定积分在实际问题中的应用

1、第二节定积分在实际问题中的应用Application of Definite Integral教学目的：熟练掌握求解平而图形的而积方法，并能灵活、恰当地选择积分变量;会求平行截 而而积已知的立体的体积，并能求解旋转体的体积;能够解决物理应用中变力作 功、液体压力方面的问题.内 容：立积分几何应用;泄积分在物理中的应用.教学重点：求解平面图形的而积;求旋转体的体积.教学难点：运用泄积分求平而图形的而积和旋转体的体积教学方法：精讲:龙积分的几何应用;多练:用左积分求平而图形的而积和立体的体积教学内容：一、定积分的几何应用1.平而图形的面积设函数y = fl(xy =/；(x)均在区间 0 上上连续

2、，且f2(xxea,b M计算 由y = fM.y= f2W,x = ayx =b 所围成的平而图形的而积.分析求解如下：(1) 如图 63 所示，该图形对应变量才的变化区间为a.b.且所求平而图形的而积 S 对区 间 M，b具有可加性.(2) 在区间内任取一小区间x,x + dx,其所对应的小曲边梯形的面积，可用以厶 为底丿-厶为髙的小矩形的而积(图 63)中阴影部分的而积)近似代替即而积微元为JS=/1(x)-/2(x)Jx(3)所求图形的而积 a *图图 6-3【例【例 1】求曲线 y直线 x = O,x = l 及 y = 0 所用成的平而图形的而积.解解 对应变量 x 的变化区间为0

3、,1,在0,1内任取一小区间x,x+dx,其所对应小窄 条的而积用以dx为底，以fM-g(x) = ex-0 = ex为高的矩形的而积近似代替，即而积 微兀dS = exdx于是所求而积S = J(：% = K|；,=a_l【例【例 2】求曲线 y = x2及 y = 2-F 所用成的平而图形的而积.y =x解由解由.求出交点坐标为(71)和(1,1),积分变量 X 的变化区间为-1,1而 y = 2 _ 厂积微元dS = f(x)-g(x)dx即dS = (2-x2-x2dx=2(1-x2)dx于是所求而积S=f12(1-X2)JXJ I=4 匸(1-十皿8_3若平而图形是由连续曲线 x =

4、仅 y), x = 0( y), (0( y) S 傾 y), y = c, y = 所帀成的淇 面积应如何表达呢？分析求解如下：(1)对应变量 y 的变化区间为且所求而积 S 对区间c,d具有可加性.(2)在，的变化区间c,d内任取一小区间y.y + dy,其所对应的小曲边梯形的而积可用以仅刃-肖(y)为长，以心为宽的矩形而积近似代替,即而积微元为dS=p(刃- 0(y)y于是所求而积s = J：0(y)-p(y)k/y【例 3】求曲线x = y2,线 y =2 所围成的平而图形的而积.X= V*解由解由 解得交点坐标为(-1,1)和(4,2),则对应变量 y 的变化区间为-1,2,y =

5、x_2此时(py)= y +2y(y) =y2，则面积微元dS =(p(y)-y/(y)dy= (y + 2-y2)dy于是所求而积sj 心 J：Q + 2-y2)dy【例 4】求由 y = x2及=工所用成的平而图形的而积. 解为了确立积分变量的变化范【礼首先求交点的坐标.y =牙_ 得交点(0,0),(1,1).y = x方法一选 x 为积分变量，则对应 x 的变化区间为0,1,此时/(x) = x,g(x) = x2而积微元dS= /(X)一g(x)dx= (x 一x2)dx于是S =)dx方法二选 y 为积分变量，对应 y 的变化区间为0,1,此时仅刃=“，久刃=y 则面积微元dS =

