4材料的切变模量和刚体转动惯量的测定

1、1实验四材料的切变模量与刚体转动惯量的测定(扭摆法)【实验目的】本实验通过用扭摆法测量钢丝及铜丝材料的切变模量，了解测量材料切变模量的基本方 法，进一步掌握基本长度量和时间测量仪器的正确使用方法，同时还可以用扭摆法测量各种形状刚体绕同一轴转动的转动惯量以及同一刚体绕不同轴转动的转动惯量，加深对转动惯量【实验原理】材料在弹性限度内应力同应变的比值是度量物体受力时变形大小重要参量。正应力同线 应变的比值，称为杨氏模量；剪应力同剪应变的比值，称剪切弹性模量，又简称切变模量。 与杨氏模量相似，切变模量在各行各业有着广泛的应用。直至和人民大众日常生活密切相关 的建筑物抗震等性能都与切变模量参量有关。设有

2、某一弹性固体的一个长方形体积元，顶面(底面)面积为A，它的顶面固定，如图3 所示。在它底面上作用着一个与平面平行而且均匀分布的切力F，在这个力作用下，两个侧面将转过一定角度 ，见图 3，通常称这样一种弹性形变为切变。在切变角:-较小的情况下，作用在单位面积上的切力F/A与切变角:成正比。的概念及对垂直轴定理和平行轴定理的理解。【仪器和用具】1、切变模量与转动惯量实验仪2、仪器使用方法(1) 取下仪器上端夹头，并把它拧松，将钢丝一端插入夹把夹头放回横梁上。用同样的方法，把钢丝的下端固定在(2) 转动上端的“扭动旋钮” 的霍耳开关(4)。同时调整霍耳开关的位置，使之高，(3) 调节立柱的两个底脚螺

3、丝。8中，然后把夹头拧紧，再 夹头上。(9)使爪手一端的铷铁硼小磁钢(磁钢一致。并使它们之间相距为 8 毫米左5)对准固定在立柱上右。度与小；使小磁钢靠近霍耳开关,(8),使它的即刻又恢复到(4) 转动横梁上的“标致旋钮” 当旋转“扭动旋钮” (9) 一个角度后，(5) 爪手有多种功能。圆环可水动。爪手还可以安置条形棒或柱形棒作振动，以测得不 模量或刚体的转动惯量。43 、数字式计数计时仪使用(1) 开启电源开关(2) 按住上升键，使预置(3) 使爪手作 通，即产生计时触发脉冲信号。(4 )数字式计数计时仪有延时功能模量与转摆作第一周仪简图动时，将不计时，计数为 当计数显示1时，才显示计时半个

4、周期环状刚体垂直和水平二种状态放置)(5)计数计时结束仁可以读出由于爪手振 间，其中计数赢次为钢个周期手座要查阅每半式计4、另外，还需要螺旋测微仪，游标卡尺，米尺，电子天平(公用)图 2 实验装置实物照片刻线与起始位“扭动旋钮” (9 )上的刻线相一致置。此时爪手将绕钢丝作摆动。 加3也可以垂直装在爪手下面作振 期值一并求出钢丝材料的切变6尺达到实验要求。当铷铁硼0。丁周期待测材只要按!开关键即可 T心寸9、扭动旋钮。9司的22FG(1)A3氏模量的 1/3 到 1/2，在实验中，待测样品是一根上下均匀而细长的钢丝或铜丝，从几何上说，就是一个细长圆柱体，如图4 所示。设圆柱体的半径为R，高为L

5、,其上端固定，下端面受到一个外加扭转力矩的作用，于是圆柱体中各体积元（取半径为r、厚为dr,高为L的圆环状柱体为体积元），每个体积元上端固定，下端受一扭转力矩作用，根据公式（1），每个体积元受到的外力矩为2dM外=r：G2二rdr =ZGr dr对于一定的物体D是常数，称为扭转系数。扭摆的结构如图 5 所示，爪手及圆环安放位置如图5 所示，若使爪手绕中心轴转过某一角度；，然后放开，则爪手将在弹性扭转力矩M作用下作周期性的自由振动，这就构成一动惯量为|，根据转动定律则有式中G是一个物质常数，称为切变模量。G的单位为Nm，大多数材料的切变模量约为杨设圆柱体底部绕轴转动了0角，如果:，则弧长r（2）

