概率论与数理统计课件(复旦版)课件

1、概率论与数理统计课件(复旦版)3 3 概率的计算概率的计算解：设所求事件为A.310C基本事件总数为111415AC CC所含基本事件数为111415310P AC CCC( ) 故16解：设A表示指定的3人排在一起。373799P AP PP( ) 则3 79! !112例1 从0到9这十个数字中任取三个，问大小在中间的号码恰为5的概率是多少？例2 9个人排成一排，求指定的3人排在一起的概率。概率论与数理统计课件(复旦版)例3 一批产品共有10个，其中有4个废品，求：(1)这批产品的废品率(2)任取3个恰有1个是废品的概率(3)任取3个全非废品的概率解：分别用A、A1、A0表示上述三个事件=

2、0.4=0.5124613102 P AC CC( ) () 41 P A10( ) ( ) 12360310(3)P(A )CC16注：若是有放回地抽取，答案会不同，如30363 P A10( ) () =0.216概率论与数理统计课件(复旦版)例4 两封信随机地投向标号为、的四个邮筒。求第二个邮筒恰好被投入1封信的概率以及前两个邮筒中各有一封信的概率。解：设A表示第二个邮筒中投入一封信。B表示前两个邮筒各有一封信。两封信共有42种可能的投法。1123C CA的不同投法有种B的不同投法有12C种11232P A4C C( ) 故38122P B4C( ) 18概率论与数理统计课件(复旦版)解

3、：分别用A、B、C表示甲、乙、丙抽到难签。有放回时，每人面对的签数是相同的3P AP BP C8( )( )( )3P A8( )不放回时乙抽取时，可能与甲的抽取情况有关，但可将甲与乙的抽取同时考虑，只要乙抽到难签即可3 7P B8 7( )383 7 6P C8 7 6( ) 类似地38例5 (抽签的公正性)设有3个难签，5个易签。甲、乙、丙依次抽取，分别在有放回与不放回的情况下计算各人抽到难签的概率。概率论与数理统计课件(复旦版)例6 设有5个人，每个人以同等机会被分配在7个房间中，求恰好有5个房间中各有一个人的概率。解：设A表示恰有5个房间中各有一个人。每人进入各房间等可能基本事件总数为

4、75个。575人进入的5个房间有种选择，选定房间后5个人还有5!种排列C5755P A7C!( )故36024010 15.概率论与数理统计课件(复旦版)(1)七个数字全不同的事件A1(2)不含1与0的事件A2(3)两个偶数五个奇数的事件A3解：基本事件总数为1071710 9 8 7 6 5 41 P A10( ) () =0.0604872782 P A10( ) ()225737553 P A10C( ) ()=0.20972=0.164例7 从0到9十个数字种任取一个，取后放回，再取。先后共取七个数字。求下述事件的概率。概率论与数理统计课件(复旦版)例8 两人约定于早上8点至9点在校门

5、口见面。要求先到者等20分钟后离去。假定两人到校门的时间相互独立，而且在8至9点间是等可能的。问两人能见面的概率是多少？解：以x与y分别表示两人在8点之后到达校门口的分钟数。则0 x60,0y60两人能见面，即|x-y|20即图中的阴影部分能见面的概率为22260405P A609( )602002060概率论与数理统计课件(复旦版)4 4 概率的加法法则概率的加法法则解：A、B分别表示一、二等品，A+B表示产品合格63P AP B1010( )( )639P AB1010()故 P(A+B)=P(A)+P(B)可以推广为一般的加法法则：若A与B互斥，则 P(A+B)=P(A)+P(B)可以得

6、到一些重要的推广。例1 10件产品中有6个一等品，3个二等品，1个废品。规定一、二等品为合格品。求合格率与一、二等品之间的关系。概率论与数理统计课件(复旦版)(1)如果n个事件A1,A2,An两两互斥，则P(A1+A2+An)=P(A1)+P(A2)+P(An)(2)若A1,A2,An构成一个完备事件组，它们的概率和为P(A1)+P(A2)+P(An)=1特别地，对立事件的概率之和为1。P(A)+P()=1常用形式为P(A)=1-P()BAP BAP BP A(3)若，则()( )()一般有 P(B-A)=P(B)-P(AB)这是因为 B=(B-A)+AB见右图BA概率论与数理统计课件(复旦版

