向量证明重心(精选多篇)

1、向量证明重心(精选多篇)第一篇：向量证明重心向量证明重心三角形abc中，重心为o, ad是be边上的中线，用向量法证明ao=2od(1).ab=12b，ac=12c。ad 是中线则 ab+ac=2ad 即 12b+12c=2ad， ad=6b+6c;bd=6c-6bt od二xad=6xb+6xx。(2).e 是 ac 中点。作 df/be 则 ef=ec/2=ac/4=3c。 平行线分线段成比 od/ad=ef/af 即 (6xb+6xc)/(6b+6c)=3c/9c，x(6b+6c)/(6b+6c)=1/3，3x=1。(3).od=2b+2c, ao=ad-od=4b+4c=2(2b+2c

2、)=2od2设 bc 中点为 m t pa+pb+pc=O. pa+2pm=0. pa=2mp. p 为三角形 abc 的重心。上来步步可逆、p是三角形 abc重心的充要条件是 pa+pb+pc=03如何用向量证明三角形的重心将中线分为2: 1设三角形abc的三条中线分别为ad be、cf，求证ad、be、cf交于一点 o, 且 ao： od=bo： oe=co： of=2: 1证明：用归一法不妨设 ad与 be交于点 o, 向量 ba=a,bc=bJ则ca=ba-bc=a-b因为be是中线，所以be=(a+b)/2,向量bo与向量be共线，故设bo=xbe=(x/2)(a+b)同理设 ao二

3、yad=(y/2)(ab+ac)二y/2(-a+b-a)二-ya+(y/2)b在三角形 abo中，ao=bo-ba所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b因为向量a和b线性无关，所以-y=x/2-1y/2=x/2解得 x=y=2/3所以 aO: ad二bo： be=2： 3故 ao： od=bo： oe=2:1设 ad 与 cf 交于 o'同理有 ao': o' d=co' :o ' f=2:1所以有ao:od=ao' :o '小=注意到o和o'都在ad上，因此o=o'因此有 ao

4、： od=bo： oe=co:of=2:1证毕！4设三角形abc的顶点a,b,c的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2)，(x3,y3)证明：三角形abc的重心(即三条中线的交点)m的坐标(x,y)满足：x=x1+x2+x3/3y=y1+y2+y3/3设:ab的中点为d. dx=(x1+x2)/2，又 m为三角形的重心，二cd=3md,x3-(x1+x2)/2=3=>x=(x1+x2+x3)/3 同理:y=(y1+y2+y3)/35如图。设 ab=a(向量)，ac=b,ad=(a+b)/2,ao=tab=ta/2+tb/2.be=b/2-a.ao=a+sbe=(1-s)a+sb/2.t

5、/2=1-s,t/2=s/2消去 s.t=2/3.ao=(2/3)ab.od=(1/3)ab,ao=2od.如何用向量证明三角形的重心将中线分为2: 1设三角形abc的三条中线分别为ack be、cf，求证ad、be、cf交于一点 o, 且 ao： od=bo： oe=co： of=2: 1证明：用归一法不妨设 ad与 be交于点 o, 向量 ba=a,bc=bJ则ca=ba-bc=a-b因为be是中线，所以be=(a+b)/2,向量bo与向量be共线，故设bo=xbe=(x/2)(a+b)同理设 ao=yad=(y/2)(ab+ac)=y/2(-a+b-a)=-ya+(y/2)b在三角形 a

6、bo 中, ao=bo-ba所以-ya+(y/2)b=(x/2)(a+b)-a=(x/2-1)a+(x/2)b因为向量a和b线性无关，所以-y=x/2-1y/2=x/2解得 x=y=2/3所以 aO: ad二bo： be=2： 3故 ao： od=bo： oe=2:1设 ad 与 cf 交于 o'同理有 ao': o' d=co' :o ' f=2:1所以有ao:od=ao' :o ' 4=注意到o和o'都在ad上，因此o=o'因此有 ao： od=bo： oe=co:of=2:1证毕！第二篇：向量与三角形的重心向量与三角

7、形的重心?例1已知a, b, c是不共线的三点，g是Aabc内一点，若 ga?gb?gc?0 求证：g是Aabc的重心.?证明：如图 1 所示，因为 ga?gb?gc?0 所以 ga?(gb?gc)?以? gb, gc为邻边作平行四边形bgcd，则有gd?gb?gc?所以 gd?ga?又因为在平行四边形bgcd中，bc交gd于点e,所以be?ec, ?ge?e所以 ae是 Aabc 的边 bc 的中线，且 ga?2ge 故g是Aabc的重心.点评：解此题要联系重心的性质和向量加法的意义；把平面几何知识和向量知识结合起来解决问题是解此类问题的常用方法.变式引申：已知 d, e, f分别为zAab

8、c的边bc, ac, ab的中点.求证：?ad?be?cf?0证明：如图2的所示，?ad?ac?cd?2ad?ac?ab?cd?bd 即 2ad?ac?ab ad?ab?bd?同?理 2be?ba?bc 2cf?ca?cb.(请收藏好范文，请便下次访问：)?2a(d?be?c)f?a?c?O?c?f?ad?be?ab?ba?bOc?ca?cb?点评：该例考查了三角形法则和向量的加法.例2如图3所示，zAabc的重心为g, o为坐标原点，?oa?ab?b, oc?c,试用 a, b，c表示 og. 解：设ag交bc于点m,贝S m是bc的中点，?b?aab?ac?bc?c?则,c?a,?1?1?

