数学高考易错题大盘点)

1、数学高考易错题大盘点（文科）对于文科考生来说，数学学科临场发挥的好坏，几乎决定高考的成败。综观近年高考阅卷，直面考生解题过程，正如名言“幸福的家庭都是一样的幸福，不幸的家庭各有各的不幸”所述，正确的解法通常表现为思维流畅、方法得当、知识清晰、书写规范，让阅者有“一气呵成”之感，而有问题的解法则往往显示出各种各样的缺漏，使人颇有“冤枉丢分”之憾；实践证实：尽量减少考试失误是高考数学致胜的法宝；本文旨在通过对考生失误情况的分析和诊断，力求把学生引向高考数学的至高点。症状一：审题性失误文科考生数学意识一般不太强，加上在考试过程中存在急于求成的心理，使得部分考生审题时出现失误：或没有注意题目中关键的叙

2、述，误解题意；或对题设信息挖掘不够，理解不透，从而得出错解，这是广大考生最难以接受、而又易犯的错误纠错良方：仔细读题，细嚼慢咽，重要字词，加强分析错因1 忽略条件信息例1已知集合A=k|方程xk2-y2k-3=1表示的曲线是双曲线，B=x|y=x2-1 ，则AB=（ ）A.（1,3） B.（3+） C.（-，-1（3，+） D.（-，-1）（1，+）错解1 令 k>0 k-3>0 A=k|k>3令x2-10 x1或x-1 B=x|x1或x-1错解2前面同上，由A=k|k>3，B=x|x1或x-1 ， A B=错解3令k（k-3）>0 k>3或k<0，即

3、A=（-，0）（3，+），又 y=x2-1 0， B=(0,+)，故A B=（3，+）错因诊断 忽略题意信息，错误地理解集合元素的意义或双曲线标准方程中的字母意义正解 集合A是不等式k(k-3) >0的解集，即A=（-，0）（3，+），集合B=（-，-11，+）， A B=（-，-1（3，+），故选C错因反思 在解答集合问题时，要注意描述法中的代表元素，而双曲线方程中分母的字母取值范围要摆脱标准方程形式上的束缚，回归概念，弄清字母取值的本真纠错良方：审题时抓住细节和关键点，重视限制条件，注意反思和检查错误档案：（1）（2007年安徽高考题）若集合 A=xz|222-x<8，B=xR

4、| |log2x|>1，则A （CuB）中元素个数为（ ）A.0 B. 1 C. 2 D. 3解题时易忽略“xz”这个已知条件，从而无选项。（2）（2007重庆高考题）设an为公比q>1的等比数列，若a2004和a2005是方程4x2-8x+3=0的二根，则a2006+a2007 = 解题时忽略“q>1”的条件而误填：3或 13 错因2：遗忘隐含条件例2（2006年陕西高考题）已知不等式（x+y）（1x+ay） 9对任意正实数x，y恒成立，求正实数a的最小值？错解x+y2xy 且1x+ay2axy，（x+y）（1x+ay）4a要使（x+y）（1x+ay）9对任意正实数x、y恒

5、成立，只要4a9,即a8116，故正实数a的最小值为8116错因诊断以上解法因忽视等号成立而导致错误，这种错误比较隐蔽不易察觉，本题中，当a=8116时，固然有（x+y）(1x+ay）9对任意x，y恒成立，但当且仅当x=y且1x = ay，即a=1且x=y时才成立，显然a=1与a= 8116两者相矛盾，故（x+y）(1x+ay）4a，4a9和a=8116中的等号都不能成立正解由（x+y）(1x+ay）=1+a+ yx+axy1+a+2a=（1+a）2，由（1+a）29 a4，当且仅当a=4 且x=y时，（x+y）（1x+ay）（1+a）2且（1+a）29和a4中的等号都成立，故正实数a的最小值

