周民强《实变函数》解答第二章lebesgue测度

1、第二章 Lebesgue测度习题选解Ex 1: ift EC Ri,且存在q (0,1),使得对任一区间(a, 6),都有开区间列/：OOOOEn(atb) c (J /n, £< (6 a)g.n=ln=l试证明 m(E) = 0.证明：由条件知m-(En(a,6) < f m(In) < (b - a)q,也就是对任意开区间人有 n=lm*( n /) < q |/|因此对E的任意復盖人有，Ec。人，结合外测度的次可列可加性有，m-(E)< n=lf m*(Enzn)<g* E |Zn|,因此有n=ln=lm*(E) < qm"

2、(E)囚此 = 0,故 mE = 0.Ex 2:设如,42 C Rn,AY C 42Mi是可测集且有m(4i) = m*(A2) < oo,试证明A2是 可测集.证明：由于A是可测集，在Caratheodory条件中取T = 42,有m*(j42)= m*(X2 A A) + Tn*A2 A Aj) = m(Ai) + m*(A2 Ai)由于 m(Ai) = m*(A2)< 00,因此 m*(A2 虫 1) = 0.对任意T C Rn,再次利用41的可测性，并在Caratheodory条件中取T D A2作为试验 集，有m(7TU2)= mTCA2rA1)ma(TCA2riAl)=

3、 m"(TrUi).所以m9T = me(T n4i) + m*(Tn 4；) = m*(TH A2) + m*(Tn)>m-(Tn42) + m-(Tn45)结合自然的关系式m*T< m*(Tn>12)+ m*(TnA5)知m*T = m*(Tn A2) + m*(TA 4$)从而力2是可测集.注意:上面的解法是直接用Caratheodory条件，如果考虑直接用可测集的性质.由m*(A24i) = 0,因此42久 是零测集，结合4】可测即可得到血 的可测性Ex 3：设ABc Rn都是可测集，试证明m(A U 3) + m(A A B) = m(A + m(B).证

4、明:若m(4),m(B)中有一个为oo,则所待证等式显然成立.因此假设m< oo,m(B) < OO.利用的可测性及Caratheodory条件，有m(A U B) = m(A U B) D 4) + m(A U Z?) D Ac) = m(A) + m(B 4),m(B) = m(B Pl 4) + m(B A)y将上述两式相减并移项(注意到m(4) < oo,m(B) < 00)即得 m(A U B) + m(A C B) = m(A + m(B).Ex 4:试问是否存在闭集F,F C M 且F * a,6,而m(F) = 6 a?解：若F是闭集,F C a,5且F

5、*a,b,则(a,b)F*0,即(a,b)F为一个非空开 集，必有m(a,b)F)> 0,又由于m(a, b) = m(F) + m(a, 6 F)因此 m(F) = m(a, b) - m(a, bF)< m(a, b) - m(a, b)F)<b-a.故满足题中要求的闭 集F不存在.Ex&设Ek是0,1中的可测集列，m(Ek) = 1 (上=1,2,.)，试证明证明：由m(Ek) = 1,则m(Ei) = 0(这里余集关于0,1|取)，因此m( U ) < f皿(笛)= k=lk=l0,从而 m( C| Ek) = 1.k=lEx 9:设E Q = 1,2,

6、，上)是0,1中的可测集，且有土 m(EJ > k - 1,试证明i=l2#t=i«=1>o.(这里余集关F o,i取).证明:由知上刀 m(&) VI,也即 E(l m(&) VI,即 £ m(砖)V hi=li=l(0 s f rn(Ef) V 1 ,因此 mi=l / t=lEx 14:试证明点集E可测的充分必要条件是：对任给£ > 0,存在开集Gi,G2：Gi?E,G2",使得 m(GinG2)<e.证明：条件的必要性若E可测，则对任给的£ > 0,存在Gi是开集，E c Gi,且m(Gi

7、E) < e/2;又存在F 是闭集，F u E,且m(E F) < “2,取= Fc,则G2是开集且G2 D仝，且 m(G n G2) = m(G F) < m(G E) + m(E F < e.条件的充分性，这时条件相出于对任给£>0,存在G是开集，且EuG,FJB闭集，且 F u E,而且 m(E F) <e.考虑以=1/札则存在开区间序列Gk及闭区间序列Fk使得，Fk cEcGkym(GkFk) < 1/上，耳g令(7= A Gk,F= U几，则m (G F) < 1/k对任意k郁成立，故m(G F) = 0,考虑 fc=ik=i

8、到FcEcG,卸E可测.Ex 11(6):设 A,BcRn,AUB 是可测集，且 m(4 U B) < 00,若m(A U B) = m*(A) +试证明A,B皆可测.证明：作B的等测包H,即H2B、H可测，由于A(JB可测，因此不妨设HCAUB, 否则取H A (4 U B)作为3的等测包.利用H的可测性，以及Caratheodory条件有m(A UB) = m(A U B)D H) + m*(A UB)D Hc)=mA H) + m(H) = m9(A H) + m*B注意到 m(A UB) = m(4) + m*(B)以及< 00 因此 mA H) = mA)利用H的可测性，以及Caratheodory条件又有m*(A) = mA H) + mA