排列组合用A还是C的技巧

1、排列组合用 A还是 C的技巧. 解答排列组合问题，首先必须认真审题，明确是属于排列问题还是组合问题，或者 属于排列与组合的混合问题，其次要抓住问题的本质特征，灵活运用基本原理和公 式进行分析，同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。 下面介绍几种常用的解题方 法和策略。 一、合理分类与准确分步法(利用计数原理) 解含有约束条件的排列组合问题， 应按元素性质进行分类， 按事情发生的连 续过程分步，保证每步独立，达到分类标准明确，分步层次清楚，不重不漏。 例 1、五个人排成一排，其中甲不在排头，乙不在排尾，不同的排法有 ( ) A . 120 种 B . 96 种 C . 78 种 D . 72 种

2、分析：由题意可先安排甲，并按其分类讨论： 1)若甲在末尾，剩下四人可 自由排， 有 P(4,4)=24种排法； 2)若甲在第二， 三， 四位上， 贝 V有 C(3,1)*C(3,1)*P(3,3)=54 种排法，由分类计数原理，排法共有 78 种，选 C。 解排列与组合并存的问题时，一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解 答。 例 2、4个不同小球放入编号为 1，2，3，4的四个盒中，恰有一空盒的 方法有多少种 分析： 因恰有一空盒，故必有一盒子放两球。1)选：从四个球中选 2个有 C(4,2) 种，从 4个盒中选 3个盒有 C(4,3)种；2)排：把选出的 2个球看作一个元素与其 余 2球

3、共 3个元素， 对选出的 3盒作全排列有 P(3,3)种， 故所求放法有 C(4,2)*C(4,3)*P(3,3)=144 种。 二、特殊元素与特殊位置优待法 对于有附加条件的排列组合问题，一般采用：先考虑满足特殊的元素和位 置，再考虑其它元素和位置。 例 3、用 0，2, 3, 4, 5,五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中 偶数共有()。 A . 24 个 B 。30 个 C 。40 个 D 。60 个 分析由于该三位数为偶数，故末尾数字必为偶数，又因为 0不能排首位, 故 0就是其中的“特殊”元素，应该优先安排，按 0 排在末尾和 0不排在末尾分两 类：1)0排末尾时，有 P(4,2

4、)=12个，2)0 不排在末尾时，则有 C(2,1)C(3,1)C(3,1)=18 个，由分数计数原理，共有偶数 30 个，选 Bo 例 4、马路上有 8只路灯，为节约用电又不影响正常的照明，可把其中的 三只灯关掉，但不能同时关掉相邻的两只或三只，也不能关掉两端的灯，那么满足 条件的关灯方法共有多少种 分析：表面上看关掉第 1只灯的方法有 6种，关第二只，第三只时需分类 讨论，十分复杂。若从反面入手考虑，每一种关灯的方法对应着一种满足题设条件 的亮灯与关灯的排列，于是问题转化为“在 5 只亮灯的 4个空中插入 3只暗灯”的 问题。故关灯方法种数为 C(4,3)=4 。 三、 插空法、捆绑法 对

5、于某几个元素不相邻的排列问题，可先将其他元素排好，再将不相邻元 素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。 例 5、7人站成一排照相， 若要求甲、乙、丙不相邻，则有多少种不同的 排法 分析：先将其余四人排好有 P(4,4)种排法，再在这人之间及两端的 5 个 “空”中选三个位置让甲乙丙插入，则有 P(5,3)种方法，这样共有 P(4,4)*P(5,3)=1440 种不同排法。 对于局部“小整体”的排列问题，可先将局部元素捆绑在一起看作一个元， 与其余元素一同排列，然后在进行局部排列。 例 6、7人站成一排照相，甲、乙、丙三人相邻，有多少种不同排法 分析： 把甲、 乙、 丙三人看作一个“元”，