6、 (p( y)一y/(yWy= (“ 一y)c/y于是s=J：(V7 _刃心=fvj4I2_j_=326注:由此例可知,积分变咼的选取不是唯一的，但在有些问题中,积分变量选择的不同，求解问题的难易程度也会不同.【例【例 5】求椭圆 4+4=i 的而积.crZr解解 椭圆关于 x 轴,y 轴均对称，故所求而积为第一象限部分的面积的 4 倍，即 S = 4ST；E利用椭圆的参数方程x = acost*y = bsint应用左积分的换元法,dx = -asintdt，且当 x = 0 时J = .x = a时,/ = 0，于是2c o5 = 41 冷 sin/(-“cos/)d/=4ab 2sin2

7、tcltJo.ry 1 COS2/ .=4ab- -dtJo 27T2 =ab02.空间立体的体积由= 4i-lsin2r36-x2-x323(1)平行截而而积为已知的立体的体积设某空间立体垂直于一立轴的各个截而而积已知，则这个立体的体积可用微元法求解. 不失一般性,不妨取左轴为 x 轴,垂直于 x 轴的各个截而而积为关于 x 的连续函数S(x).x的变化区间为a.b.该立体体积 V 对区间“上具有可加性.取 X 为积分变量，在 M0内任取一小区间x,x+心，其所对应的小薄片的体积用底而积为 S(Q,髙为必的柱体的体积近似代替，即体 枳微元为dV = S(x)dx于是所求立体的体积【例【例 6

8、】一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心，并与底而交成角 a ,计算这个平而 截圆柱体所得契形体的体积.解解 取该平而与底而圆的交线为 x 轴建立直角坐标系，则底而圆的方程为x2+ y2=R半圆的方程即为y = y/R2-x在 J 轴的变化区间-R.R内任取一点过A-作垂直于 x 轴的截而,截得一直角三角形, 其底长为 y，髙度为 y tana,故其而积=(7?2-x2)tana于是体积V = RS(x)dxA-tanz(/?2-x2)Jx-R 2RR(2)旋转体的体积类型 1:求由连续曲线 y = /(x),直线 x = b 及兀轴所帀成的曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成立体的体积.过任意一

9、点xea,b作垂直于 x 轴的平而,截面是半径为/(x)的圆，其而积为 S(x)=好 2(0，于是所求旋转体的体积V = js(x)6/x= tan2【例【例 7】求由 y = x2及 x = l,y = 0 所用成的平而图形绕兀轴旋转一周而成立体的体积.解解 积分变量 x 轴的变化区间为0、1,此处/(x) = x2，则体积V=：龙(十)认=町：讥仪=兀?青=彳【例 8连接坐标原点O及点 P(/?,r)的直线，直线x = h及兀轴用成一个直角三角形, 求将它绕 x 轴旋转一周而成的圆锥体的体积.积分变量 x 的变化区间为0,力,此处 y =f(x)为直线 OP 的方程y = -x，于是体h类

10、型 2:求由连续曲线兀=仅刃,直线y= c,y =d及 y 轴所用成的曲边梯形绕 y 轴旋转 一周而成的立体的体积(c -y/y【例 9求由 y = x3,y = 8 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴旋转一周而成的立体的体 积.解解 积分变量 y 的变化区间为0,8.此处x=(p(y) = .于是体积=町:)司 a【例 10】求椭圆 4 + = 1 分别绕 X 轴、y 轴旋转而成椭球体的体积. 解解 若椭圆绕 x 轴旋转，积分变虽 x 的变化区间为-a,a，此处y = f(x) = la2-x2,于是体积a匚/圧可=仝龙|*(a2- x2dx crJ 7.1 3crx-x若椭圆绕 y旋转，

11、积分变量 y的变化区间为-3dxbL=F=-nab2-3上 ， 此处x =(p(y)= -db2-y2，于是b体积此訂：4汕J心吟打:(八冋心= -a2b3二、定积分在物理中的应用1.变力所做的功如果一个物体在恒力F的作用下，沿力F的方向移动距离s，则力F对物体所做的功是W =FS 如果一个物体在变力 F(x)的作用下作直线运动，不妨设其沿 Ox轴运动,那么当物体由 Ox轴上的点 a 移动到点 b 时，变力 F(x)对物体所做的功是多少？我们仍采用微元法，所做的功 W 对区间a,b具有可加性设变力F(x)是连续变化的，分割区间 么切,任取一小区间x,x+dx ,由 F(x)的连续性,物体在“丫

