2017年山东省淄博市淄川一中（上）第二次月考数学（理科）试卷

1、2016-2017学年山东省淄博市淄川一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分每小题只有一个选项符合题意）1设集合A=x|x1|2，B=y|y=2x，x0，2，则AB=（）A0，2B（1，3）C1，3）D（1，4）2若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A1iB1+iC1iD1+i3函数f（x）=的定义域为（）A（0，）B（2，+）C（0，）（2，+）D（0，2，+）4若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件5一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度

2、单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）（）ABCD6函数f（x）=sinx+cosx的图象向右平移（0）个单位长度后，所得的函数图象关于原点对称，则的最小值是（）ABCD7在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A2B1CD8设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（1t），且x时，f（x）=x2，则f（3）+f（的值等于（）ABCD9设四边形ABCD为平行四边形，|=6，|=4，若点M、N满足，则=（）A20B15C9D610定义在R上的函数f（x）满足：f（x）1f（x），f（0）=6，f（x）是f（x）的导函数

3、，则不等式exf（x）ex+5（其中e为自然对数的底数）的解集为（）A（0，+）B（，0）（3，+）C（，0）（1，+）D（3，+）二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是12定积分=13右面的程序框图输出的S的值为14ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若sinB=，cosB=，则a+c的值为15设函数f（x）在R上存在导数f（x），xR，有f（x）+f（x）=x2，在（0，+）上f（x）x，若f（2m）f（m）22m，则实数m的取值范围为三、解答题（本大题共6小题，第1619每小题12分，第20题1

4、3分，第21题14分，共75分）16（12分）已知函数f（x）=sincossin（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间，0上的最小值17（12分）设nN*，数列an的前n项和为Sn，已知Sn+1=Sn+an+2，且a1，a2，a5成等比数列（I）求数列an的通项公式；（II）若数列bn满足=（），求数列bn的前n项和Tn18（12分）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O为EF的中点（）求证：AOBE（）求二面角FAEB的余弦值；（）若BE平面AOC，求a的值19（12分）已知向量，函数（1）

5、若，求cos2x的值；（2）在ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围20（13分）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1=2，S5=30，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=2n1（I）求数列an，bn的通项公式；（II）设cn=lnbn+（1）nlnSn，求数列cn的前n项和Mn21（14分）已知函数f（x）=exx1，g（x）=x2eax（）求f（x）的最小值；（）求g（x）的单调区间；（）当a=1时，对于在（0，1）中的任一个常数m，是否存在正数x0使得f（x0）g（x）成立？如果存在，求出符合条件的一个x0；否则请说明理由2016-2017学年山东省淄

6、博市淄川一中高三（上）第二次月考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分每小题只有一个选项符合题意）1设集合A=x|x1|2，B=y|y=2x，x0，2，则AB=（）A0，2B（1，3）C1，3）D（1，4）【考点】交集及其运算【分析】求出集合A，B的元素，利用集合的基本运算即可得到结论【解答】解：A=x丨丨x1丨2=x丨1x3，B=y丨y=2x，x0，2=y丨1y4，则AB=x丨1y3，故选：C【点评】本题主要考查集合的基本运算，利用条件求出集合A，B是解决本题的关键2若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（）A1iB1+iC1iD1+i【考点

7、】复数代数形式的乘除运算【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可【解答】解： =i，则=i（1i）=1+i，可得z=1i故选：A【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查3函数f（x）=的定义域为（）A（0，）B（2，+）C（0，）（2，+）D（0，2，+）【考点】函数的定义域及其求法【分析】根据函数出来的条件，建立不等式即可求出函数的定义域【解答】解：要使函数有意义，则，即log2x1或log2x1，解得x2或0x，即函数的定义域为（0，）（2，+），故选：C【点评】本题主要考查函数定义域的求法，根据对数函数的性质是解决本题的关键，比较基础4若l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，

8、则“lm”是“l”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【分析】利用直线与平面平行与垂直关系，判断两个命题的充要条件关系即可【解答】解：l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”可能“l”也可能l，反之，“l”一定有“lm”，所以l，m是两条不同的直线，m垂直于平面，则“lm”是“l”的必要而不充分条件故选：B【点评】本题考查空间直线与平面垂直与平行关系的应用，充要条件的判断，基本知识的考查5一个棱锥的三视图如图（尺寸的长度单位为m），则该棱锥的全面积是（单位：m2）（）ABCD【考点】由三视图求面积、体积