7、)(4)P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)称为广义加法法则A+B=A+(B-A)由于A与B-A互斥故P(A+B)=P(A)+P(B-A)再由(3)得证。可见，只需P(AB)=0加法法则就成立。若是多个事件之和，公式会变复杂。这是因为由图AB概率论与数理统计课件(复旦版)P(A+B+C)=P(A+B)+P(C)-P(A+B)C)=P(A)+P(B)-P(AB)+P(C)-P(AC+BC)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)-P(AC)-P(BC)+P(ABC)其中要注意(AC)(BC)=ABC类似地，可以证明P(A1+A2+A3+A4)=P(A1)+P(A2)+P(A3)+P(A

8、4)-P(A1A2)-P(A1A3)-P(A1A4)-P(A2A3)-P(A2A4)-P(A3A4)+P(A1A2A3)+P(A1A2A4)+P(A1A3A4)+P(A2A3A4)-P(A1A2A3A4)概率论与数理统计课件(复旦版)解：分别用A2与A3表示抽到两个与三个白球。A2与A3互斥2143237P AC CC()183534337P ACC()435由加法法则，所求概率为P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)2235例2 袋中有大小相同的7个球，4个是白球，3个为黑球。从中一次取出3个，求至少有两个是白球的概率。概率论与数理统计课件(复旦版)例3 50个产品中有46个合格品与4个废

9、品，从中一次抽取3个，求其中有废品的概率。解：用Ai表示取到i个废品。A1,A2,A3互斥124461350P AC CC()故P(A1+A2+A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)207980214462350P AC CC()2761960034337P ACC() 419600221980概率论与数理统计课件(复旦版)解：Ai表示有正好有i张相同。i0，2，30313 12 111321 P A13169( ) ()1230AAAA考虑到1230P AAAP A()()01 P A() 3463501CC 221980例4 现有黑桃自A至K的13牌。有放回地抽3次。求(1)三张号码不

10、同的概率。(2)三张中有相同号码的概率。(3)三张中至多有两张同号的概率。概率论与数理统计课件(复旦版)(2)P(A2+A3)=P(A2)+P(A3)233313 1 1213 12 113 12 1P A131313() 而361693313P A13() 116923P AA()故37169230P AAP A()()或01P A() 3716913236169169(3)P(A0+A2)=P(A0)+P(A2)168169023P AAP A()()或1P(A3)168169概率论与数理统计课件(复旦版)例5 甲盒中有2个红球1个白球，乙盒中有2个白球1个红球。从甲盒中取一球放入乙盒，再

11、从乙盒中取一球放入甲盒。求甲盒成分不变的概率。解：甲盒成分不变，包括两种情况从甲盒中取出红球，从乙盒中也取出红球,记为A从甲盒中取出白球，从乙盒中也取出白球,记为BA与B互斥基本事件总数为3412A的基本事件数224B的基本事件数13=3437P(A+B)=P(A)+P(B)=+=121212概率论与数理统计课件(复旦版)解：A表示能被6整除。B表示能被8整除。81 P AB200( ) () 2 P AB1P AB( ) ()() 1 P AP BP AB( )( )() 332581200200200 34例6 从1到200中任取一数。求(1)能被6与8同时整除的概率。(2)不能被6或8整

12、除的概率。概率论与数理统计课件(复旦版)例7 你的班级中是否有人有相同的生日？这一事件的概率有多大？解：设人的生日在一年365天的每一天是等可能的A表示n个人组成的班级中有人生日相同。基本事件总数为365nA的基本事件数不易确定。A365 364 363366n. ()的基本事件数为故 P(A)=1-P()n365 364 363366n1365. () n30当 时，可求出P(A) 0.750当n时，可求出P(A) 0.97概率论与数理统计课件(复旦版)5 5 条件概率与乘法规则条件概率与乘法规则(1)取到废品的概率。(2)已知取到的是不合格品，它是废品的概率。解：(1)取到废品用A表示2P

