概率论与数理统计第5章课件

1、 1第第5章章 大数定律和中心极限定理大数定律和中心极限定理5.1 大数定律大数定律5.2 中心极限定理中心极限定理 2 概率论与数理统计是研究随机现象统计概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的学科规律性的学科. 随机现象的规律性只有在相随机现象的规律性只有在相同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出同的条件下进行大量重复试验时才会呈现出来来. 也就是说，要从随机现象中去寻求必然也就是说，要从随机现象中去寻求必然的法则，应该研究大量随机现象的法则，应该研究大量随机现象. 3 研究大量的随机现象，常常采用极限研究大量的随机现象，常常采用极限形式，由此导致对极限定理进行研究形式，由此导致对极限定

2、理进行研究. 极极限定理的内容很广泛，其中最重要的有两限定理的内容很广泛，其中最重要的有两种种:与与大数定律大数定律中心极限定理中心极限定理5.1 大数定律大数定律一、依概率收敛的概念一、依概率收敛的概念二、切比雪夫不等式二、切比雪夫不等式三、切比雪夫大数定律三、切比雪夫大数定律四、伯努利大数定律四、伯努利大数定律五、辛钦大数定律五、辛钦大数定律 5定义定义一、依概率收敛的概念一、依概率收敛的概念依概率收敛不是通常微积分中的收敛依概率收敛不是通常微积分中的收敛0的附近的概率的极限为的附近的概率的极限为不稳定在不稳定在它表明它表明aYn1的的附附近近的的概概率率的的极极限限为为稳稳定定在在即即a

3、Yn1|lim aYPnn因此因此 6设随机变量设随机变量 的期望值的期望值 方差方差X,)( XE,)(2 XD则对于任意给定的正数则对于任意给定的正数, 有有.22 XP二、切比雪夫不等式二、切比雪夫不等式注注: (1)切比雪夫不等式也可以写成切比雪夫不等式也可以写成.122 XP(2)切比雪夫不等式表明：切比雪夫不等式表明：则事件则事件 X发生的概率越大，发生的概率越大，即，即，随机变量随机变量X集中在期望附近集中在期望附近的可能性越大的可能性越大.随机变量随机变量X的方差越小，的方差越小， 7(3)在方差已知的情况下，在方差已知的情况下，它的期望的偏差不小于它的期望的偏差不小于 的概率

4、的估计式的概率的估计式.如如取取,3 则有则有切比雪夫不等式给出了切比雪夫不等式给出了X与与,111. 09322 XP故对任给的分布，故对任给的分布，只要期望和方差存在，只要期望和方差存在，则随机变则随机变量量X取值偏离取值偏离 超过超过3倍均方差的概率小于倍均方差的概率小于.111. 0 8，和方差有有限的数学期望设随机变量DXEXX都有则,02|DXEXXP证明:)(xFX的分布函数为设| EXXP|)(EXxxdF|22)()(EXxxdFEXx|22)()(1EXxxdFEXx2DX 9(1),(| )0,;(| )1. |kkkkYkkE YP YE YP Y 设随机变量 的 阶矩

5、存在则对于任意都有：成立定定理 马尔可夫不等理的：式 ：为等价形式()kkE YYP Y特别地，当 为取非负值的随机变量时，则有 10 ,0,YYf x证明：仅就 为连续型时证之 设 的概率密度为则对于任意有 YP Yf x dx | |kkyyf x dx 1|kkyf x dx(| ).kkE Y 11例例1 已知正常男性成人血液中已知正常男性成人血液中, , 每一毫升白细胞每一毫升白细胞数平均是数平均是 7300, 均方差是均方差是 700. 利用切比雪夫不利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在等式估计每毫升白细胞数在 5200 9400 之间的之间的概率概率. .解解 设每毫升白细胞数

6、为设每毫升白细胞数为,X依题意依题意, ,7300 ,70022 所求概率为所求概率为94005200 XP73009400730073005200 XP21002100 XP.2100| XP 12由切比雪夫不等式由切比雪夫不等式22)2100/(12100| XP即每毫升白细胞数在即每毫升白细胞数在 5200 9400 之间的概率不之间的概率不小于小于 8/9. ., 9/89/11 2)2100/700(1 13例例2 在每次试验中在每次试验中, , 事件事件A发生的概率为发生的概率为 0.75,利用切比雪夫不等式求利用切比雪夫不等式求: : 独立试验次数独立试验次数n最小取最小取何值时

7、何值时, ,事件事件A出现的频率在出现的频率在 0.74 0.76 之间的之间的概率至少为概率至少为 0.90?解解 设设X为为n次试验中次试验中, , 事件事件A出现的次数出现的次数, , 则则)75. 0,(nBX,75. 0nEX ,1875. 025. 075. 0nnDX 01. 0|nEXXP 76. 074. 0nXnP 01. 075. 001. 0nnXnP 14在切比雪夫不等式中取在切比雪夫不等式中取,01. 0n 则则76. 0/74. 0 nXP20001. 0/1875. 01nn n/18751 01. 0|nEXXP 2)01. 0/(1nDX 01. 0|nEX

