高中数学选修排列组合-分类加法计数原理与分步乘法计数原理

1、 学习目标 巩固分类加法计数原理和分步乘法计数原理,并能应用这两个计数原理解决实 际问题. 1.两计数原理的联系分类加法计数原理与分步乘法计数原理,回答的都是有关做一件事的不同方法的种数问题. 2.两计数原理的区别分类加法计数原理针对的是 _问题, 其中各种方法相互独立, 用其中任何一种方法都 可以做完这件事,分类要做到 _;分步乘法计数原理针对的是 _问题, 各个步骤中的方法相互依存,只有各个步骤都完成才算做完这件事,分步要做到步骤 _. 类型一 组数问题例 1用 0,1,2,3,4五个数字,(1可以排成多少个三位数字的电话号码?(2可以排成多少个三位数?(3可以排成多少个能被 2整除的无重

2、复数字的三位数?反思与感悟 对于组数问题,应掌握以下原则:(1明确特殊位置或特殊数字, 是我们采用 “ 分类 ” 还是 “ 分步 ” 的关键. 一般按特殊位置 (末 位或首位 分类, 分类中再按特殊位置 (或特殊元素 优先的策略分步完成; 如果正面分类较多, 可采用间接法求解.(2要注意数字 “ 0” 不能排在两位数字或两位数字以上的数的最高位.跟踪训练 1用数字 2,3组成四位数,且数字 2,3至少都出现一次,这样的四位数共有 _个 (用数字作答 .类型二 抽取 (分配 问题例 23个不同的小球放入 5个不同的盒子,每个盒子至多放一个小球,共有多少种方法?反思与感悟 解决抽取 (分配 问题的

3、方法(1当涉及对象数目不大时,一般选用枚举法、树形图法、框图法或者图表法.(2当涉及对象数目很大时,一般有两种方法: 直接使用分类加法计数原理或分步乘法计 数原理. 一般地, 若抽取是有顺序的就按分步进行; 若是按对象特征抽取的, 则按分类进行. 间接法:去掉限制条件, 计算所有的抽取方法数, 然后减去所有不符合条件的抽取方法数即 可.跟踪训练 2如图所示, 在 A , B 间有四个焊接点, 若焊接点脱落, 则可能导致电路不通. 今 发现 A , B 之间线路不通,则焊接点脱落的不同情况有 _种.类型三 涂色问题 例 3将红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在“田”字形的 4个小方格内,每格涂一种颜色

4、, 相邻两格涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?反思与感悟 涂色问题的四个解答策略涂色问题是考查计数方法的一种常见问题, 由于这类问题常常涉及分类与分步, 所以在高考 题中经常出现, 处理这类问题的关键是要找准分类标准, 求解涂色问题一般是直接利用两个 计数原理求解,常用的方法有:(1按区域的不同以区域为主分步计数,并用分步乘法计数原理计算.(2以颜色为主分类讨论法,适用于 “ 区域、点、线段 ” 问题,用分类加法计数原理计算.(3将空间问题平面化,转化为平面区域的涂色问题.(4对于不相邻的区域,常分为同色和不同色两类,这是常用的分类标准.跟踪训练 3将红、黄、绿、黑

5、 4种不同的颜色分别涂入图中的 5个区域内,要求相邻的两 个区域的颜色都不相同,则有 _种不同的涂色方法.类型四 种植问题例 4从黄瓜、白菜、油菜、扁豆 4种蔬菜品种中选出 3种,分别种在不同土质的三块土地 上,其中黄瓜必须种植,求有多少种不同的种植方法.反思与感悟 按元素性质分类, 按事件发生过程分步是计数问题的基本思想方法, 区分 “ 分 类 ” 与 “ 分步 ” 的关键, 是验证所提供的某一种方法是否完成了这件事情, 分类中的每一种 方法都能完成这件事情, 而分步中的每一种方法不能完成这件事情, 只是向事情的完成迈进 了一步.跟踪训练 4将 3种作物全部种植在如图所示的 5块试验田中,每

6、块种植一种作物,且相邻 的试验田不能种同一种作物,不同的种植方法共有 _种. 1.用 0,1,2,3组成没有重复数字的四位数,其中奇数有 (A . 8个 B . 10个C . 18个 D . 24个2 x 2a +y 2b 1的焦点在 y 轴上,其中 a 1,2,3,4,5, b =1,2,3,4,5,6,7,则满足上述条件的椭圆个数为 (A . 20 B . 24C . 12 D . 113.如图,用 4种不同的颜色涂入图中的矩形 A , B , C , D 中,要求相邻的矩形涂色不同, 则不同的涂法有 _种 . 4. 在一块并排 10垄的田地中,选择 2 B 两种作物,每种作物种植一垄.为

