局部脑血流的测定

1、2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛承 诺 书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其它公开的数据（包括网上查到的数据），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名

2、号的话）： 2011 zx - 22 所属学校（请填写完整的全名）： 西安理工大学 参赛队员 (打印并签名) ：1.付 菁 2.马学士 3.李 斌 指导教师或指导教师组负责人 (打印并签名)： 指导组 日期： 2013 年 8月 19 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2013高教社杯全国大学生数学建模竞赛编 号 专 用 页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）：评阅人评分备注全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）： 局部脑血流的测定摘要本篇论文旨在解决头部局部脑血流量测定的问题，研究方法主要是通

3、过让受测试者吸入含放射性元素的气体，用探测器按时测量受试者头部某固定处和呼出气的记数率。通过对所测数据进行研究处理，建立了微分方程模型，确定出脑血流量系数。对于问题一，我们首先用绘制出脑部的记数率、呼出气的记数率与时间之间关系的散点图，通过观察呼出气的记数率散点图对时间变化趋势，可知其变化趋势符合指数函数变化，因而对呼出气的数率数据再通过通过指数函数进行拟合，确定出呼出气的记数率对时间的表达式。再根据放射性元素在脑部和呼出气中量的变化关系，建立了微分方程模型。其中放射性元素变化量包含脑部局部放射性元素变化量、呼出放射性变化量、放射性元素衰变量,考虑到实验测量过程所用时间远远小于放射性元素的半衰

4、变周期，因而可忽略放射性元素衰变量的影响，从而将模型进行简化。随后将表达式带入微分方程进行化解，便可以得到含有参数的脑部的记数率的表达式，由于表达式中含有脑血流量系数参数，因而可确定出求解脑血流量系数模型。对于问题二，我们通过拟合工具箱对已有数据进行拟合，得到脑部的记数率表达式，随后将其与问题一所得公式的系数进行对比，可得，即脑流量系数为0.5001，但这样处理误差较大，需要对其进行优化改进。因而在模型一所求得的记数率基础上，将实验数据中每一时刻所对应的记数率数值作为该方程的初始值，通过最小二乘法非线性拟合进而求得在不同初始值条件下的。随后再通过软件，对所求得的的值进行线性回归处理，分别得到关

5、于时间的表达式，但由于测试时间较短，因而得出，最终确定出脑流血流系数为0.5000。关键词：脑血流量系数 曲线拟合 线性回归一、 问题重述用放射性同位素测定大脑局部脑血流量的方法如下：由受试者吸入含有某种放射性同位素的气体，然后将探测器置于受试者头部某固定处，定时测量该处的放射性记数率(简称记数率)，同时测量他呼出气的记数率。由于动脉血将肺部的放射性同位素传送至大脑，使脑部同位素增加，而脑血流又将同位素带离，使同位素减少。实验证明由脑血流引起局部地区记数率下降的速率与当时该处的记数率成正比，其比例系数反映了该处的脑血流量，被称为脑血流量系数，只要确定该系数即可推算出脑血流量。动脉血从肺输送同位

6、素至大脑引起脑部记数率上升的速度与当时呼出气的记数率成正比。若某受试者的测试数据如附表1所示：根据以上题目所给的条件及数据，回答以下问题：1、建立确定脑部血流系数的数学模型；2、记算上述受试者的脑血流量系数。二、问题分析 本题主要通过让受测试者吸入含放射性元素的气体，用探测器按时测量受试者头部某固定处和呼出气的记数率，进而分析放射性元素的变化规律，从而确定出脑血流量系数的求解方法。对于问题一，由脑血流引起局部地区记数率下降的速率与当时该处的记数率成正比, 并且其比例系数即为该处的脑血流量系数，动脉血从肺输送同位素至大脑引起脑部记数率上升的速率与当时呼出气的记数率成正比，进而可以确定出上升和下降

7、速率与记数率和呼出气的记数率之间的关系式，再通过放射性元素变化量之间的关系，得到脑部的记数率关于脑部血流系数、呼出气记数率和放射性元素衰变量的公式。随后再对呼出气记数率的数据用的拟合工具箱进行拟合，得到呼出气的记数率关于时间的表达式，最后将其代入上述公式进行化解，即可得到含有脑血流量系数的公式，继而得到求解脑血流量系数的相应模型。对于问题二，首先我们可以利用拟合工具箱对实验的数据进行拟合，得到脑部的记数率关于时间的表达式，再将其与问题一得到的关于脑部血流系数的公式取初值后得到的表达式的系数进行对比，即可确定出相应的变量参数。然而我们发现这种处理办法所造成的误差较大，需要对其进行改进。则可以在问