8、XP 76. 074. 0nXnP 依题意依题意, ,取取n使使, 9 . 0/18751 n解得解得,18750)9 . 01/(1875 n即即n取取 18750 时时, , 可以使得在可以使得在n次独立重复试验次独立重复试验中中, ,事件事件A出现的频率在出现的频率在76. 074. 0之间的概率之间的概率至少为至少为 0.90. 15111lim, 0,1121 niiniiniiinEXnXnPcDXcDXEXXXX都都有有则则对对于于任任意意使使得得常常数数且且存存在在都都存存在在和和方方差差数数学学期期望望序序列列为为相相互互独独立立的的随随机机变变量量设设三、切比雪夫大数定律三

9、、切比雪夫大数定律切比雪夫切比雪夫 16证明:niiXnnX11)(设相互独立由于,21nXXX所以niiEXnnXE11)(niiDXnnXD121)(nc由切比雪夫不等式有,0)()(nXEnXP2)(1nXD21nc1n令111lim11niiniinEXnXnP)()(limnXEnXPn1即切比雪夫大数定律 17切比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当切比雪夫大数定律说明：在定理的条件下，当n充充分大时，分大时，n个独立随机变量的平均数这个随机变量个独立随机变量的平均数这个随机变量的离散程度是很小的的离散程度是很小的. .这意味着只要这意味着只要n充分大，尽充分大，尽管管n个随机变量

10、可以各有其分布，但其算术平均以个随机变量可以各有其分布，但其算术平均以后得到的随机变量后得到的随机变量 将比较密地聚集在它将比较密地聚集在它的数学期望的数学期望 的附近，不再为个别随机变的附近，不再为个别随机变量所左右量所左右. .作为切比雪夫大数定律的特例，我们有作为切比雪夫大数定律的特例，我们有下面的推论下面的推论. . niiXn11 niiEXn11 18推论. 证明:定律显然服从切比雪夫大数,21nXXX111lim11niiniinEXnXnP都有即,0niniinEXn1111所以11lim1niinXnP,随机变量序列为相互独立且同分布的设nX都有即,0,2iiDXEX且.,2

11、1服从大数定律则nXXX11lim1niinXnP 19四、伯努利大数定律四、伯努利大数定律切比雪夫大数定律的另一个推论通常称为伯努切比雪夫大数定律的另一个推论通常称为伯努利大数定律利大数定律 n重重伯努利伯努利试验中事件试验中事件A发生发生 n次次, 每次试验每次试验A发生的概率为发生的概率为 p，则对任意，则对任意 0, 有有1lim pnPnn 伯努利大数定律伯努利大数定律表明事件发生的表明事件发生的频率依概率频率依概率收敛于事件的概率收敛于事件的概率。由由实际推断原理实际推断原理,在实际应用在实际应用中中, 当试验次数很大时当试验次数很大时,可以用事件发生的频率来可以用事件发生的频率来

12、代替事件的概率。代替事件的概率。 20,出现的次数试验中事件重为设ABernoullinn都有则,0,pA率为在每次试验中出现的概且1limpnPnn不出现次试验第出现次试验第设AiAiXi01ni,2 , 1niinX1又证明:pEXi)1(ppDXi11lim1pXnPniin都有即,01limpnPnn所以 21进一步研究表明，切比雪夫大数定律推论中的方进一步研究表明，切比雪夫大数定律推论中的方差存在这个条件并不是必要的，下面给出一个独差存在这个条件并不是必要的，下面给出一个独立同分布场合下的立同分布场合下的辛钦辛钦大数定律。大数定律。11lim, 0,1 niininXnPEXX都都有

13、有则则对对于于任任意意且且随随机机变变量量序序列列为为相相互互独独立立且且同同分分布布的的设设 22作业作业P139 练习5.11. 2.5.2 中心极限定理中心极限定理一、莱维一、莱维中心极限定理中心极限定理二、棣莫佛拉普拉斯中心极限定理二、棣莫佛拉普拉斯中心极限定理 24 ( , )ZN12nZXXXn 1nniiZX( , )N 111()()nniiiiniiXE XDX(0,1)N 252(), () (1,2,)nnnnE XD XnnX111()()nnkkkknnkkEXXZDX1121 (1,2,) nnkkkknkkXn()0,()1 (1,2,)nnE ZD ZnnZ(0