6、为4纠错反思 正确运用题设，合理地将已知条件实施等价转换，从而达到化难为易，化繁为简，化未知为已知之目的，要切实注意“等价转换”过程中的隐含条件纠错良方:要深入理会，充分挖掘隐含条件，有意识地重点关注：等式成立的条件、变量的取值范围、隐蔽的性质、常识性结论等错误档案：（1）若直线L：y=k（x-2）+2与圆c:x2+y2-2x-2y=0有两个公共点，则实数k之取值范围为 解题时由于没有充分挖掘隐含条件“点（2，2）在圆C上”，以致把问题复杂而造成错解，事实上只需考虑直线L与圆C不相切即可（2）已知函数fx=xsinx+2cosx的定义域为（-，），且a2+b2<2，求关于x 不等式：fa

7、sinx+bcosx<fasinx-bcosx之解集。解题时，由于没有注意到fx为偶函数，以及asinx+bcosx和asinx-bcosx均在（-，）内，且f（x）=-xsinx，从而得到f'(x) 0（0x），于是得到f(x)在（0，）上递增，进而得到 |asinx+bcosx|> |asinx-bcosx|等性质，导致没能找到解题的切入点。错因3：曲解题意本质例3 已知电流I与时间t的函数关系为：I=Asin（wt+）。 1、如右图是I=Asin（wt+）（|<2）的部分图象，请根据图象求其解析式 2、如果t在任意一段1150秒的时间内，电流I=Asin（wt+

8、）都能取得最大值和最小值，那么W的最小正整数值是多少？ 错解 易求I=300sin（150t+6），依题意：周期的一半T21150 即：w1150(w>0)，w150>471，又w是整数，故w的最小正整数为472 错误诊断 错将题意中“任意一段”理解为“存在一段”正解 依题意：周期T1150 即2w1150(w>0)w300>942，又w是整数，故w的最小正整数为943 错因反思见到熟悉题型切不可沾沾自喜，审题时粗枝大叶，没有深刻领会条件中的关键字眼就轻率落笔，容易掉进命题者设计的圈套中纠错良方：理解重点字词，抓住主干，去伪存真，真正领会条件的内涵，正确理解问题的本质，

9、切不可粗心大意，误入审题陷阱错误档案：（1）电路如图所示，从A到B共有 条不同的线路可通电（要求从A出发的三条支路有且只有一条通电）这道题常见错误是：运用加（乘）法原理得：2×2+1+3+8条，其实上面的支路通电有：（C21+C22）·（C21+C22）=9条（即二条中至少有一条通电且另二条中至少有一条通电），下面的支路通电有：C31+C32+C33=7（条）（即三条中至少有一条通电），故共有9+1+7=17（条）（2）（2007年浙江高考题）直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是（ ）A. x+2y-1=0 B. 2x+y-1=0C. 2x+y-3=0 D.

10、x+2y-3=0 这道题常见错误是：将直线x-2y+1=0中的x换成-x，故选A；原来直线与直线x=1时的交点为（1，1），所求直线经过点（1，1）且与已知直线垂直，故得直线：2x+y-3=0 选C症状二：知识性失误文科考生知识掌握不够熟练，借助死记硬背，往往只能停留在“课本知识”的表面，对基础知识不能灵活理解，相互沟通，缺乏综合运用知识的能力纠错良方：知识是能力的载体，基本知识和基本方法的综合运用就是能力，因此，要认真总结知识间的内在联系，强调知识的整合与综合，不断查找知识漏洞错因1 概念理解偏差例4 某种菜籽在相同的条件下发芽试验结果如下表：种子粒数25107013031070015002

11、0003000发芽粒数24960116282639133918062715则一粒种子发芽的概率为 错解 种子粒数较大时，误差较小，故该菜籽发芽的概率为：P=21753000=0.905错因诊断 随机事件在一次试验中发生的频率=频数试验次数，它随着试验次数的改变而改变，在大量重复试验 中，随机事件的发生呈现一定的规律性，频率的值是稳定的，接近一个常数，这个常数就是随机事件发生的概率正解 我们根据表格只能计算不同情况下的种子发芽的频率分别为：1，0.8，0.9，0.857，0.892，0.910，0.913，0.893，0.903，0.905，随着种子粒数的增加，菜籽发芽的频率越接近于0.9，且在