8、题一所得的脑部的记数率关于时间的表达式的基础上，通过将实验数据中每一时刻所对应的记数率数值作为该方程的初始值，再运用最小二乘法拟合，可以确定出不同初始值条件下的，然后对这些值进行线性回归处理，求得关于时间的表达式，随后进行对时间进行讨论，从而确定出。三、 模型假设1、脑部记数率的上升只与从肺部输送的放射性同位素有关，并且上升的速率与当时呼出气的记数率成正比；2、脑部记数率的下降只与当时该处的脑血流量有关，并且下降的速率与当时该处的记数率成正比，这里忽略了放射性同位素自身的衰变和其它因素；3、脑血流量在测定期间恒定，心脏博动、被测试者大脑活动、情感波动等带来的变化忽略不予考虑；4、每次仪器测量为

9、相互独立事件，各测量值无记忆相关；5、放射性同位素在人体内传递是从吸入气体(含有放射物)开始的，并假定一次吸入，因此认为同位素在肺中瞬时达到最大浓度；6、在吸入气体瞬时，脑中放射物记数率为零；7、脑部血液中放射性性元素仅在存在脑部和呼出以及元素自身的衰变，三方面损耗不存在其他消耗。4、 符号说明表1 符号说明表时间脑部记数率上升的速率与呼出气记数率的比例系数脑血流量系数脑部记数率呼出气记数率脑部记数率的增量脑部记数率的减量放射性元素的变化量脑部记数率上升的速率呼出记数率下降的速率五 模型的建立与求解5.1模型建立由题可建立变量之间如图一的对应关系模型，如图1所示：图1 变量模型关系图设某时刻时

10、，脑部记数率为，在时刻后记数率为，由题设及基本假设1和2可知，脑部记数率的增量只与下面两个因素有关：动脉血从肺部输送放射性同位素至大脑引起脑部记数率的增量为；脑血流将放射性同位素带离使得脑部记数率的减量为。综上，由医学实验可得：又 +所以有：即 (1)5.2模型求解分析表达式（1），由于经查阅资料可知，放射性元素衰变周期远远大于实验测量所有时间，因而在测量过程中，放射性元素衰变量,故我们不考虑在测量过程中，放射性元素的衰变量。因而可以将公式(1)简化为： (2)然而要确定脑血流量系数的模型，必须分析和的实验数据，观察其变化趋势。首先用绘出和的散点图并观察其变化趋势，和的散点图如图2、图3所示：

11、图2 脑部记数率的散点图 图3 呼出气记数率的散点图由上图可知，和有近似于的关系，而和的关系暂时不能直接观察出，设，用的拟合工具箱可得到参数，而其相关系数为1，说明拟合的非常精确。拟合后的图像如图4所示：图4 拟合呼出记数率函数的图像因而可得方程： （3）5.2.2求解脑血流量系数的算法求解 通过5.1所建立的模型，对呼出记数率随时间变化数据，通过进行拟合，因而求出表达式为： （4）可近似认为.对于公式（3），当条件：,带入公式（4）可得： （5）则将公式（4）和（5）进行对比系数，可得到，但这种方法是不精确的，只是用于后面方法得到参数的验证。 对于参数和的求解，可以利用里专门求解拟合后曲线参

12、数的函数求得，分别求出相应时间对应的和如表3所示：表3 不同初始值条件下变量的值表时间11.251.51.7522.252.52.750.39970.39960.39960.40.39880.40020.39970.40030.49990.49990.49990.50010.49970.50010.49990.5时间33.253.53.7544.254.54.750.39940.39950.39950.39960.40.39950.39950.39940.49990.50.50.49990.50040.49990.49990.4998时间55.255.55.7566.256.56.750.40

13、.40030.39880.39960.39860.40120.39920.39850.50020.50030.49950.49990.49940.50070.49970.4994时间77.257.57.7588.258.58.750.39830.39740.39990.39970.40130.39730.40010.40260.49930.49890.50.49990.50070.49890.50010.5012时间99.259.59.75100.40360.40180.39560.39450.39910.50170.50090.49820.49770.4997 通过运用软件，对不同初始值条件

