数列裂项求和

1、数列裂项求和详细素材河南省郸城才源高中王保社在数列求和中，裂项求和是数列求和中的重要方法之一，常出现在高考试题中，本人在多年教学中收集到与裂项求和有关的一些题目，现整理出来，供有兴趣者参考.一.裂项求和基本问题1.求和：。2.求和： 3.求和：。 。4.求和：。5.求和：。因为，6.已知，求前项的和.解析：，7.已知数列中,，求数列前n项和。8.在数列中,若 ， 求数列前n项和9.求和：= 若利用组合数性质，则有=10.求数列的前n项和由上式不难得到类比可求得的前n项和11. 在数列中,求前n项和 12.求和解析：因为所以，同理有，所以=+.+=13.求数列的前n项和.解：设 则 14.求和：

2、=+.+解析：=1+=1+-所以=n+-.15.求和：=11！+22！+33！+.+nn！解析：nn！=(n+1)！-n！ =(n+1)！-116.求和:=.+解析：， =1-17. 求和+.+解析：因为=-，所以+.+=-+-+.+-=1-.18. 求和：+.+解析：因为=，所以+.+=+.+=.二裂项求综合题19.已知数列an：1，求它的前n项和.解 an=2(-) Sn=a1+a2+an =2(1-)+(-)+(-)+(-) =2(1-)=.20.数列的前项和 分析：此数列的第项应为（注意不是？），裂项求和时注意项数.解析：此数列的第项，数列的前项和·21.各项都是正数的等比数

3、列满足，当时，证明：.【证明】设等比数列的公比为，则.原式成立.22.已知数列为等差数列，公差，求。，所以。23.设数列的前项和（1） 求首项和通项；（2） 设，证明：.【解析】（1）时，（1）-（2）得：.两边同加上，得，而.数列是首项，且公比的等比数列.则所求数列的通项公式为：.故即原不等式成立.24.在数列中 ，若 设正项数列满足求证：证明：当时不等式显然成立。当时 两式相减得： 则 原式左边= 25.若Sn和Tn分别表示数列an及bn前n项之和，对任意正整数n，an=-2(n+1)，Tn-3Sn=4n. (1)求数列bn的通项公式；(2)在平面直角坐标系内，直线ln的斜率为bn且与曲线

4、y=x2有且仅有一个交点，与y轴交于点Dn，记dn=|Dn+1Dn|-(2n+7)，求dn；(3)若cn= (nN*)，求(c1+c2+cn-n).18.(1)an=-2(n+1)，an是等差数列，a1=-4，Sn=-n2-3n，Tn=3Sn+4n=-3n2-5n，当n=1时，b1=T1=-8;当n2时，bn=Tn-Tn-1=-3n2-5n-3(n-1)2-5(n-1)=-6n-2，而b1符合此式，故bn=-6n-2(nN*).(2)设ln的方程为y=bnx+m，由消去y得：x2-bnx-m=0，直线ln与曲线只有一个交点，=0，即b+4=0，m=-，则Dndn=|Dn+1Dn|-(2n+7)

5、=-（2n+7）=-(2n+7)=6n+5-(2n+7)=4n-2，dn=4n-2(nN*).(3)cn=，c1+c2+c3+c4+cn-n=+-n=1-，(c1+c2+c3+cn-n)=.26.已知二次函数的图像经过坐标原点，其导函数为，数列的前n项和为，点均在函数的图像上。（）、求数列的通项公式；（）、设，是数列的前n项和，求使得对所有都成立的最小正整数m；点评：本小题考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题的能力和推理能力。解：（）设这二次函数f(x)ax2+bx (a0) ,则 f(x)=2ax+b,由于f(x)=6x2,得a=3 , b=2,

