定积分计算题难

1、题目1计算题 一般0, n为自然数。计算lim心口水其中ax x t 2解答_由积分中值定理有limIL、-2题目2计算题 一般求广义积分Ie ax cos bxdx (a 0)0解答0 cosbxdeaxax.cosbx2【eae ax sin bxdxsin bxdeaxsin bxax cosbxdxax0 e ax cosbxdxaa2b2。题目3计算题求定积分ln( x)dx。解答I xln(xx2 a2)(1,：2 2)dx"X axln(,x2 a2)a Inxln(.x2 a2)a Inx|n(x2 a2).x2 a2In a。题目4计算题 一般27.2求 02cos

2、 xsin xdx。解答原式02(1 sin2 x)3 sin2 xd (sin x)2 sin203si n43sin6 xsin 8xd(sin x)3sin3 . 5sin53 .7sin7-sin9 x916。315题目5计算题设 f(x)x2e1t2dt,1o xf (x) dx。解答由 f(x)f (x)10xf (x)dx2xe14x"dt.有 f (1)题目6计算题求定积分I解答2x121x2121 30x141e410 f(x)dxf(x)10 x2 f (x)dxx2 2x04e x dxx4x"dxx4dx41(14 e一般1 arcs in x .1

3、dx。2、x(1 x)1）。dx"(I x) 令.x t,则dx 2tdt arCSint 2tdt21 arcs in . x1212 t J t1 2 arcsint ,1 dt2 J t211 2arcsintd (arcsint)2(arcsi nt)3_16题目7计算题求 2 x2 .x cosx 3x sinxsin xdx。0解答x3 sin xdxx3d cosx3x cosxcosxdx33小 2,x cosx 3 x cosxdx32.x cosx 3x sinx32 .x cosx 3x sinx6 xsin xdx6 xd cosx6xcosx 6sinx c

4、原式 x3 cosx 3x2 sin x 6x cosx 6sin x 206。题目8计算题计算I解答0 *n x sin 3 xdx。I o sinx(1 sin2 x)dxvsin x cosx dx02 sinx cosxdx. sin x cosxdx212 (sin)2d sinx1(sin x) 2d sin x2令si nx t,则1 11 0 -I t2dt t2dt0 14o3题目9计算题 一般求定积分02 e2x cosxdxo解答e2x cosxdxd sinx2x esin x2x .sinxe dx2x esin xe2xd cosx2x esin x2e2x cos

5、x 4cosxdx2e02x coxdxx e2x 2cosxRex52)。x arcsi nx ,dx.1 x2 2x arcs in x , “d (11 x2x2)2(.1 x2 arcsin xx)120题目10计算题1 .计算叮arcsinxdx21 x2解答因为被积函数是偶函数1原式 2 °0题目11计算题teudu0t2eudu0解答_型 et2 2tdudydx吐dx2dy/ du dx/du 2( 2t 1)dxdutet2tet2肓2ee" t2t七厂2 -1 t2 2tet题目12计算题 一般 求下列函数的导数：sin x 2tsin2 tdt ；2(

6、1)F(x)2x解答 F(x)siny2sin( 0 g(t)dt)dy其中g(t)为已知连续函数。(1)F (x)2 xsin xsin xsin x2't sin 2 tdt 2sin (sin x)(sin cos x sin 2 (sin1 2x) 2x sin 2xx) 4xsin 2 2x(2x)(2)F (x)1 .sin2d . r sin dx22x sin (sin x)4x sin 2 2x。2 2xy0 sin( 0 g(t)dt)dyx2coscossin(0 x20 sin(一般g(t)dt)dyg(t)dt)dyddxsinx2si n(0 x40 g(t

7、)dy 2x。x20 g(t)dt)dy题目13计算题dx的值。x解答ln x , dxX2lnxd(丄)X丄lnxX-dx1lnx 1 cXXXblim.ln x k 厂dxxb ln x1 2"1 Xdx1|nXXblimln XxJim(-)X01。题目14计算题求2 dx322X X的值。1解答原式题目15计算题计算定积分解答1 y dt t2dtt2丄1 t t31 tdt2 j1 2 3d(1 t )t2.2-dt211 tI 13122 . 23 。32一般adx022 。x a x1 t2令 x as in t,则 x 0 时 t 0, x a 时,t2 且有 dx