14、下的数值（如表3），进行进行线性回归分析。对线性规划处理如表4、表5所示。表4 对进行线性规划处理表CoefficientsaModelUnstandardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant).400.001648.612.000VAR00001-6.657E-005.000-.111-.660.513a. Dependent Variable: VAR00002对在不同初值条件下的取值进行线性规划处理的公式： （6）表5 对的线性规划处理表CoefficientsaModelUnst

15、andardized CoefficientsStandardized CoefficientstSig.BStd. ErrorBeta1(Constant).500.0001827.521.000VAR00001-3.101E-005.000-.116-.693.493a. Dependent Variable: VAR00003对在不同初值条件下的取值进行线性规划处理的公式： （7） 由于测试时间的取值很小，对数值影响较小，因而取值可以认为常数，因此取值分别为，即确定出脑血流量系数为0.5。六 模型的优缺点6.1模型的优点模型建立过程中，通过抓住主要变化规律，即放射性元素质量守恒的关系，作

16、为i求解模型的主线，使得模型建立和求解过程思路清晰，容易把握。随后在建立的微分方程的基础上，由于考虑到放射性元素的衰变周期远远大于实验测量数据，在测试期间元素衰变量近似为0，因而忽略次要因素，抓住主要的，继而简化模型。然而对于问题二中，在通过拟合对比系数求解变量参数之后，得知结论的不准确，随后再寻找新的方法进行求解，而后再进行对误差进行分析。提高了模型的准确性、完整性。并且在求解过程中，避免了记数率初值的不同所造的影响。此外，模型建立和求解中，多处采用软件进行编程记算，避免了因人为因素所造成的误差，提高的准确性。图形和表格的运用，使得模型建立和求解过程更加直观，清晰。多个编辑软件进行处理，也提

17、高了模型求解的科学性。6.2模型的缺点 在模型建立过程中，忽略了身体其他部位对放射性元素的吸收损耗，只是理想化的考虑头部局部和呼出放射元素的变化量，使得模型建立过程具有一定的片面性。并且实验数据，仅是对一位测试者进行实验数据记录，使得数据过于片面，不具有普遍性。除此之外，也因缺乏相应的资料，不能将模型进行完善，不能确定出脑部任意时刻的脑流量。7、 模型的改进与推广7.1模型的改进通过逐渐考虑多重影响脑血流量因素，逐渐使模型尽可能与实际情况相接近。也可以通过再查阅相关测试资料，针对多个测试者的实验数据进行考虑，从而确定出更加符合大众的模型结果。逐渐完善模型，得到更具有使用价值的脑流量检测值。7.

18、2模型的推广可以将本模型建立研究过程运用于人体或动植物体内相应元素的检验，进而确定出相应的任意时刻的量值，以帮助我们更好的采取措施，解决相应的问题。也可以将本模型运用于化工厂中生产原料加料问题中，通过测量投入与排出的相应值得变化量，从而确定出复杂化学反应过程中某些量的瞬时值，进而根据原料的情况进行增加或减少相应量值投放、或浓度配置等等相关问题中。八、参考文献1 曹卫华,郭止.最优化技术方法及MATLAB的实现M,北京：化学工业出版社，2005.12 王家文，王皓，刘海.MATLAB7.0编程基础M,北京：机械工业出版社，2005.73 刘志平，石林英.最小二乘法原理及其MATLAB实现J,中国

19、科技西部，2008，17(7):33-344 李洪成, 蒋宏华. SPSS数据分析教程M. 第一版. 北京:人民邮电出版社, 2012.1 :81-103.5 百度文库. 局部脑流量测定 (2)EB/OL. 2013-8-17. 6 李志辉, 罗平, 洪楠, 等. SPSS for Windows统记分析教程M. 第一版. 北京:电子工业出版社, 2005.02 :8-62.附录附录一表6 某受试者的测试数据表时间头部记数率呼出气记数率时间头部记数率呼出气记数率1.00153422315.7522521.25152815346.0019911.50146810546.2517511.75137

20、87246.5015512.0012724986.7513712.2511623427.0012102.5010522357.2510702.759471627.509403.008481117.758303.25757768.007303.50674528.256503.75599368.505704.00531258.755004.25471179.004404.50417129.253904.7536989.503505.0032669.753105.25288410.02705.502553附录二x=1.00:0.25:10.0;y=1534,1528,1468,1378,1272,1162,1052,947,8