6、式代入（3）式，得到(3)dM外32二r dr对（4）式积分，可等到总力矩GR3兀M外二2r3dr G(5)圆柱体内的弹性力矩为M0，平衡时有皿外=-M0JIG2R4，则有M外个扭摆。若钢丝（或铜丝）在扭转振动中的角位移以表示，爪手整个装置对其中心轴的转M I。匚dt2d2 ;dt2罟0a: iii八 r4螺丝上述方程是一个常见的简谐振动微分方程，它的振动周期应是由图 6 所示，将一个已知内外半径、厚度和质量的环状刚体、分别水平放在爪手上及垂直放 在爪手上，绕同一轴（钢丝）转动测得的振动周期分别为 Ti和 T2。而环状刚体在绕轴作水平转动时转动惯量为|1，环状刚体处于垂直状态绕同一直径作转动时

7、转动惯量为手绕中心轴转动时转动惯量为|0，那么由 式可以知道,O扎具爪手(b)爪手To=2-：(6)（环心）I2，爪(IoIl)；2D-(loI2)圆环图 5爪手圆环5从两式中消去|0，并将代入,可以得到切变模量G 的表达式为R4T2_ T2(7)由理论计算可知，环状刚体绕中心轴作水平转动的转动惯量11,环状刚体绕任一直径转动的转动惯量I2分别为b2c2(8)6根据公式（8）、（9）计算得到I1、I2。测量出T、T2，通过公式（7）就能得到材料的切变 模量G。另外，公式（6）又可以写成由上式可以看到，如果已知|0就可以得到切变模量G，反之，知道了切变模量G，就可以得到转动惯量为Io。由于Io是

8、不规则的刚体，很难得到其过中心轴的转动惯量Io，因此可以利用两式相减，得到垂直轴定理若已知一块薄板（或薄环）绕位于板（或环）上相互垂直轴（Ix和Iy，则薄板（或环）绕 Z 轴的转动惯量为(13)此即垂直轴定理，由此定理可知：圆盘（或环）通过中心且垂直盘面的转轴的转动惯量为圆 盘绕其直径的转动惯量的两倍。【实验内容和要求】必做部分1、安装实验装置，调整数字式计数计时仪仪器使用使用注意事项上式中，b为环的内半径，c为环的外半径,（9）m为环的质量。d为环状刚体的厚度。因此,ToIoLR4G(10)IoL8 To2R4GR4To28：L宀4弋=8二IoL；4；R4GTi2二（I。h） =8二DL(l

9、oh)R4GR4(Tj -T。2)(11)转动惯量的平行轴定理理论分析证明，若质量为m的刚体绕质心轴的转动惯量为Io，若转轴平行移动距离为x时，则物体对新轴转动惯量为I = lomx2(12)X 和 Y 轴）的转动惯量为7(1)请勿用手将爪手托起又突然放下，铁制爪手自由下落冲力易将钢丝或铜丝拉断(往往在钢丝与扎头连接处断)。(2) 实验结束请将环放在桌上，以减轻钢丝负重。(3)材料的切变模量与杨氏模量相似，与材料的成份、 热处理工艺等均有关。如用树脂 漆包线测得切变模量与纯铜丝的切变模量不相同。各种钢丝加工、热处理工艺不相同，切变模量也差异很大。(4)如果当磁钢靠近霍耳开关时，此时触发指示灯无

10、反应时则是磁钢的磁极放反了，取下来换个方向，就可以了。(此时触发指示灯为暗)2、 用电子天平称圆环的质量m。用游标卡尺测圆环内直径2b、外直径2c和高度d， 用螺旋测微仪测量钢丝直径2R，用米尺测量钢丝长度L(上下固定点 0、O 距离)。注：钢丝直径、圆环内直径2b、外直径2c和高度d的测量采用多次测量取平均的方法，L的测量采用单次测量的方法。3、计算钢丝的切变模量G,(用两种方法计算并比较)(1)测量爪手空载时摆动周期T0；金属圆环水平放置在爪手上时的摆动周期Ti；金属圆环竖直吊置在爪手上时的摆动周期T2。(测量周期应该采用多周期多次测量的方法，要测量 56 次，每次测量 10 个周期)。(