8、acostdta cost ,dtasi nt a costsin(t )4令u t 则du dt43 cos(u4 2 /求2【x4(4)2x cosxdx。sin u3 .1 4 sinu cosu4 du2 4sinu解答124222x (4 x )2 xcosxdx1x2)2dx1x2)2dx1x2)2dx2 x4(42 '242 0【x(422 °x4(4 令x 2sint，则 dx2xcosxdx22 costdt原式 128 sin4tcos2tdt128耳03128(44 o题目17计算题(sin41sin6 t)dt解答估计积分的值(1sin2 x)dx。因

9、在,54 4sin2x的最小值是1,最大值是251 (4 -45j (14题目18计算题1计算 Io (arcsi nx)2dx。(1sin2 x)dxsin2 x)dx解答52(44)I x (arcs inx)21x 2 arcs in01arcsin0xd . 1x2arcsin1 201 X21dx,1 x2f(x )4题目19计算题设f (x)连续 f (0)0, f (0)0,x2求 lim x 02xf(t)dt。x0f(t)dtlimx 02xX -2 叫 H X22xf (x )x2f(x)解答x20 f(t)dtx0f(t)dtx0f(t)dtxf(x)XX4f1(x2)f

10、(x)f (0)f1(x)叫Hx1 1f (O)x叫 f (x)2f (0).H叫 f (x ) f (0)1原式4f (0)3f 1(0) f1(0)题目20计算题 一般试问xsin xdx是正还是负解答xsin xdx0 0Q xsin x 0, x xsi nx 0, x xsin xdx2xsin xdx0, ,2 2xsin xxsin x 0,且在被积函数中，两者的sinx的值只有符 而x的值是后者大于前者2xsin xdx0,的差别0xsinxdx2xsin xdx 0。0题目21计算题解答dx(x 2)(xO3)(x 2)(x 3)dxbim(x 2)(x 3)b dx0(x2

11、)(x 3)bimIn(x2)ln(x3)Iim In bb b 323b1In(Iim - b 1In 3 In 2题目22计算题求定积分I(In 2In 3)In3In 2解答一般e2 In1 xxdx的值。e21In xdxe 2 e I n x dxdxx 1 xe e2ln x i In xd(ln x)e2In x1丄In2x e2 1题目23计算题 一般b原式x2a(a b)x abdx3 r xa b 2bx2 abx32ai2b63 2a3 3ab23b31 3 -a3a2b 3ab2b366(ab)3。题目24计算题难b计算(x a)(x b)dx。a解答3a3 2ba2

12、6ab26a2b解答求积分ln0 sinnx sinnxdx(n N)。Inn11nsin xd(cosnx) - cos nxsin x0nnsin xcos nxcosxdx0n 1nsin xcos nxcosxdx21nn 1sin nxsin xdx sin xcosnxcosxdx0sinn 1 x(sin xsin nx cosxcosnx)dxsinn 1 xcos( n 1)xdxsin(n 1)xsin n 1 x n 1n 20 sin xsin(n1)xcosxdx4Inn 2 sinxsin xcos(n 1)xcosxs in(n 1)xdxInnsin0In 2丄

13、|2 n222xsin(n 2)xdx(n 2)1。In.nsin 。2n 2题目25计算题的值。5 dx解答令3x 1t,则x 5时tx0时,t原式Itdt1 2 23(t2 1) t2tdt1 2t2 3t 22tdt(2t 1)(t2)4 dt1 2t1| n(2t51)4ln(t52)In 1125题目26计算题解答2xdx 。ex cos2xdxex1cos 2x dx1 ex cos 2xdx2而 ex cos 2 xdx1 xe21 xe21 xe2sinsinsin2x2x2xxe cos2 xdx原式 ex2l(eexd sin 2xex sin 2xdx2141 e4x2s