6、所以 f(x)3x22x.又因为点均在函数的图像上，所以3n22n.当n2时，anSnSn1（3n22n）6n5.当n1时，a1S13×1226×15，所以，an6n5 （）（）由（）得知，故Tn（1）.因此，要使（1）<（）成立的m,必须且仅须满足，即m10，所以满足要求的最小正整数m为10.27.已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；（3） 记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1

7、.解：（）由已知， ，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（）由（）知（*）=由（*）式得（） 又 又.28.已知点（1，）是函数且）的图象上一点，等比数列的前项和为,数列的首项为，且前项和满足=+（）.（1）求数列和的通项公式；（2）若数列前项和为，问>的最小正整数是多少? . 【解析】（1）, , .又数列成等比数列， ，所以 ；又公比，所以 ； 又, ；数列构成一个首相为1公差为1的等差数列， ， 当， ；()；（2） ； 由得，满足的最小正整数为112.29.已知为数列的前项和，；数列满足：，其前项和为 求数列、的通项公式； 设为数列的前项和，求使不等式对都成立的最大正整数的值

8、.【解题思路】利用与的关系式及等差数列的通项公式可求；求出后，判断的单调性.【解析】，当时，； 当时， 当时，；，是等差数列，设其公差为.则，. ，是单调递增数列.当时，对都成立所求最大正整数的值为.30.设是数列的前项和，.求的通项；设，求数列的前项和.【解析】，时，整理得，数列是以为公差的等差数列，其首项为，；由知，31.已知a1=2，点(an,an+1)在函数f(x)=x2+2x的图象上，其中=1，2，3，（1） 证明数列lg(1+an)是等比数列；（2） 设Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及数列an的通项；（3） 记bn=，求bn数列的前项和Sn，并证明Sn+=1

9、.解：（）由已知， ，两边取对数得，即是公比为2的等比数列.（）由（）知（*）=由（*）式得（） 又 又.32.等差数列各项均为正整数，前项和为，等比数列中，且，是公比为64的等比数列 （1）求与； （2）证明：33.解：设公差为d，由题意易知d0，且dN*，则通项=3 +（n1）d，前n项和。再设公比为q，则通项由可得 又为公比为64的等比数列， 联立、及d0，且dN*可解得q = 8，d = 2通项= 2n + 1 ，nN*通项，nN*（2）由（1）知，nN*，nN*34. 在正项数列中,令.（）若是首项为25,公差为2的等差数列,求；（）若（为正常数）对正整数恒成立,求证为等差数列；（）

10、解：由题意得,所以=（）证:令,则=1所以=（1）,=（2）,（2）（1）,得=,化简得（3）（4）,（4）（3）得 在（3）中令,得,从而为等差数列 35.数列的各项均为正数，为其前项和，对于任意，总有成等差数列.()求数列的通项公式；()设数列的前项和为 ，且，求证:对任意实数（是常数，2.71828）和任意正整数，总有 2；() 正数数列中，.求数列中的最大项. （）解：由已知：对于，总有 成立 （n 2） -得均为正数， （n 2） 数列是公差为1的等差数列 又n=1时， 解得=1.() （）证明：对任意实数和任意正整数n，总有. ()解：由已知 ， 易得 猜想 n2 时，是递减数列.

11、 令当在内为单调递减函数.由.n2 时, 是递减数列.即是递减数列.又 , 数列中的最大项为. 36. 已知数列的首项，前项和为，且、（n 2）分别是直线上的点A、B、C的横坐标，设， 判断数列是否为等比数列，并证明你的结论； 设，证明：解：由题意得 （n2），又，数列是以为首项，以2为公比的等比数列。 则（）由及得， 则 37. 已知函数，为函数的导函数（）若数列满足：，（），求数列的通项；（）若数列满足：，（）.当时，数列是否为等差数列？若是，请求出数列的通项；若不是，请说明理由；.当时， 求证：解：（）， ，即 ， 数列是首项为，公比为的等比数列，即 （）（），当时，假设，则由数学归纳法