14、,1)N111 (1,2,)nXZn1X0 (2,3,),nXn221( )2txedt xnX( )nFxxnZ1121lim( )lim nnkkkknnnnkkXFxPx 26nX12,nXXX(),()kkE XD X(1,2,)k 27林德伯格中心极限定理林德伯格中心极限定理设独立随机变量设独立随机变量123,nXXXX有数学期望和方差有数学期望和方差2,iiiiEXDX记记1111,nniiniininniiiXEXSDXYDX若满足林德伯格条件若满足林德伯格条件 212lim0inniixSinnxfx dxS 则则 limnnP Yxx limnnFx 28分析林德伯格条件分析

15、林德伯格条件 212lim0inniixSinnxfx dxS 设设iinXAS则则iinXP maxS1niiPA1niiP A1niiniP XS 1innixSifx dx 2221inniixSinxf x dxSlimmax0limmax1iiiinnnnXXPPSS 292(),()0 (1,2,)kkE XD XknX111()()nnkkkknnkkXEXZDX( )nFxx221( )2txedt xnX 1 (1,2,)nkkXnnn 1lim( )lim nkknnnnXFxPxn 30证明证明 212liminniixSinnxfx dxS21222limlim0nxn

16、inxnnxfxd xnnxfxd xn 31,0212,kXXX 1 (0 , 1)nkkXnNn212+ (, )nXXXN nn 32例例1设有设有30个电子元件个电子元件,它们的寿命均服从参数为它们的寿命均服从参数为0.1的指数分布的指数分布(单位单位:小时小时),每个元件工作相互每个元件工作相互独立独立,求他们的寿命之和超过求他们的寿命之和超过350小时的概率小时的概率.解解为为寿寿命命之之和和个个元元件件的的寿寿命命为为第第设设TiiTi,30, 2 , 1, 30., 2 , 1),1 . 0( iETi且且 301iiTTiET101 iDT10012 相相互互独独立立显显然然

17、3021,TTTDTETT 由由莱维中心极限定理莱维中心极限定理100301030 T)1 , 0(N 33 350 TP 30003003503000300TP 30003003501 )91. 0(1 1814. 08186. 01 即他们的寿命之和超过即他们的寿命之和超过350小时的概率为小时的概率为0.1814标标准正准正态态分布表分布表他们的寿命之和超过他们的寿命之和超过350小时小时)1 , 0(100301030NT 300030035030003001TP 34 201kkVV2012/1005202012/100520201 VVZkk例例2 一加法器同时收到一加法器同时收到

18、20个噪声电器个噪声电器Vk(k=1,2,20),设它们是相互独立的随机变量，且都在区间设它们是相互独立的随机变量，且都在区间(0,10)上上服从均匀分布。记服从均匀分布。记 求求PV105的近似值的近似值解解E(Vk) = 5 , D(Vk) = 100/12 ( k=1,2,20 ).近似服从正态分布近似服从正态分布N(0,1),由由莱维中心极限定理莱维中心极限定理 35 39. 020)1210(1001VP 39. 020)1210(100VP 2012/1005201052012/100520VP 105 VP)39. 0(1 3483. 0105 VP所所以以3483. 06517

19、. 01 )1 , 0(2012/100520NV 36 1001kkXX例例3 对敌人的防御地段进行对敌人的防御地段进行100次炮击次炮击, 在每次在每次炮击中炮击中, 炮弹命中颗数的数学期望为炮弹命中颗数的数学期望为2, 均方差为均方差为1.5, 求在求在100次炮击中次炮击中,有有180颗到颗到220颗炮弹命中目标的颗炮弹命中目标的概率概率.解解设设Xk为第为第k次炮击炮弹命中的颗数次炮击炮弹命中的颗数(k=1,2,100),在在100次炮击中炮弹命中的总颗数次炮击中炮弹命中的总颗数Xk相互独立，且相互独立，且E(Xk)=2, D(Xk)=1.52 (k=1,2,100)200(1515

20、 . 110021001001 XXkk)1 , 0( N 由由莱维中心极限定理莱维中心极限定理 37 220180 XP1)33. 1(2 有有180颗到颗到220颗炮弹命中目标的概率颗炮弹命中目标的概率)1 , 0()200(151NX 33. 11520033. 1XP19082. 02 8164. 0 1)(2|, ) 1 , 0( xxXPNX 38二、棣莫佛拉普拉斯中心极限定理二、棣莫佛拉普拉斯中心极限定理证明证明由于由于,1 nkknXX则则分布律为分布律为分布的随机变量分布的随机变量一一是相互独立的、服从同是相互独立的、服从同其中其中,)10(,21nXXX. 1, 0,)1(