14、in 2x5xe d cos 2xx cos 2 xxe(2 sin 2x51)。cosex cos 2xdx2x ccos 2x)题目27计算题13计算子上12 讨 1 x2dx解答2 x3 3x1 厂x22 . 1 x1 3_2 x 3x ,21dx1 22 ,1 x1dx而x 3x为奇函数,故1 x21为偶函数1. 1 dx2 j x21 32 x 3x21dx 02 J x2.1 x2-1故 2idx2 J x21dx2x2arcs in x原式 0题目28计算题 难讨论广义积分0dx的收敛性，若收敛求其值解答e 'xdx0 xae .dx0 xBedVTdxdxBlim广义积

15、分题目29计算题解答、;xaedx0 xlim ( 2e0e 'xdx、xBlim ( 2e ')Jx攵敛。xsin x cosx2 2 ,2.2 dx a cos x b sin xsin xcosxdx2 2 2 2a cos x b sin xsin xcosx2dx2 2 2 2a (1 sin x) b sin xsin xcosx20 a2(b12(b2a2)(a 0)a b, ab 0。2(b222dxa )sin x2 2 2 22da (b a )sin0(b2 2a )sinXxr lna2)(b22 2a )sin1b2 a2In题目30计算题计算定积分的

16、值:1 m0x (1x）ndx（其中m, n为正整数）。解答记 lm,n0Xm(1 X)ndX1nm 1、0(1 x) d(x )0 m 1m 1X1m 1x)nn |m m 1 m继续使用递推公式，有n 1m 2得递推公式I m,n| 亠m,nm 1I m 2, n 21,10(m 1 “n)x (1x)n 1dxn n 1 n 2 n 1 m n .x dx m 1 m 2 m 3 m 1 0 n!m!(m n 1)!题目31计算题 难1 d利用梯形公式计算dx (n 12)。01 x解答h 丄 0.0833312X。0，y°1X11，y1120.99942X21，y260.0.

17、99359X314 y30.98462X413, y40.0.96429X55152，y50.93254X612，y60.88889X77Q，*0.83437X823, y80.77143X934 y90.70333X105，y1060.63343X1111 yn120.56489X121， y120.57匹 0.75,yi 4.80292i 2由梯形公式，有101yi22iiyji 10.83587。题目32计算题 难（n为正整数）1 求（x21）ndx1解答1 / 2 (x1 1)ndx/ 2x (x1)n111 2 22n xnin1 a(x21 1)n1dx1“ 2,n1 2,n1 2

18、n1(x1)dx 2 n (x1 1)dx2nl n2nln 1n2nIn12n1)n1)n(2 n)!(2n1)!2 (2n)!I。题目33计算题(2n难o1)!计算e axdx ,n为正整数,a为正常数。解答设Inn ax |x e dxInn axx de0axb nxa1eax ,dx-In1a而I。axdxaxIna题目34计算题Inn(n2Hi求定积分的值n(n 1)1n!-nr。 ax2e (cossin x)dx。、cos x解答x1e cos xdxI2x4 e 2 d ( 2 cosx42e sinT12x)x cos12 xdx I1 I 2分部法xe22 cos12co

19、s xdxV 8 (e 8I I12 8sh8 (e?题目35计算题设函数g(x)难x0tf(t)dt2xa其中f(x)具有连续导数，且 f (x)0，f(0)0(1) 确定的值使g(x)连续；(2) 在g(x)连续条件下，证明g(x)也连续。解答(1)limo g(x)xlim-0x 0tf 叭 0"limfx)0 x 0 2xx2-f (0)0 a2 g'（o）"0"l宀0 x 0 3x2g(0)xf(x) 0lim " "limlim型x 0 xf (x)x0tf(t)dt lim 3 x 0 x3x 0 3x 0 x 0313f

20、(0)g(x)沁Xmog(X)x2 0tf(t)dtT2 (x 0)x2Xx f(x) 2 tf(t)dtxm22xf(x) x f (x) limx 03x22xf(x)1-f （0）3g （x）在x 0点连续，g（x）在（,内连续，且g &）在（g（o）故当a0时，）内也连续。题目36计算题难、x0 x 1设f (x)0其它10 x 1(x) 0其它求 F(t)f (x t) (x)dx。解答由题设f(x t)(1)t1F(t)1时，F(t)t 0时，t0dx(3)0 tF(t)t 1(x0 1时，00dx1t(x00dxtt)dxt)dx(4)t 1时，F(t) 0,题目37计算