12、，得出数列为常数数列，是等差数列，其通项为 （）， 当时，假设，则 由数学归纳法，得出数列 又，即 ， 38.已知函数且任意的、都有 （1）若数列 （2）求的值.解：（1） 而 （2）由题设，有又得上为奇函数. 由得 于是故39.已知数列满足.(1)若数列是以常数首项,公差也为的等差数列,求a1的值;(2)若,求证：对任意都成立；(3)若,求证：对任意都成立.解 (1)由得：即，求得（2）由知，两边同除以，得（3） ，将代入，得； 而， 由知，命题成立.40.设数列的前项和为，。（1）求证：数列为等差数列，并分别求出、的表达式；（2）设数列的前n项和为，求证：；（3）是否存在自然数n,使得？若

13、存在，求出n的值；若不存在,请说明理由。又易知单调递增，故，得(3)由得=13分由，得n=1005,即存在满足条件的自然数n=1005. 41.数列：满足() 设，求证是等比数列；() 求数列的通项公式; （）设,数列的前项和为,求证: 解：()由得，即， 是以为公比的等比数列 () 又即 ，故（）又42. 已知数列中，其前项和满足.令.（）求数列的通项公式；（）若，求证：（）；（）令（），求同时满足下列两个条件的所有的值：对于任意正整数，都有；对于任意的，均存在，使得时，.解：（）由题意知即检验知、时，结论也成立，故.（）由于故.（）（）当时，由（）知：，即条件满足；又，.取等于不超过的最大

14、整数，则当时，.9（）当时，.由（）知存在，当时，故存在，当时，不满足条件. （）当时，.取，若存在，当时，则.矛盾. 故不存在，当时，.不满足条件.综上所述：只有时满足条件，故.43. 已知数列满足（1）求；（2）已知存在实数，使为公差为的等差数列，求的值；（3）记，数列的前项和为，求证：.解：（1），由数列的递推公式得，（2）=数列为公差是的等差数列.由题意，令，得（3）由（2）知，所以此时=， => 44.已知数列,（）求数列的通项公式（）当时,求证:（）若函数满足： 求证：解： (1) ,两边加得: , 是以2为公比, 为首项的等比数列.由两边减得: 是以为公比, 为首项的等比数

15、列.-得: 所以,所求通项为5分(2) 当为偶数时,当为奇数时,又为偶数由(1)知, （3）证明：又 45.已知数集序列1, 3, 5, 7, 9,11, 13, 15, 17, 19,其中第n个集合有n个元素，每一个集合都由连续正奇数组成，并且每一个集合中的最大数与后一个集合最小数是连续奇数，() 求第n个集合中最小数an的表达式； （）求第n个集合中各数之和Sn的表达式； （）令f(n)= ，求证：2解: () 设第n个集合中最小数an , 则第个集合中最小数 , 又第个集合中共有个数, 且依次增加2 , ,即 , , 相加得 ,即得 .又 , . （）由()得 , 从而得 . （）由（）

16、得 , , , 又当2 时, . . 2 .46.已知函数是定义在R上的奇函数，且当x=1时f(x)取最大值1.(1)求出a,b,c的值并写出f(x)的解析式；(2)若x1(0，1)，xn+1=f(xn)，试比较xn+1与xn的大小并加以证明；(3)若，求证.解：(1)的定义域为R，c>0又f(x)为奇函数，f(x)+f(x)=0 b=0 ，又f(1)=1，a=1+c>0，当x>0时， a=2，b=0，c=1， (2)，x1(0，1)，xn+1>0(nN*)又矛盾，xn+1<1 xn+1>xn。(3)0<xk<1， 47.设数列满足，其中（1）证明：对一切，有；（2）证明：证明 （1）在已知关系式中，令，可得；令，可得 令，可得 由得，代入，化简得 （2）由，得，故数列是首项为，公差为2的等差数列，因此于是因为，所以 48.已知数列的前n项和