6、与其余 4人共 5个元作全排列, 有 P(5,5)种排法，而甲乙、丙、之间又有 P(3,3)种排法，故共有 P(5,5)*P(3,3)=720 种排法。 四、 排除法 对于含有否定字眼的问题，可以从总体中把不符合要求的除去，此时需注 意不能多减，也不能少减。 例如在例 3中，也可用此法解答：五个数字组成三位数的全排列有 C(4,1)P(4,2)=48 个，排好后发现 0不能排首位，而且数字 3，5也不能排末位， 这两种排法要除去，故有 C(4,1)p(4,2)-C(2,1)C(3,1)P(3,1)=30 个偶数。 五、 顺序固定问题用“除法”(对等法) 对于某几个元素顺序一定的排列问题，可先把

7、这几个元素与其他元素一同 排列，然后用总排列数除以这几个元素的全排列数。 例 7、 6 个人排队，甲、乙、丙三人按“甲-乙-丙”顺序排的排队方 法有多少种 分析： 不考虑附加条件，排队方法有 P(6,6)种，而其中甲、乙、丙的 种排法 中只有一种符合条件。故符合条件的排法有 P(6,6)/P(3,3)=120 种。 六、 构造模型“挡板法” 对于较复杂的排列问题，可通过设计另一情景，构造一个隔板模型来解决 问题。 例 8、 方程 a+b+c+d=12有多少组正整数解 分析：建立隔板模型：将 12个完全相同的球排成一列，在它们之间形成的 11 个间隙中任意插入 3块隔板，把球分成 4堆，每一种分

8、法所得 4堆球的各堆球 的数目，对应为 a、b、c、d的一组正整解，故原方程的正整数解的组数共有 C(11,3)=165 。 例 9、把 10本相同的书发给编号为 1、2、3的三个学生阅览室，每个阅览 室分得的书的本数不小于其编号数，试求不同分法的种数 解：先让 2、3号阅览室依次分得 1本书、2本书；再对余下的 7本书进行 分配，保证每个阅览室至少得一本书，这相当于在 7 本相同书之间的 6个“空档” 内插入 2块隔板共有 C(6,2)=15种插法。 又如六个“优秀示范员”的名额分配给四个班级，有多少种不同的分配方法 经过转化后都可用此法解。 七、分排问题“直排法” 把几个元素排成前后若干排

9、的排列问题，若没有其它的特殊要求，可采取 统一排成一排的方法来处理。 例 9、7个人坐两排座位，第一排 3个人，第二排坐 4个人，则不同的坐法有多少 种 分析：7个人可以在前两排随意就坐，再无其它条件，故两排可看作一排 来处理，不同的坐法共有 P(7,7)=5040 种。 八、构造方程或不等式 一场得 0分。一球队打完 15场积 33分，若不考虑顺序，该队胜、负、平情况共有 （） A.3 种 B.4 种 C.5 种 D.6 种 例 10:某赛季足球比赛的记分规则是：胜一场得 3 分；平一场得 1分；负 解析：设该队胜 x 场，平 y场，则负（15-x-y）场，由题意得 3x+y=33 y=33

10、-3x （ 0 x 11 且 x+y 15 ） 因此，有以下三种情况： x=11,y=0 或 x=10,y=3 或 x=9,y=6 故选 A 例 12、把一张 20元面值的人民币换成 1元、2 元或 5元面值的人民币，有 多少种不同的换法 解：设对换成 1元的人民币 x 张，2元的人民币 y张，5元的人民币 z张, 则 x+2y+5z=20 当 z = 0 时，x+2y=20 , x 可以取 0、2、420，有 11种方法。 当 z = 1时，x+2y=15 , x 可以取 1、3、515，有 8种方法。 当 z = 2时，x+2y=10 , x 可以取 0、2、410，有 6种方法。 当 z = 3时，x+2y=5 , x 可以取 1、3、5有 3种方法。 当 z = 4 时，x+2y=0 , x=0 , y=0, 1 种方法。 故共有 11+8+6+3+1=29种方法。 九、枚举法： 有些计数问题由于条件过多， 从排列或组合的角度思考不太方便， 可以尝 试用枚举法，枚举时也要按照一定的思路进行，才能做到不重不漏。 例 11：某寝室 4名同学各写了一张新年贺卡，先集中起来，然后每人从 中取走一张别人写的贺卡，问有多少种