(优秀教案)算术平均数与几何平均数

1、课题算术平均数与几何平均数（第一课时）授课教师：河北省玉田县林南仓中学数学组金志刚一、教学目标（一） 知识目标1. 重要不等式：若 a, b R,那么 a2+ b22ab（当且仅当 a= b 时取“二”号）.2. 算术平均数，几何平均数及它们的关系.（二） 能力目标1. 通过自学学会并掌握两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数这 个重要定理及其推导.2. 理解这个定理的几何意义，并掌握定理中的不等号取等号的条件是: 当且仅当这两个数相等（三）情感渗透目标通过掌握公式的结构特点，运用公式的适当变形，提高学生分析问题和解决 问题的能力，培养学生的创新精神，进一步加强学生的实践能力二、教学重点1

2、.重要不等式：如果 a、b R,那么 a2+ b2 2ab（当且仅当 a= b 时取“2. 如果 a、b 是正数，则为 a、b 的算术平均数，.ab 是 a、b 的几何平2均数，且有“两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数”.即定理：如果a、b 是正数，那么 U . ab （当且仅当 a= b 时取“二”号）.23. 上面两个公式都带有等号的不等式，其中的“当且仅当”时取“二”号的=、. ab = a= b.综合起来，就是 a=b是-一b= . ab 的充要条件.2三、教学难点1. a2+ b22ab 和- ab 成立的条件不相同，前者只要求 a、b 都是实2数，而后者要求 a、b 都是正

3、数.2. 这两个公式还可以变形用来解决有关问题.2 2ab 0-，abb：=a b0；a= b= a b= O；avb 二 a bv0；一般步骤是：作差-变形一判断差值符号一得出结论；主要用途： 两个实数大小的比较；不等式性质的证明；证明不等式及解不等式.(二) 不等式性质的巩固及应用(投影片 3)课堂上，充分发挥师生的双边活动，共同复习不等式的基本性质，共同归纳， 打出投影片 4,使学生掌握下列不等式的基本性质： 反对称性 a归 bva；传递性ab，bc= ac； (3)可加性 ab= a+ cb+ c；可积性 a b，c0= acbc； ab，cv0= acvbc；(5)力口法法贝Uab，

4、cd= a+ cb+d；乘法法则 ab0，cd0 :acbd； (7)乘方法则 ab0= a bn(n N)； (8)开方法则 a b 0 二糜(n N.(三)为进一步更好地巩固不等式的性质， 在教师引导下让学生做如下练习：已知 a、b 为正实数，m nN 且 mn，求证：am+bmamnbn+anbmn.师 本题考查同学们正确地理解和运用不等式的性质.在运用不等式的性 质时，多观察，多思考，考虑问题一定要全面细致 .请同学们自己完成本题证明 过程.生(a+b) (a b+a b)=(aa b) + (ba b)m nn nm- nn n、=a(ab) +b(ba)=(ab) (ab) n n

5、n 1 1，a0 0，b0 0当ab0 0 时，贝y am_nbm_n，anbn(anbn) (anbn)0当a=b0 0 时，贝U(am_nbmn) (anbn)= 0 0当ba0 0 时，贝Ubm_namn，bnan( a论nbn)(anbn)0 0综上所述，当a、b为正实数，m nN*且mn时，, m-n m-n、n _ nx亠( (a- -b)()(a- -b) ) 0 0mm-即a+ba b+a b下面，我们利用不等式的性质，研究推导本课重要的不等式 .2.学生安自学指导的提示自学本课内容。(5 分钟)3 效果检测：(一)学生自由发言，依据自学指导依次汇报自学成果，教师点拨。A.教师

6、应该点出的内容：在公式一二以及算术平均数与几何平均数的定理的教学中，要让学生注意以下两点：(1)上一:和 成立的条件是不同的：前者只要求都是实数，而后者要求-都是正数。(2)这两个公式都是带有等号的不等式，因此对其中的当且仅当时取=号”这句话的含义要搞清楚。教学时，要提醒学生从以下两个方面来理解这句话的含义：综合起来，其含义就是：；一是B.对于均值不等式还可以有如下证明:/ a，b 为正数 a 0，b0a=当时取等号，其含义就是:仅当一； 时取等号， 其含义就是:=九莎a=b.a b一a b -2、ab （. a - Jb）2ab =2 2 2当 a= b 即.a 二 b 时， 迂二 0,有a