13、 A0 02100( ).(2)基本事件总数为52P A0 45( ).一般设P(B)0。而P(A)称为无条件概率。例1 有100件产品，其中有5件是不合格品，包括3件次品与2件废品，任取一件，求定义1 在事件B已发生的条件下，事件A发生的概率，称为事件A在给定B下的条件概率，简称为A对B的条件概率，记作P(A|B)概率论与数理统计课件(复旦版)例2 市场上供应的电风扇中，甲厂产品占70，乙厂占30。甲厂产品的合格率是95，乙厂的合格率是80。若用事件A,分别表示甲、乙两厂的产品，B表示产品为合格品，试写出有关事件的概率。解：由题设P(A)=0.7P()=0.3P(B|A)=0.95P(B|)

14、=0.8P B A0 05(|).且有P B A0 2(|).概率论与数理统计课件(复旦版)例3 全年级100名学生中，有男生(事件A)80人，女生20人；来自北京的(事件B)有20人，其中男生12人，女生8人；免修英语(事件C)有40人，其中男生32人，女生8人。试写出P A P B P C P B A P A B P AB P C A P A B P AC( ), ( ), ( ), (|), (|), (), (|), (|), ()解：由题设80P A100( ) 0.820P B100( )=0.2=0.440P C100( ) 12P B A80(|) 0.1512P A B20(

15、|) =0.612P AB100() =0.1232P C A80(|) =0.412P A B80(|) =0.1532P AC100() =0.32概率论与数理统计课件(复旦版)在例3中可以观察到P ABP ABP B AP A BP AP B()()(|), (|)( )( )它是条件概率的计算公式。要求P(A)0,P(B)0关于n个事件A1,A2,An的乘法规则是 P(A1A2An)P(A1)P(A2|A1)P(A3|A1A2)P(An|A1A2An1)定理1 (乘法规则)若P(A)0,则P(AB)=P(A)P(B|A)若P(B)0,则P(AB)=P(B)P(A|B)概率论与数理统计课

16、件(复旦版)解：甲厂生产的合格品，即P(AB)=P(A)P(B|A)=0.70.95 =0.665乙厂生产的合格品，即P(B)=P()P(B|)=0.30.8 =0.24为什么后者不是1-P(AB)?因为AB与B不是对立事件。例4 在例1中求从市场上买一台电风扇是甲厂生产的合格品的概率以及是乙厂生产的合格品的概率。概率论与数理统计课件(复旦版)解：设A、B、C分别表示甲、乙、丙抽到难签。4P A10( )25P ABP A P B A()( ) (|)43109215P ABP A P B A()( ) (|)64109415P ABCP A P B A P C AB()( ) (|) (|)

17、4321098130例5 10个考签中有4个难签，3人参加抽签(不放回)，甲先，乙次，丙最后。求甲抽到难签，甲、乙都抽到难签，甲没抽到难签而乙抽到难签以及甲乙丙都抽到难签的概率。概率论与数理统计课件(复旦版)解：设A表示第一件合格，B表示第二件合格。在不放回时295ABC2100基本事件总数为的基本事件数为C,2952100P ABCC() 故0 902.另一方法P(AB)=P(A)P(B|A)9594100990 902.2295P AB100()放回时=0.9025P ABP A P B A()( ) (|)或9595100100=0.9025例6 设100件产品中有5件不合格，任取两件，求两件均合格的概率，要求分为不放回与放回两种情况计算。概率论与数理统计课件(复旦版)错解：在另9个产品中(含3个废品)取到废品的概率31P93正解：用A表示第一件是废品，B表示第二件是废品已知有一个是废品，即表示至少有一个废品，就是A+B若另一个也是废品，则两个都是废品即AB因(A+B)AB=AB262102P AB1P AB13CC()() 且432P ABP A P B A10915()( ) (|)P