9、1?am?abb?c?a?(c?b)?(c?b.?2O)22 ?21?aga(c?b?2a)33?1故 og?oa?ag?a?(c?b?2a)?(a?b?c) 33点评：重心问题是三角形的一个重要知识点，充分利用重心性质及向 量加、减运算的几何意义是解决此类题的关键.变式引申：如图4,平行四边形abcd的中心为o,?1?为该平面上任意一点，则 po?(pa?pb?pc?pd) 4 ?po?po?pto?bo po?pc?co证法1：?po?pd?do?p?bppd?4po?pa, ? ?1?即? po?(pa?pb?pc?pd) 4?1?1?证法 2： ?po?(pa?pc) po?(pb?p

10、d),22?1?po?(pa?pb?pc.?p(4点评：（1）证法1运用了向量加法的三角形法则，证法 2运用了向量 加法的平行四边形法则.?农）若 p 与 o 重合，则上式变为 oa?ob?oc?od?0第三篇：三角形重心向量性质的引申及应用三角形重心向量性质的引申及应用新化县第三中学肖雪晖平面向量是高中数学实验教材中新增的一章内容.加入向量，一些传统的中学数学内容和问题就有了新的内涵.在数学教学中引导学生积极探索向量在中学数学中各方面的应用，不仅可深人了解数学教材中 新增内容和传统内容的内部联系，构建合理的数学知识结构，而且有 利于拓展学生的想像力，激发创新活力，显现出向量作为一个工具在 数

11、学中的重要性.下面就向量与三角形的重心关系加以引申和应用.三角形重心向量形式的充要条件：设o为?abc所在平面上一点，o为?abc的重?心?oa?ob?oc?0证明：先证必要性：?如图1以ob,oc为邻边作平行四边形 obdc则 od?ob?oc.?又?oa?ob?oc?0 则 ob?oc?oa 所 以?oa?od,o为ad的中点，且a、o、d共线.又e为od的中点，因此，o是中线ae的三等分点，且oa?2ae 3即o为？abc的重心.再证充分性：设bo、oc与ac、ab分别交于f、g点，则由三角形的中线公式可得，?ae?bf?cg?0?2?2?2?又?为?abc 的重心，得 ao?ae,bo

12、?bf,co?cg333?所以 oa?ob?oc?0引申1若o为?abc内任一点，则有?s?oab.oc?s?obc.oa?s?oac.ob?0?证明： 女口 图 2, 设oa1?1oa,ob1?2ob,oc1?3oc,?且 o 为?abc 的重心，则?1oa?2ob?3oc?0且 s?aob?s?boc?s?ao记,为 s,那么，s?oabs1oa?obsi n? aob1?.?12oa1?ob1s in ?aob2s即s?aob?1?2.同理可得s?obc?s?2?3, s?oac?s?1?3.?所 以 ?1:?2:?3?s?obc:s?oac:s?oab.则 s?oab.oc?s?obc

13、.oa?s?oac.ob?0引申2如图3,已知点g是?abc的重心，过g作直线与ab、ac两边分别交于 m、n ?两点，且 am?xab,an?yac则？3 xy?证明：点 g 是？abc的重心，知 ga?gb?gc?O,?1得?？ ？ag?(ab?ag)?(ac?ag)?O 有 ag?(ab?ac) 3又m、n、g三点共线(a不在直线am上)，于是存在?,?,使得?1?ag?am?且)(?1), 有 ag?xab?yac?(ab?ac) 3?111?3导？于是得1xy?x?y?3?i用引申1、引申2可以解决许 多数学问题，使解题过程简单。例1.设设o为?abc所在平面上一点，角a、b、c所对

14、边长分别为a,b,c则o为?abc?的内心的充要条件为：aoa?bob?coc?0证明：必要性，由o为？abc的内心，得o到?abc三边的距离相等，记为 r,则 s?oab?111111ab?r?cr,s?obc?bc?r?ar,s?oac?ac?r?br, 222222 所以 s?oab:s?obc:s?oac?c:a:b?由 弓 I 申 1 得 s?oab?oc?s?obc?oas?oac?ob?即 aoa?bob?coc?0?充?分性：由 aoa?bob?coc?0 及 s?oab?oc?s?obc?oas?oac?ob?0得 s?oab:s?obc:s?oac?c:a:b设 o 到?a