12、它附近摆动，故此种子发芽的概率为0.9错因反思 当试验次数越来越大时，频率趋向于概率，但不是概率，而随机事件的概率应该是接近于频率各个值的一个常数，不能曲解“概率”概念的本质纠错良方：掌握概念内涵，弄懂概念外延，准确把握，透彻理解错误档案：（1）若函数fx在x=a处的导数为A，且：limx0 fa+x-fa-xx = A，则：limx0fa+x-fa-xx之值为（ ）A.A B.2A C. A D. -2A错误原因是对导数概念理解不清，即：f'(a)=limx0fa+x-fax（2）（2006年全国高考题）若x=13，则（3x+2）10的展开式中最大项是（ ）由n=10，可知系数最大项

13、为第6项，即：T6=C105（3·13）5·25=8064，以上解法错误地理解为求“二项式系数最大的项”，而问题是求展开式中数值最大的项，从而导致概念错误错因二：运用结论致错例5 （2007年重庆高考题）定义域为R的函数fx在（8，+）上为单调递减，且函数y= fx+8为偶函数，则（ ） A.f6>f7 B. f6>f9 C. f7>f9 D. f7>f10错解 根据y= f x+8为偶函数，所以fx+8= f-x-8，又令t=8+x， 代入fx+8= f-x-8中得：fx= f-x，所以函数fx是偶函数，再去选择答案时，发现不能确定对错错因诊断对偶

14、函数的性质运用产生错误正解y= fx+8是偶函数 fx+8= f-x+8，即y= fx关于直线x=8对称，又fx在（8，+）上为减函数，故在（-，8）上为增函数，检验知：选D纠错反思由fg(x)为偶函数，则有fg(-x)= fg(x)，而不是f-g(x)= fg(x)，该题还可把y= f(x+8)向右平移8个单位得到y=fx图象，故y=fx的对称轴为X=8，从而得到fx的单调性纠错良方：产生因运用结论（定理、性质、公式、常用性结论）不当而致错的根本原因是：对相关结论成立的背景不熟，结论的变式理解不透，没能准确把握，似是而非，突破方法是：透彻理解，准确掌握，灵活运用，及时反思错误档案：（1）（2

15、006年重庆高考题）设函数fx=x3-3ax2+3bx的图象与直线12x+y-1=0相切于点（1，-11），求a、b之值？错解为：由f'(x)=3x2-6ax+3b fx=-11f'(x)=0a=-3b=-7依题意知：错误原因是：误把切点当极值点得到f'(1)=0这个结论，而应该是f'(1)=-12，联立可得a=1 b=-3（2）（2007辽宁高考题）设等差数列an的前几项和为Sn，若S3=9，S6=36，则：a7+a8+a9=（ ）A.63 B.45 C.36 D.27错解为：S3，S6，S9成等差数列，又S6-S3=27 ，S9=63 错选A或D，事实上：S

16、3，S6- S3，S9- S6才是等差数列，S9- S6=45 选B错因3：知识变通性差例6（2007年湖北卷文）已知函数fx=2sin2（4+x）-3cos2x，x4，2，求fx的最大值和最小值？若不等式| fx-m|<2，在x4，2上恒成立？求实数m之取值范围？ 错解（1）fx=1+2sin（2x- 3）且x4，2，6 2x- 323，fxmax=1+3，fxmin=2；（2）由|fx-m|<2fx-2<m< fx+2，其中x4，2，fmin(x)-2<m<fmax(x)+2 即0<m<3+3 错因诊断若fx-2<m< fx+2恒

