处理有关恒成立问题基本方法

1、处理有关“恒成立”的思路方法乐山市井研县马踏中学 廖德俊与“恒成立”有关的问题一直是中学数学的重要内容，它是函数，数列，不等式，三角等内容交汇处的一个非常活跃的知识点，特别是导数的引入，成为我 们更广泛更深入的研究函数，不等式的有利工具，更为我们研究恒成立问题提供了 保障。对恒成立问题的考察不仅涉及到函数，不等式等有关的传统知识和方法，而 且考察极限，导数等新增内容的掌握和灵活运用。它常与数学思想方法紧密结合，体现了能力立意的原则。恒成立问题涉及到一次函数，二次函数的性质，图象渗透 和换元，化归，数形结合，函数与方程等思想方法，有利于考察学生的综合解题能 力，培养学生思维的灵活性，创造性，所以

2、是历年高考的热点。一.恒成立问题的基本类型按区间分类可分为：在给定区间某关系的恒成立问题；在全体实数集上 某关系的恒成立问题。二.处理恒成立问题的基本思路处理与恒成立有关的问题大致可分以下两种方法1变量分离思路处理；2利用函数的性质，图象思路处理。若不等式中出现两个变量，其中一个变量的范围已知，另一个的范围为所求, 且容易通过恒等变形将两个变量分别置于不等号的两边， 则可将恒成立问题转化为 函数的最值问题求解。在不等式的恒成立问题中，以下充要条件应细心思考，甄别差异，性质使用1不等式f(x)在区间上恒成立二m一f(x)max,x D或f(x)的上确界(若f(x)在x D勺值域为a,b，则a称为

3、f(x)的上确界，b称为f(x)的下确界)2.不等式m f(x)在区间D上恒成立=mf(x)min,x D或f(x)的下确界注释：1.不等式m一f(x)在区间D上有解=m -f(x)min,x D或f(x)的下确界2.不等式m岂f(x)在区间D上有解=m0时,a兰(x+1)ln(x+1),设g(x) =(x+1)ln(x+1)xx则问题转化为求该函数在开区间(0, +二)的最小值(下确界)，又g? (x) =x“：1)，要想求出g? (x) = 0困难重重，可换元令xh(x)=x-ln(x+1),7 h(x)=1-,x0,故h(x)0,则函数h(x)x + 1在(0,)为增函数，即h(x) h

4、(0)=0，从而g(x)0,则函数g(x)在(0，)也为增函数，故g(x)无最小值.此时，由于g(0)无意义，g(x)的下确界一时也难确定，但运用极限的知识可得g(x)limg(x),然而求此极 限又超出了所学范围，事实上采用洛比达法则可得limg(x)=x二limln(x+1) 1 1,故 x0时,g(x)1,因而 a 乞1。综合(1)(2)知a的取值范围为(-，a -1,1恒成立，即g(a)=-2at+tg(-1)乂0g(1) - 0二t (-,-2a2- 1)x2 (a -1)x “-的定义域为R,a + 1求实数a的取值范围.2解析：该题就转化为被开方数(a2- 1)x2( 1)x-0

5、在Rh 恒成立，注意对二次系数的讨论。 解：依题意，当x R寸，匚a2综上可得,f(x)的定义域为 R 寸,a方法三：直接根据函数图象判断-0,-1,1严t+t2-2t+t2-2 U 0 U2,恒成立0例2:若函数f(x)=彳(a2- 1)x2(a- 1)x20恒成立，a21。当 a2- 1二0时，即当a + 1鼻(a2- 1)x2(a -1)x-a + 12。当 a2a11 = 0时=a=1,此时00 a=1成立a21= 1 a-10a901,9若把等式或不等式进行合理的变形后,能非常容易地画出等式 或不等式两边函数的图象,则可以通过画图直接判断得出结果例：设x (0,4,若不等式Jx(4

6、-x) ax恒成立，求a的取值范围解析：若设x)则其图象为上半圆，设y2=ax为过原点且斜 率为a的直线.在同一坐 标系中作出函数 图象，如下右 依题意，半圆恒 在直线上时，只有a0,即其取值范围为a0恒成立它等价于，求解关于t的不等式组3tt0,A 0即log22a0 =0a12选定主元法例:对满足不等式412aa25的一切实数a,不等式(a-3)x4a-2都成立，求实数的取值范围.解析:按常规理解,要解以x为主元，为a常数的一元一次不等式但 比较烦琐，若选a为主变元，则可利用函数的性质解出(的取 值范围.由.4123a25得:0a5设f(a)=(x-4)a-(3x-2),贝U由题意知,对任

7、意的a (0,5),都有f(a)-( - )x+(2)x+111 +()x, (n工2)1从而可知:a- (n-1),2n nn对于 x(八,1恒成立1 2n_ 1构造函数g(x)=-( - )x+( - )x+ |j +()x, (n - 2)n nn贝贝、可题转化为求该函数在八,1上的值域.由于函数ku(x)=-()(k= 1,2|n- 1),x (八，1上是单调递增的，n1则g(x)在H：,1为单调递增函数，于是g(x)的最大值为g(1)=- -(n-1),4.分类讨论例：若函数f(x)二 Jkx2一6kx(k8)的定义域为R,则的取值范围是()由题意 kx2- 6kx (k 8) _

8、0恒成立(1).若，符合题意(2).若，kx2一6kx(k8 0恒成立k 0 -A 0= k0小二0 k 136k2-4k(k8)空0综上可得： 0 k 1在处理恒成立问题时，并非单一的使用某一种思路方法，而是各种思路方法相互渗透，解决这类问题是各种思路和方法的综合运用，且要求较高难度较大.正所谓万变不离其中,只要我们在平时的学习中把基本思路和方法理解，掌握透彻，一切问题都会迎刃而解.2，利用二次函数的图象性质:若f(x)=ax2+bx+c (a - 0)大于0恒成立 二 若二次函数在给定区间上恒成立则可利用根的分布和韦达定理求解。例1： 函数f(x)是奇函数，且在-1,1单调递增，又f(-1)=-1，若f(x)- t2-2at+1对所有的a -1,1都成立，求t的取值范