12、这一小段路径上移动时,F(x)的变化很小，可近似看作不变的，则变力F(x)在小段路径上所做的功可近似看作恒力 做功问题,于是得到功的微元为dW = F(x)dx将微元从 d 到积分，得到整个区间上力所做的功W=hF(x)dxJa【例【例 11】将弹簧一段固泄，令一段连一个小球，放在光滑而上，点 0 为小球的平衡位置若 将小球从点0拉到点 M(OM = $),求克服弹性力所做的功.解由物理学知道，弹性力的大小和弹簧伸长或压缩的长度成正比，方向指向平衡位宜 0 即F = -kx其中 k 是比例常数.若把小球从点0(x = 0)拉到点M(x = s)，克服弹性力 F ,所用力f的大小与F相等, 但方

13、向相反，即f=kx，它随小球位巻 x 的变化而变化.在 A-的变化区间0,5上任取一小段X,X +心，则力f所做的功的微元dW = kxdx于是功W=( kxdx = s2Jo 2【例【例 12】 某空气压缩机， 其活塞的面积为 S,在等温压缩的过程中， 活塞由坷处压缩到心 处,求压缩机在这段压缩过程中所消耗的功.解解 由物理学知道，一泄量的气体在等温条件下，压强p与体积 V 的乘积为常数 k,即pV=k由已知，体积 U 是活塞而积 S 与任一点位置兀的乘积，即 V =因此k kp =VSx于是气体作用于活塞上的力F = pS= -S = - Sx x活塞作用力f = -F = -，则力f所做

14、的功的微元 XkdW =dxX于是所求功W= f4-dxJ 勺 X= knx ?2x2【例【例 13】一圆柱形的贮水桶髙为 5 米，底圆半径为 3 米,桶内盛满了水试问要把桶内的水全部吸出需做多少功.解解 取深度 x 为积分变量，则所求功 W 对区间0,习具有可加性应用微元法，在0,习上 任取一小区间x,x+dx，则所对应的小薄层的质量=7tpdx = 9叩dx.将这一薄层水吸出桶外时,需提升的距离近似为因此需做功的近似值,即功的微元为dW= x9兀pdx = 9rrpxdx于是所求功W = f9兀pxdx225将p = 9.Sx05N/m6 79W =98003.46X108J24 液体压力

15、现有而积为 S 的平板，水平置于密度为,深度为力的液体中，则平板一侧所受的压力F = pS = hpS(p为水深为力处的压强值)若将平板垂直放于该液体中，对应不同的液体深度，压强值也不同,那么平板所受压力应 如何求解呢？设平板边缘曲线方程为 y =f(x(a xb)，则所求压力F对区间具有可加性,现用微 元法来求解.在a.b上任取一小区间x.x+dx，其对应的小横条上各点液而深度均近似看成 X，且 液体对它的压力近似看成长为/(X)、宽为况丫的小矩形所受的压力,即压力微元为dF = px-f(x)dx于是所求压力F = fpx- fx)dxJa【例【例 14】有一底而半径为 1 米，髙为 2

16、米的圆柱形贮水桶，里而盛满水求水对桶壁的压力. 解解 积分变量 x 的变化区间为0,2,在英上任取一小区间x.x + dx,髙为 dx 的小圆柱 面所受压力的近似值，即压力微元为dF = px 2兀dx = iTtpxdx于是所求压力为225T将p = 9.8x12 N/m代入F = 4x9.8xl03= 3.92xl04【例 15有一半径 7? = 3 米的圆形溢水洞，试求水位为 3 米时作用在闸板上的压力. 解 如果水位为 3 米，积分变量尤的变化区间为0,/?,在其上任取一小区间xx+dx.所对应的小窄条上所受压力近似值，即压力微元dW = px-lydx=px 2lR2-x2dx=2pxjR2-x2dxF=J()2px)R2-xdx=2/9j J -j V/?2-X2d(R2-X2)o I 2 丿7y、3= -R