17、成立，则fmax(x)-2<m<fmin(x)+2 正解 3-1<m<4，即m取值范围为（3-1，4）错因反思考生不能针对fx-2<m< fx+2，找准m与fmax(x)及fmin(x)间的对应关系纠错良方：沟通知识，强调转化，随着高考题中创新内容的增加，对考生的能力要求也越来越高，通过分析问题的实质，抓住方法的关键，植根于知识，着眼于能力错误档案：(08年湖北联考)若fx，gx都是定义在实数集R上的函数，且方程x- fgx=0有实数解，则gfx不可能是（ ）A.x2-15 B. x2+15 C. x2+x-15 D. x2+x+15错解为：由x- gfx=

18、0有实数解，因不知y= fx和y=gx的对应法则：故求不出gfx，所以对其解析式作不出判断，事实上：由题意可知，存在x0，使x0-fgx0=0。即x0= fgx0，从函数定义出发，画出映射帮助思考，从A到B再到C由题意可知，如果继续对C集合的x0，应用法则g，则会得到gx0，从B到C再到D的映射为gx0fx0ggx0；即存在u= gx0，使gfu=u，即函数gfx过点（u,u），即方程gfx=x有解，易知：x2+x+15=x在实数集R上无解，故选D症状三：思维性失误文科考生在思维能力方面的碍障和缺陷是客观存在的，而解题的分析过程，是运用基本概念和理论对所述内容进行归纳和演绎，是发散思维和收敛思

19、维、直觉思维和理性思维、正面思维和逆向思维等思维加工的过程，如果不注意对思维过程进行分析和研究，不突破思维过程中的障碍，就难以提高思维能力，从而导致解题时漏洞百出，顾此失彼。纠错良方：转化与化归，数形结合，分类讨论等思想方法是走出思维困境的有力武器，同时习题的灵活变通，引申推广以及反思评估也是不断优化思维品质的重要途径错因1：思维定势影响例7（2008年广东联考）已知动点p（x,y）到定点A（2，0）之距离与它的定直线L：x=8的距离之比为22，则动点P之轨迹方程为（ ）A.x216+y212=1 B. x232+y216=1 C. x28+y24=1 D. x2+2y2+8x-56=0错解1

20、由椭圆第二定义知：C=2，a2C=8，则a2=16，b2=12，故选A错解2由椭圆第二定义知：a2C=8，ca=22，则：a2=32，b2=16，故选B错解3由椭圆的第二定义知：C=2，ca=22，则a2=8，b2=4，故选C错因诊断以上三种解法都是曲线在“标准”状态下的思维定势所产生的错解，实际上，只需验证符合两个条件的标准方程是否也符合第三个条件即可正解由题意得：（x-2）2+y2x-8=22，化简整理得：x2+2y2+8x-56=0，故选D纠错反思要谨慎处理常规问题的变式形式，认真研究二者之区别与联系，突破思维定势，打破常规回归课本纠错良方：思维定势能引起知识的正迁移，也能起负作用，在求

21、变、求新、求活的高考背景下，只有深入吸收试题中的新变化、新特征、打破过去思维习惯，合理整合有效信息，才是破解考题的关键所在错误档案：（1）（湖北联考题）函数fx=sinx+sin3xco3x+cos3x的最小正周期为（ ）A. 2 B. C.2 D. 23错误原因是：忽视定义域，仅由函数表达式变形fx=2sin2xcosx2cos2xcosx=tan2x 推得：T=2，而实际上 T=（2）设an=-n2+10n+11（nN*），则数列an，从首项起到第几项的和最大？关于n的二次多项式经常是用来表示等差数列的前几项和，由于审题不清，很多同学错把-n2+10n+11当成Sn，从而利用二次函数知识得

22、到：n=5时，取最大值显然不合题意错因2 主观臆断出错例8（2006年全国高考题）函数y= fx的图象与函数gx=log2x（x>0）的因素关于原点对称，则y = fx的解析式为（ ）A. fx=1log2x(x>0)B. fx=1log2(-x)(x<0)Cfx=-log2 x（x>0） D. fx=-log2(-x)（x <0）错解1：把X换成-X，代入g（x）= log2 x（x>0）得：fx=log2(-x)(x<0)，所以选 B错解2：根据gx=log2 x（x>0）恒过点（1，0），所以y=f（x）恒过点（-1，0），所以选B错因诊断