21、题 难计算si n(2n 1)xdx0 si nx解答t01(1t02(1 1(1 !(1 00dx1(x t)dxt2)1t(xt)2t2)t)2t)dx-1Odx(n为正整数)。Odx t-11 0dxInsin(2n 1)x ,dxsin xcos2nxcosx cos2nxsin x dxsin xsin 2nx cosxdxcos2nxdx0sin xsin(2n 1)x sin(2n 1)Xdxsin xsin2nx2n12bn2sin(2n 1)x ,dxsin x21 sin (2 n2 0sin xI n 1 I n又因为n是正整数，递推下去,有I n 1而IlIn丨1sin

22、 x , dx00 sin xIn题目38计算题 难求 o sin20<(cos)20dx。t,则 dx dt20o sin 20x(cosx) dx0sin20( -t)cos(20t) dx200 sin 20t (cost) dt202 o sin20t(cost) dt20o sin20t(cost) dt题目39计算题2求定积分05 3cosxdx的值。解答令 tan -t，贝V cosx o ln sin xdx_L，dx21 tln sin xdx且x时，tx时，t2dx0 53cosxdx2dx0 5 3cosx 5 3cosxdu 0 du0 1 4u21 4u22题目

23、40计算题 难求广义积分I引n sinxdx的值。0解答_10可nsin xdx2ln sinxdx4dt对后一积分，令xt,则dx204 In cosxdx04|n cosxdx04ln si n2xdx-I n24121|2In sin udu-In 24-I n24In 2。2题目41计算题、3求 arcsi0解答x1 x,cos21ttan21o3tan 2tdtces-3IL1IL题目42计算题 难土|cosx|, 士求 一2厂dx的值cos x 2sin x解答偶函数|cosx2cos x 2sin xcosx22dxcos x 2sin x| cosR2 0 一2dx0 cos

24、x 2 sin x2cosx ,2dxcos x 2sin xcosx2 22 cos x 2 sin-dxx2arctansinx 2 arctansinx0i22题目43计算题 难x2I esin4 xdx。解答原式xdx2 sin4 xdx2t则sin4 xdxexsin4 xdx 昇ex2_214 sin4 tdtesin4 tdtx2esin4 xdx1 exx-sin4 xdx1 e1 2 sin4xdx2勺0% n4xdx2 16题目44计算题计算定积分j11 a2s in2xdx °解答设tanx t,贝V sin2 xt2t2 1dxdtt2 1dx2 . 21 a

25、 sin xdt2 21 (1 a )t1 arctg1 a21 a22 o2、1 a题目45计算题 难设f(x)可微且f(x) 0令x0tf(t)dt(x): f(t)dt0求：(1) (x)；(2) 讨论(x)在x 0处的连续性。解答(1)x0时:(x)xxxx(0tf(t)dt)1 0 f(t)dt 0tf(t)dt( 0 f(t)dt)1x 2(0 f(t)dt)xxxf(x) 0 f(t)dt f(x) 0tf(t)dtx 2(0 f(t)dt)x0时.(x)12(2).lim0(x)x 0limx 0f(x)'x22'xf (t)dt xf (x) 0 f(t)dt

26、 xf (x) xf (x) f (x) 0tf(t)dtx2f(x) 0f(t)dtxim02xf'(x)2f(x)f'(x) (x)2f(x)(x)在 x 0 处连。题目46计算题 难求 I 0 sin n 1 x cos( n 1) xdx。解答I 0 sinn 1 xcos nxcoxdx 0 sinn xs in xdx 11 I2应用分部积分，有 nsin xIi 0 cosnxd()0n1. nsinnxcosnxnsin xsin xdx01 2I Ii题目47计算题x2I 20。难1dx °4x 3解答ii12dx0 x 4x 3I1 I2 I31 1 .2dx0x 4x 31 1 0 7x 3x 1lim0lim0l|n24x103 dxx2 4x 33dx?4ndx所以广义