21、1 ippiXPiik),(pnBXn 39,)(pXEk ), 2 , 1()1()(nkppXDk xpnpnpXPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1(lim1,1 nkknXX分布律为分布律为分布的随机变量分布的随机变量一一是相互独立的、服从同是相互独立的、服从同其中其中,)10(,21nXXX. 1, 0,)1(1 ippiXPiik根据莱维中心极限定理得根据莱维中心极限定理得dtexnnXPtxniin21221lim xtxt).(de2122 40,)(pXEk ), 2 , 1()1()(nkppXDk xpnpnpXPnn)1(lim xpnpnpXPnkkn)1

22、(lim1,1 nkknXX分布律为分布律为分布的随机变量分布的随机变量一一是相互独立的、服从同是相互独立的、服从同其中其中,)10(,21nXXX. 1, 0,)1(1 ippiXPiik根据莱维中心极限定理得根据莱维中心极限定理得 xtxt).(de2122 41 xtxt).(de2122 棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理表明表明:当当n充分大时充分大时, )1 , 0()1(NpnpnpXn xpnpnpXPnn)1(lim)1(,(pnpnpNXn 即即),(pnBXn 42 正态分布是二项分布的极限分布正态分布是二项分布的极限分布, ,当当n充分充分大时大时,

23、, 可以利用下面公式计算二项分布的概率可以利用下面公式计算二项分布的概率)(21mXmPn )1()1()1(21pnpnpmpnpnpXpnpnpmPn )1()1(2pnpnpmpnpnpm ),(pnBXn 43Ox-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8151kkX) 51 , 0 (N) , (2nnN1, 1,kX(1,2,15)k kk151, 0 1522nn 44例例4 某工厂有某工厂有200台同类型的机器台同类型的机器, ,每台机器工作时需每台机器工作时需要的电功率为要的电功率为Q千瓦千瓦, ,由于工艺等原因由于工艺等原因, ,每台机器

24、的实每台机器的实际工作时间只占全部工作的际工作时间只占全部工作的75%,各台机器工作是相互各台机器工作是相互独立的独立的, ,求求: :(1)(1)任一时刻有任一时刻有144至至160台机器正在工作的概率台机器正在工作的概率. .(2)(2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于的概率不少于0.99.解解 ( (1) )设随机变量设随机变量X表示表示200台任一时刻正在工作的机台任一时刻正在工作的机器的台数，器的台数， 则则 X B(200,0.75) .由由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理, 有有n = =200,

25、 ,p = =0.75, ,q = =0.25, ,np = =150, ,npq = =37.5)5 .37,150( NX 45 5 .371501445 .37150160160144 Xp)98. 1()63. 1 ( 1)98. 1()63. 1( 197615. 094845. 0 9246. 0 (1)(1)任一时刻有任一时刻有144至至160台机器正在工作的概率台机器正在工作的概率. .)5 .37,150( NX )(1)(),1 , 0(xxNX 46( (2) )设任一时刻正在工作的机器的台数不超过设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m,则则 99. 00 mXP99.

26、05 .3715005 .37150 m 5 .245 .37150 99. 05 .37150 m 9901. 0)33. 2( 33. 25 .37150 m3 .164 m165 m)5 .37,150( NX 由由3 原则知原则知，0)(3 aa 时时0 查标准正态函数分布表，得查标准正态函数分布表，得 33. 25 .37150 m 47例例4 某工厂有某工厂有200台同类型的机器台同类型的机器, ,每台机器工作时需每台机器工作时需要的电功率为要的电功率为Q千瓦千瓦, ,由于工艺等原因由于工艺等原因, ,每台机器的实每台机器的实际工作时间只占全部工作的际工作时间只占全部工作的75%,

27、各台机器工作是相互各台机器工作是相互独立的独立的, ,求求: :(1)(1)任一时刻有任一时刻有144至至160台机器正在工作的概率台机器正在工作的概率. .(2)(2)需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作需要供应多少电功率可以保证所有机器正常工作的概率不少于的概率不少于0.99.解解 ( (1) )设随机变量设随机变量X表示表示200台任一时刻正在工作的机台任一时刻正在工作的机器的台数，器的台数， 则则 X B(200,0.75) .由由棣莫佛拉普拉斯中心极限定理棣莫佛拉普拉斯中心极限定理, 有有)5 .37,150( NX 48 5 .371501445 .3715016016014

28、4 Xp)98. 1()63. 1 ( 1)98. 1()63. 1( 197615. 094845. 0 9246. 0 (1)(1)任一时刻有任一时刻有144至至160台机器正在工作的概率台机器正在工作的概率. . 49查标准正态函数分布表，得查标准正态函数分布表，得( (2) )设任一时刻正在工作的机器的台数不超过设任一时刻正在工作的机器的台数不超过m,则则 99. 00 mXP99. 05 .3715005 .37150 m 5 .245 .37150 99. 05 .37150 m 9901. 0)33. 2( 33. 25 .37150 m3 .164 m165 m0 50思考题思考题 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人