格的影响。4. 珞（Rho）为期权的价值随利率波动的敏感度，利率增加，使期权价值变大。 5. 伽玛（Gamma） 表示与标的资产价格变动的关系。10.2.5 影响期权价格的因素分析影响期权价格的因素分析10.3BS公式隐含波动率计算BlackScholes期权定价公式，欧式期权理论价格的表达式：式中：隐含波动率是将市场上的期权交易价格代入权证理论价格BlackScholes模型反推出来的波动率数值。由于期权定价BS模型给出了期权价格与五个基本参数之间的定量关系，只要将其中前4个基本参数及期权的实际市场价格作为已知量代入定价公式，就可以从中解出惟一的未知量，其大小就是隐含波动率。 10.3.1

8、 隐含波动率概念10.3. 2隐含波动率计算方法隐含波动率是把权证的价格代入BS模型中反算出来的，它反映了投资者对未来标的证券波动率的预期。BlackScholes期权定价公式中已知St (标的资产市场价格)、X (执行价格)、r (无风险利率)、Tt (距离到期时间)、看涨期权ct或者看跌期权pt ,根据BS公式计算出与其相应的隐含波动率yin。数学模型为式中:求解方程fc(yin)=0,fp (yin)=0的根。本质上是非线性方程10.3. 3隐含波动率计算程序利用fsolve函数计算隐含波动率，fsolve是MATLAB最主要内置的求解方程组的函数，具体fsolve的使用方法可以参看相关

9、函数说明。例10.4假设欧式股票期权，3个月后到期，执行价格95元，现价为100元，无股利支付，股价年化波动率为50%，无风险利率为10%，计算期权价格。计算结果如下：假设目前其期权交易价格为Call=15.00 元，Put=7.00 元，分别计算其相对应的隐含波动率。Call, Put = blsprice(100, 95, 0.1, 0.25, 0.5) Call = 13.6953 Put = 6.3497步骤1：建立方程函数。看涨期权隐含波动率方程的M文件ImpliedVolatitityCallObj.M，其语法如下：f=ImpliedVolatitityCallObj(Volati

10、lity, Price, Strike, Rate, Time, Callprice)程序代码如下:function f=ImpliedVolatitityCallObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time, Callprice)%ImpliedVolatitityCallObj%code by 2009-8-3Call,Put = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility);%存在一个波动率使得下列等式成立%fc(ImpliedVolatitity)=Call-Callprice=0f=Call-Ca

11、llprice;10.3. 3隐含波动率计算程序看跌期权隐含波动率方程的M 文件为ImpliedVolatitityPutObj.m,其语法如下:f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility,Price,Strike,Rate,Time,Putprice)程序代码如下:function f=ImpliedVolatitityPutObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time, Putprice)%ImpliedVolatitityCallObj%code by 2009-8-3%根据参数，使用blsprice计算期权价格Call

12、,Put = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volatility);%fp(ImpliedVolatitity)=Put-Putprice=0%目标使得寻找X使得目标函数为0f=Put-Putprice;10.3. 3隐含波动率计算程序步骤2： 求解方程函数。求解方程函数的M文件为ImpliedVolatility.m,其语法如下：Vc,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)function Vc,Vp,Cfval,Pfval= Implie

13、dVolatility( Price, Strike, Rate,Time, CallPrice, PutPrice)%ImpliedVolatility%code by 2009-8-3Volatility0=1.0; %优化算法初始迭代点;%CallPrice对应的隐含波动率Vc,Cfval =fsolve(Volatility) ImpliedVolatitityCallObj(Volatility, Price, Strike,Rate, Time, CallPrice),Volatility0);%CallPrice对应的隐含波动率Vp,Pfval =fsolve(Volatilit

14、y) ImpliedVolatitityPutObj(Volatility, Price, Strike, Rate, Time, PutPrice),Volatility0);10.3. 3隐含波动率计算程序步骤3： 函数求解。M文件TestImpliedVolatility.M代码如下：%TestImpliedVolatility%市场价格Price=100;%执行价格Strike=95;%无风险利率Rate=0.10;%时间（年）Time=0.25;CallPrice=15.0;%看涨期权交易价格PutPrice=7.0; %看跌期权交易价格%调用ImpliedVolatility函数V

15、c,Vp,Cfval,Pfval=ImpliedVolatility(Price,Strike,Rate,Time,CallPrice,PutPrice)10.3. 3隐含波动率计算程序隐含波动率与期权价格关系图隐含波动率与期权价格关系图Price=100;Strike=95;Rate=0.10;Time=1.0;Volatility=0:0.1:2.0;n=length(Volatility);Call=zeros(n,1);Put=zeros(n,1);for i=1:n Call(i),Put(i) = blsprice(Price, Strike, Rate, Time, Volati

16、lity(i);endsubplot(2,1,1)plot(Volatility,Call,-*);legend(CallPrice)subplot(2,1,2)plot(Volatility,Put,-o);legend(PutPrice)知识脉络图知识脉络图期权定价理论数值实现期权定价函数blsprice.m影响期权价格因素的计算函数blsdelta.mblsgamma.mblslambda.mblsrho.mblstheta.mblsvega.m隐含波动率计算10.4期权二叉树模型二叉树期权定价模型是由J.C.Cox、S.A.Ross和M.Rubinstein于1979年首先提出的，已经成为金融界最基本的期权定价方法之一。二叉树模型的优点在于其比较简单直观，不需要太多的数学知识就可以应用。10.4. 1二叉树模型的基本理论二叉树模型首先把期权的有效期分为很多很小的时间间隔t，并假设在每一个时间间隔t内证券价格只有两种运动的可能