7、-ab.22当 azb 即 i a半、.b 时，匕卫0,有.ab22综上所述，当 a、b 为正数时，有_.ab （当且仅当 a= b 时取2号）C.1.如果把 口 看作是正数 a、b 的等差中项，.ab 看作是正数 a、b 的等2比中项，那么该定理可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项2.在数学中，我们称a b为 a、b 的算术平均数，称 ab 为 a、b 的几何平2均数.本节定理还可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数3.定理：“如果 a、b 是正数，那么 丄卫_ab（当以 a+ b 长的线段为直径作圆，在直径 AB 上取点 C,使 AC= a，CB= b.过点 C

8、作垂直于直径 AB 的弦 DD，连接 AD DB,易证Rt AC MRt DCB,那么C C A-CB即CD、ab.这个圆的半径为 心，显然，它大于或等于 CD 即心 二廊，其中当且2 2仅当点 C 与圆心重合，即 a=b 时，等号成立.（二）学生做效果检测判断题，进一步明确重要不等式的应用条件：“正、定、等。”能够辨析简单的变式。对第四个问题可做如下解释：4413-13（拆分法）f（X）= X （0 ：X _ 1）=（X 一_ 2, x5，当且仅当x= 1时“=”xxx x1号成立，故此函数最小值是 5。当然此题还可用单调性法，提一提即可，不要用太多时间, 可作为研究性问题让学生课下研究。且

9、仅当 a= b 时取“=”号）所示）的一种几何解释（如图24 简单应用 应用 2 找 1 个学生板演，其余出示幻灯片。1.已知 a、b、c 都是正数，求证(a+b) (b+c) (c+a)8abc分析：对于此类题目，选择定理：U ab(a0, b0)灵活变形,2可求得结果答案：Ia, b, c 都是正数a+ b2.：?ab 0b+ c2、be 0c + a2 _ ac 0(a+b) (b+c) (c+a)2 ab2 bc2 ac=8abc即(a+b) (b+c) (c+a)8abc.2.已知 x、y 都是正数，求证：乂仝 2;x y(2)(x+y) (x2+y2) (x3+y3)8x3y3.分

10、析：在运用定理： _、.ab时，注意条件 a、b 均为正数，结合不等式2的性质(把握好每条性质成立的条件)，进行变形答案： x，y 都是正数x0，义 0，x20，y20, x30，y30y x(1)x_2x y= 2 即 H 2. y x y xy x22toox+yA2 .x y0 x3+y32x3y30(x+y) (x2+y2) (x3+y3)A2 .xy2x2y22x3y3= 8旳2233、33即(x+y) (x+y) (x+y)A8xy .3.求证:2”a2b22分析：利用完全平方公式，结合重要不等式: 明本题的关键.答案： a2+ b2 2ab/. 2 (a2+ b2) a2+ b2

11、+ 2ab=( a+ b)2 2 22 (a + b )(a + b)不等式两边同除以 4,得5 引申探究:例题已知：(a+ b) (x + y) 2 (ay+ bx)，求证：x_y.a_b_2 a _ b x _ y师本题结论中，注意与口 互为倒数，它们的积为 1,可利用公a _ b x _ y式 a+ b2 ab，但要注意条件 a、b 为正数.故此题应从已知条件出发，经过变形，说明与口 为正数开始证题.a b x _ y(在教师引导，学生积极参与下完成证题过程)生( a+ b) (x + y) 2 (ay + bx)/. ax + ay+ bx+ by 2ay + 2bxax ay+ by

12、 bx 0( ax bx) ( ay by) 0( a b) (x y ) 0 即 a b 与 x y 同号4 与 U 均为正数a -b x - y.x-y . a-b _2 x-y a-b = ?(当且仅当 匚！ =口 时取“=”号)a-b x_y a-b x-ya_bx_y口 2.a _b xy师生共析我们在运用重要不等式 a2+ b22ab 时，只要求 a、b 为实数就 可以了 .而运用定理：“ 3 _ab”时，必须使 a、b 满足同为正数.本题通过a2+ b22ab,恰当变形，是证b2(芋)2 2ab；两正数 a、b 的算术平均数 （玄空）,几何平均数（%/ab ）及它们的关系（玄竺vab ）.它们成立的条2 2件不同，前者只要