15、bc 三边的距离分别为 r1,r2,r3,则s?oab?111cr1,s?obc?ar2,s?oac?br3, 222所以 ar1:br2:cr3?a:b:c,可得r1?r2?r3即o为？abc的内心。?以o为?abc的内心的充要条件为：aoa?bob?coc?0例2.已知在?abc中，过重心g的直线交ab于p,交ac于q,设?apq的 面积为si,?a的面积为 s2,且 ap?ppb,aq?qqc则(1) pq?p?q(2) si的取值范围是s2?11appaqq?解析：(1)因为,?由引申 2 得 pqab1?pac1?q 1?p1?q即 1?p1?q11pq?3 推出？1 所以？1,故填

16、 1. pqpqp?q(2)由题可知 s2ab?ac(1?p)(1?q)1?2. s1ap?aqpqpq11?411s94s1pq21?()所以2运用引申1、2,还可以轻松解答下列问 题.?1已知点o为?abc内一点，且存在正数?1,?2,?3使?1oa?2ob?3oc?0设？aob,?aoc的面积分别为s1,s2求s1:s2.?2已知点 p 是?abc内一点，且满足 pa?2pb?3pc?0求?abp与?abc的面积的比.?3已知点 o 在?abc内部且满足 oa?2ob?3oc?(求？abc与凹四边形aboc的 面积的比.第四篇：三角形外心、重心、垂心的向量形式三角形外心、重心、垂心的向量

17、形式已知zAabc, p为平面上的点，则(1) p为外心(2) p为重心(3) p为垂心证明(1)如p为Aabc的外心(图1)，贝卩 pa=pb=pc,(2) 如 p为Aabc的重心，如图2,延长ap至d,使pd二pa,设ad与bc 相交于e点.由重心性质四边形pbdc为平行四边形.bc和pd之中点.心.(3) 如图3, p为Aabc的垂心同理 pa丄ac, 故 p为 Aabc之垂心.由上不难得出这三个结论之间的相互关系： Aabc为正三角形.二Aabc为正三角形，且o为其中心.第五篇：向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍(

18、1)重心中线的交点：重心将中线长度分成2: 1;(2)垂心高线的交点：高线与对应边垂直；(3)内心角平分线的交 点(内切圆的圆心)：角平分线上的任意点到角两边的距离相等；(4)外心一一中垂线的交点(外接圆的圆心)：外心到三角形各顶点的距 离相等。二、四心与向量的结合(1)oa?ob?oc?0?o是？abc 的重心.证法 1:设 o(x,y),a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3)?(x1?x)?(x2?x)?(x3?x)?0?(y1?y)?(y2?y)?(y3?y)?0oa?ob?oc?0?x1?x?y?y1?x2?x33y2?y33?o是?abc的重心.证法2:如图?oa?ob

19、?oc ?oa?2od?0?ao?2od?a> o、d三点共线，且o分ad为2： 1?o是?abc的重心 bdc(2) oa?ob?ob?oc?oc?oa?为？abc 的垂心.证明：如图所示o是三角形abc的垂心，be垂直ac, ad垂直be, d、e是垂足.oa?ob?ob?oc?ob(oa?oc)?ob?ca?0 ?ob?ac同理 oa?bc, oc?ab?o为?abc的垂心(3) 设a,b,c是三角形的三条边长，o是?abc的内心aoa?bob?coc?O?为?abc 的内心.证明：？?abc?abacac方向上的单位向量，分别为ab、cbacb平分?bac,abc?acb?ao?

20、(，令?bca?b?c?ao?bca?b?c(abc acb）化简得（a?b?c）oa?bab?cac?0?aoa?bob?coc?0（4?o为?abc的外心。典型例题：例1： o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点 p 满足op?oa?（ab?ac） ?0,?，则点 p 的轨迹一定通过？abc的（）a. 外心b.内心c.重心d.垂心 分析：如图所示？abc, d、e分别为边be、ac的中点.?ab?ac?2ad?op?oa?2?ad ?op?oa?ap ?ap?2?adbdc?ap/ad?点p的轨迹一定通过?abc的重心，即选c.例2: （03全国理4） o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的 三个点，动点p满足op?oa? ?0,?,则点p的轨迹一定通过?abc的（b）a.外心b.内心c.重心d.垂心分析：？ac方向上的单位向量，分别为ab、?ab?ac 平分?bac,?点 p的轨迹一定通过?abc的内心，即选b.例3： o是平面上一定点，a、b、c是平面上不共线的三个点，动点 p 满足op?oa?ab?ac, ?0,?，则点p的轨迹一定通过?abc的（