11、2) 利用(7)、( 8)、(9)式计算钢丝的切变模量G。4、验证平行轴定理(1)用电子天平称重钢珠质量m，用螺旋测微仪测量小钢珠的直径2r，将两颗钢珠放置在爪手上跟爪手中心轴对称的位置上，并用游标卡尺两个位置的距离d，测量系统(爪手24兀2加两颗钢珠)绕中心轴的摆动周期T4，待人公式T：(I0I4)D可以得到系统通过爪手中心轴的转动惯量I0|4。(2) 利用内容 3 测得的钢丝的切变模量G及空载时测得的爪手通过中心轴的摆动周期T0,代入公式(10)，可得到爪手空载时通过中心轴的转动惯量I。，代入上面得到的I0I4,可以得到一个钢珠通过爪手中心轴的转动惯量I3，验证I3是否满足平行轴定理：2式

12、中一mr2为一颗钢珠绕任一直径的转动惯量。5选做部分1、测量铜丝的切变模量，并与钢丝切变模量进行比较。2、用扭摆测量柱状刚体的绕钢丝轴转动惯量，并与理论计算值进行比较。3、验证刚体转动的垂直轴定理。实验数据记录表格和有关计算公式81、试样参数测量表一圆环、方柱、圆柱和小球的几何尺寸测量测量次数圆环外直径c(cm)圆环内直径b(cm)方柱长度L(cm)圆柱长度L (cm)小球的直径2r(cm)192345平均值表二 测量试样的质量，转动惯量的理论值试样圆环 1io方柱 150圆柱 I60小球 I30质量(g)转动惯量理论值(kgm2)2、试样过对称轴的转动惯量的计算公式圆环的转动惯量122Im(

13、RiR2)2方柱、圆柱的转动惯量Iml212钢珠的转动惯量.22Imr5圆环的转动惯量 110=kgm2；方柱的转动惯量 I50=kgm2圆柱的转动惯量 160=kgm2；钢珠的转动惯量 I30=kgm2103、琴钢丝和黄铜丝材料切变模量的测量表三 琴钢丝材料的切变模量(计数为 N=20,计时 t=10T)第 i 次123456空载时间(10T0) (s)平均空载周期 To(s)圆环水平放置(10T1)(s)平均周期 T1(s)圆环垂直放置(10T2)(s)平均周期 T2(s)钢丝直径 2R (mm)平均直径(mm)钢丝长度 L(cm)钢的切变模量(Nm2)该琴钢丝切变模量的公认值是 7.80

14、X1010Nr-2,要求计算百分差。表四 黄铜丝材料的切变模量(计数为 N=20,计时 t=10T)第 i 次123456空载时间(10T0)(s)平均空载周期 T(s)圆环水平放置(10T1)(s)平均周期 T1(s)圆环垂直放置(10T2)(s)平均周期 T2(s)铜丝直径 2R(mm)平均直径(mm)铜丝长度 L(cm)铜的切变模量(Nm-2)黄铜丝的切变模量的公认值是3.12X1010Nr-2,要求计算百分差。4、方柱、圆柱的转动惯量测量表五圆柱和方柱用琴钢丝测得的转动惯量(计数为 N=20,计时 t=10T)第 i 次123456空载时间(10T0)(s)平均空载周期 T0(s)爪手

15、转动惯量 10( kgm2)加载方拄时间(10T5)(s)平均周期 Ts(s)爪手加方柱 15( kgm )2方拄(对称轴)转动惯量150/( kgm )加载圆拄时间(10T6)(s)平均周期 T6(S)圆拄(对称轴)转动惯量 160/( kgm2)分别和计算值比较，算出百分差。115、验证平行轴定理和垂直轴定理表六钢丝验证垂直轴定理(计数为 N=20,计时 t=10T)第 i 次i23456空载时间(10To) (s)平均空载周期 To(s)爪手转动惯量 1o( kgm2)圆环水平放置(10Ti) (s)平均周期 Ti(s)2Ii( kgm )Iio(测量)=Ii-Io(kgm2)Iio(计算)(kgm2)圆环垂直放置(iOT2)(s)平均周期 T2(s)212(kgm )12o(测量)=I2-Io(kgm )12o(计算)(kgm2)百分差 P=%表七钢丝验证平行轴定理(计数为 N=20,计时 t=10T)第 i 次i23456空载时间(ioTo) (s)