23、第一种解法没有真正理解对称的含义，不清楚利用图系变换去求函数表达式的方法第二种解法主观臆断，以为只要恒过点（-1，0）的解析式即为所求正解：设y=f（x）上任一点p（x,y），由于p关于o对称的点p（-x,-y）在y=g（x）上，-y=log2（-x）即y=-log2（- x）这里-x>0，x<0，故fx=-log2 （-x）（x<0）为所求故选D纠错反思解题必须有根有据，由似曾相识的结论去武断行事，缺乏推理盲目地套用，往往导致全盘皆输，所以数学解题必须理由充分，不能妄下结论纠错良方转化与化归是处理新问题的基本思路，但不是盲目套用经验，既要看清新题与陈题的相似之处，更要弄准其

24、不同的地方，切不可见到一点类似，就去直接套用老方法解，而应该从不同处去理性地探讨问题，确保有理有据。错题档案（2007全国高考题）从5位同学中选派4位同学在星期五、星期六、星期六参加公益活动，每人一天，要求星期五有2人参加，星期六、星期天各有1人参加，则不同的选派方法有（ ）。A.40种 B.60种C.100种 D.120种错误解法有：从5个同学中选4人有A54种方法，从4个同学中选2人有A42种方法，共有参赛方案：A54·A42=40种，选A。从5个同学中选4人有C54种选法。从4个同学中选2人有C42种选法，共有C54·C42=30种，无答案显然，第一种解法只考虑学生参

25、与情况，这是不合理的。第二种解法只选出2个学生周五，而另外2人未安排，故不合题意正确解法是：C54·C42·A22=60（种），答案为B错因三：思维不严所致例9（2006年上海高考题）在平面直角坐标系xoy中:直线L与抛物线y2=2x相交于A、B两点，求证：“如果直线L过点T（3.0），那么OA·OB=3”是真命题错解：设直线L的方程为：y=k(x-3)与抛物线y2=2x联立，消去y得：Ky2-2y-6k=0，令A（x1, y1）,B（x2,y2），则y1y2=-6，而X1=12y12，X2=12y22，所以OA·OB= X1X2+y1y2=14(y1y

26、2)2+ y1y2=3，故命题是真命题错因诊断直线的倾斜角永远存在，但斜率却不一定存在，因此涉及到直线问题一般要分斜率K存在与不存在二种情况去分类讨论正解：当斜率存在时，同上；当斜率不存在时：直线L的方程为X=3，此时直线L与抛物线y2=2x相交于A（3，6）， B（3，-6）于是：OA·OB=3×3+6×（-6）=3综合可知：此命题为真命题纠错反思 许多考题求解的思路不难，但解题对某些特殊情形的讨论，却容易被忽略。也就是在转化过程中，若不注意转化的等价性，会经常出现错误，所以加强思维的严密性训练非常重要纠错良方：数学是一门严密的思维科学，数学试题中常出现一些巧设

27、圈套的题目，部分误入圈套的考生由于思维不严密，考虑问题不全面导致失分,因而考生在关注细节的同时，应反省思考是否缜密，推理是否严密错误档案（2007年全国高考题）（1+2x2）（1+1x）8的展开式中常数项为 （用数学作答）错解为：（1+2x2）（1+1x）8=（1+1x）8+2x2（1+1x）8， 所以常数项只在（1+1x）8中才有，而（1+1x）8展开式中常数项为1，所以答案为1此法错误原因为误认为2x2（1+1x）8没有常数项，实际上2x2与（1+1x）8中的1x2项相乘就是常数症状四：解法性失误解题策略（方法）是数学思想方法在实际问题的灵活运用，解题方法选择是否恰当，是客观反映学生数学素