7、有利于作物生长, 要求 A 、 B 两种作物的间隔不小于 6垄, 则不同的选垄方法共有 _种.1. 分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最基本、 也是最重要的原理, 是解答排列、 组合问题,尤其是较复杂的排列、组合问题的基础.2.应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都能把事件独立完成;应用分步乘法计数 原理要求各步均是完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤.3一般是先分类再分步,分类时要设计好标准,设计好分类方案,防止重复和遗漏.4.若正面分类,种类比较多,而问题的反面种类比较少时,则使用间接法会简单一些. 提醒:完成作业 §1.1(二 答案精析 问题导学 2分类 不重不漏 分

8、步 完整 题型探究 例1 解 (1三位数字的电话号码，首位可以是 0，数字也可以重复，每个位置都有 5 种排 法，共有 5×5×553125(种 (2三位数的首位不能为 0， 但可以有重复数字， 首先考虑首位的排法， 除 0 外共有 4 种方法， 第二、三位可以排 0，因此，共有 4×5×5100(种 (3被 2 整除的数即偶数，末位数字可取 0,2,4，因此，可以分两类，一类是末位数字是 0， 则有 4×312(种排法； 一类是末位数字不是 0， 则末位有 2 种排法， 即 2 或 4， 再排首位， 因 0 不能在首位，所以有 3 种排法，十

9、位有 3 种排法，因此有 2×3×318(种排法因而 有 121830(种排法即可以排成 30 个能被 2 整除的无重复数字的三位数 跟踪训练 1 14 解析 因为四位数的每个数位上都有两种可能性， 其中四个数字全是 2 或 3 的情况不合题意， 所以符合题意的四位数有 24214(个 例 2 解 方法一 (以小球为研究对象分三步来完成： 第一步：放第一个小球有 5 种选择； 第二步：放第二个小球有 4 种选择； 第三步：放第三个小球有 3 种选择， 根据分步乘法计数原理得： 共有方法数 N5×4×360. 方法二 (以盒子为研究对象盒子标上序号 1,2

10、,3,4,5； 分成以下 10 类： 第一类：空盒子标号为：(1,2：选法有 3×2×16(种； 第二类：空盒子标号为：(1,3：选法有 3×2×16(种； 第三类：空盒子标号为：(1,4：选法有 3×2×16(种； 分类还有以下几种情况：(1,5，(2,3，(2,4，(2,5，(3,4，(3,5，(4,5，共 10 类，每一类都 有 6 种方法 根据分类加法计数原理得：共有方法数 N66660(种 跟踪训练 2 13 解析 按照焊点脱落的个数进行分类： 第一类：脱落一个焊点，只能是脱落 1 或 4，有 2 种情况； 第二类：脱落两个

11、焊点：有(1,4，(2,3，(1,2，(1,3，(4,2，(4,3共有 6 种情况； 第三类：脱落三个焊点：有(1,2,3，(1,2,4，(1,3,4，(2,3,4共有 4 种情况； 第四类：脱落四个焊点，只有(1,2,3,4一种情况 于是脱落焊点的情况共有 264113(种 例 3 解 如图所示，将 4 个小方格依次编号为 1,2,3,4，第 1 个小方格可以从 5 种颜色中任 取一种颜色涂上，有 5 种不同的涂法. 1 3 2 4 (1当第 2 个、第 3 个小方格涂不同颜色时，有 4×312(种不同的涂法，第 4 个小方格有 3 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有 5

12、15;12×3180(种不同的涂法 (2当第 2 个、第 3 个小方格涂相同颜色时，有 4 种涂法，由于相邻两格不同色，因此，第 4 个小方格也有 4 种不同的涂法，由分步乘法计数原理可知有 5×4×480(种不同的涂法 由分类加法计数原理可得共有 18080260(种不同的涂法 跟踪训练 3 72 解析 给出区域标记号 A，B，C，D，E(如图所示，则 A 区域有 4 种不同的涂色方法，B 区域有 3 种，C 区域有 2 种，D 区域有 2 种但 E 区域的涂色依赖于 B 区域与 D 区域涂的 颜色，如果 B 区域与 D 区域涂的颜色相同，则有 2 种涂色方法；

13、如果 B 区域与 D 区域所涂 的颜色不相同，则只有 1 种涂色方法因此应先分类后分步 (1当 B 与 D 同色时，有 4×3×2×248(种 (2当 B 与 D 不同色时，有 4×3×2×1×124(种 故共有 482472(种不同的涂色方法 例 4 解 方法一 (直接法：若黄瓜种在第一块土地上，则有 3×26(种不同种植方法 同理，黄瓜种在第二块、第三块土地上，均有 3×26(种不同种植方法 故不同的种植方法共有 6×318(种 方法二 (间接法：从 4 种蔬菜中选出 3 种，种在三块地上，有 4×3×224(种，其中不 种黄瓜有 3×2×16(种，故共有不同种植方法 24618(种 跟踪训练 4 42 解析 分别用 a、b、c 代表 3 种作物，先安排第一块田，有 3 种方法，不妨设放入 a，再安 排第二块田，有两种方法 b 或 c，不妨设放入 b，第三块也有 2 种方法 a 或