28、养的具体体现；许多考生由于解法选取不当耽误了解题时间，有的甚至出现较大失误纠错良方第一要增强灵活运用数学思想方法解题的应用意识，第二是进一步优化解题基本通法的归纳和总结，第三，要强化价值观念、合理优化解法错因1：计算推理错误例10（2006年上海春招卷）数列an中，a1=2，Sn=4an+1+1，nN*，求数列an的前几项和Sn。错解Sn=4an+1+1，Sn-1=4an+1，于是Sn-Sn-1=4an+1-4an，即：an=4an+1-4an，an+1=54 an，故an是以a1为首项，公比为54的等比数列，于是Sn=21-（54）n1-54 =8·（54）n-8错因诊断公式an=

29、sn-sn-1（n2）体现了数列的通项an与其前n项和sn间的关系，解题时要特别注意公式成立的条件“n2”正解令n=1，s1=4a2+1，得a2=14，即a2=18a1，由知当n2时成等比数列于是sn=a1+（a2+a3+an）=2+ 141-（54）n-11-54 =（54）n-1+1错因反思 考生在计算推理过程中，粗心大意，以偏概全，盲目推出结论而没有顾及计算推理的特殊条件纠错良方运算包括对数值的计算、估值和近似计算，对式的组合变形与分解变形，对几何图形各量的计算求解等，除了计算数据小心仔细外，千万不能忘记运用计算公式的约束条件。错误档案（2007全国）设锐角ABC的内角A、B、C之对边分

30、别a、b、c，且a=2bsinA，求角B之大小求cosA+sinC之取值范围第一问运用正弦定理，易知sinB=12， B=6；第二问易出错之处为： 由cosA+sinC=cosA+sin（56-A） =3sin（A+3），由ABC为锐角，0<A<2，于是32< sin（A+3）<1， 32 <cosA+sinC<3其实：这里角A范围应为：3<A<2 cosA+sinC(32, 32)为正解错因2：解法选取不当例11（2008年海南调研）过抛物线y2=2Px（p>0）上一定点M（x0，y0）（y00），作两条直线分别交抛物线于A（x

31、1,y1），B（x2,y2），当MA与MB的斜率存在且倾斜角互补时，则：y1+y2y0 =（ ）A. 4 B. -4 C.2 D. -2错解KmA=y1-y0x1-x0且KmB=y2-y0x2-x0，而直线MA与MB的斜率存在且倾斜角互补，KmA+KmB=y1-y0x1-x0 + y2-y0x2-x0= 0，如何由上式求出y1-y2y0=？因太繁琐而放弃求解错因诊断 此思路易想但离结果太远，因而这种解法不可取，应另辟途径正解 y02=2px0，x0=y022p，同理：x1=y122p，x2=y022p，代入y1-y0x1-x0 + y2-y0x2-x0=2py1+y0+2py2+y0=2p（y

32、1+y2+2y0）（y1+y0）（y2+y0）=0，y1+y2=-2y0 ，即y1+y2y0=-2，故选D错因反思在高考中，解题过程的繁琐，不仅会造成错解，更是“潜在失分”，即使没有做错，也由于耽误了时间，影响其它题的得分，因此必须重视解法的选择，合理选取简捷方法纠错良方首先要熟练掌握每一类题型的解题通法，这是高考考查热点，其次平时在解题时要有意识地一题多解，通过比较找准最简单易求的方法，烂熟于心，第三，临场时要认真审题，回顾比较才能精选优法。错误档案（2007年合肥联考）已知等差数列5，8，11，与3，7，11均有100项，问有多少个数同时在这两个数列中出现？错误处理方法为：第一个数列an通项公式为：an=3n+2；第二个数列bn通项公式为：bn=4n-1。令：an=bn，则3n+2=4n-1，n=3，即只有一项 a3=b3=11，同时在两个数列中出现显然，这个结论是错误的原因是设an=bn不妥当，因为一个数同时在两个数列中出现时，该数在两个数列中的位置未必相同正解为：对于an=3n+2（1n100），bk=4k-1（1k100），令an=bk， 3n+2=4k-1，k=3（n+1）4，设n+1=4t（tN*） n=4t-