9、【分析】由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直的三棱锥，垂直于底面的侧面是一个高为2，底连长也为2的等腰直角三角形，底面与垂直于底面的侧面全等，此两面的面积易求，另两个与底面不垂直的侧面是全等的，可由顶点在底面上的射影作出此两侧面底边的高，将垂足与顶点连接，此线即为侧面三角形的高线，求出侧高与底面的连长，用三角形面积公式求出此两侧面的面积，将四个面的面积加起来即可【解答】解：由三视图可以看出，此几何体是一个侧面与底面垂直且底面与垂直于底面的侧面全等的三棱锥由图中数据知此两面皆为等腰直角三角形，高为2，底面连长为2，故它们的面积皆为=2，由顶点在底面的投影向另两侧面的底边作高，由等面积法

10、可以算出，此二高线的长度长度相等，为，将垂足与顶点连接起来即得此两侧面的斜高，由勾股定理可以算出，此斜高为2，同理可求出侧面底边长为，可求得此两侧面的面积皆为=，故此三棱锥的全面积为2+2+=，故选A【点评】本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查对三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是三棱锥的全面积，做本题时要注意本题中的规律应用，即四个侧面两两相等，注意到这一点，可以大大降低运算量三视图的投影规则是主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等6函数f（x）=sinx+cosx的图

11、象向右平移（0）个单位长度后，所得的函数图象关于原点对称，则的最小值是（）ABCD【考点】函数的图象与图象变化【分析】根据辅助角公式，化简函数得ysin（x+），从而得出平移后的图象对应的函数为y=sin（x+），由平移后的图象关于原点对称，根据正弦函数的图象与性质得到=k（kZ），再取k=0得到P的最小正值【解答】解：y=sinx+cosx=（sinxcos+cosxsin）=sin（x+）将函数的图象向右平移P个单位长度后，得到y=sin（x）+=sin（x+）的图象平移后得到的图象关于坐标原点对称，=k（kZ），可得=k（kZ），取k=0，得到的最小正值为故【点评】本题给出三角函数表达式

12、，已知函数图象右移个单位个图象关于原点对称，求平移的最小长度着重考查了三角恒等变换公式、正弦函数的图象与性质和函数图象平移公式等知识，属于中档题7在平面直角坐标系xOy中，M为不等式组所表示的区域上一动点，则直线OM斜率的最小值为（）A2B1CD【考点】简单线性规划【分析】本题属于线性规划中的延伸题，对于可行域不要求线性目标函数的最值，而是求可行域内的点与原点（0，0）构成的直线的斜率的最小值即可【解答】解：不等式组表示的区域如图，当M取得点A（3，1）时，z直线OM斜率取得最小，最小值为k=故选C【点评】本题利用直线斜率的几何意义，求可行域中的点与原点的斜率本题主要考查了用平面区域二元一次不

13、等式组，以及简单的转化思想和数形结合的思想，属中档题8设定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（1t），且x时，f（x）=x2，则f（3）+f（的值等于（）ABCD【考点】函数的值【分析】利用奇函数的性质和对任意tR都有f（t）=f（1t），即可分别得到f（3）=f（0），再利用x时，f（x）=x2，即可得出答案【解答】解：定义在R上的奇函数y=f（x），满足对任意tR都有f（t）=f（1t），f（3）=f（13）=f（2）=f（2）=f（12）=f（1）=f（11）=f（0），=x时，f（x）=x2，f（0）=0，f（3）+f（=0故选C【点评】熟练掌握函数的奇偶性和

14、对称性是解题的关键9设四边形ABCD为平行四边形，|=6，|=4，若点M、N满足，则=（）A20B15C9D6【考点】平面向量数量积的运算【分析】根据图形得出=+=，=， =（）=2，结合向量结合向量的数量积求解即可【解答】解：四边形ABCD为平行四边形，点M、N满足，根据图形可得： =+=，=，=，=（）=2，2=22，=22，|=6，|=4，=22=123=9故选：C【点评】本题考查了平面向量的运算，数量积的运用，考查了数形结合的思想，关键是向量的分解，表示10定义在R上的函数f（x）满足：f（x）1f（x），f（0）=6，f（x）是f（x）的导函数，则不等式exf（x）ex+5（其中e为

15、自然对数的底数）的解集为（）A（0，+）B（，0）（3，+）C（，0）（1，+）D（3，+）【考点】导数的运算；其他不等式的解法【分析】构造函数g（x）=exf（x）ex，（xR），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解【解答】解：设g（x）=exf（x）ex，（xR），则g（x）=exf（x）+exf（x）ex=exf（x）+f（x）1，f（x）1f（x），f（x）+f（x）10，g（x）0，y=g（x）在定义域上单调递增，exf（x）ex+5，g（x）5，又g（0）=e0f（0）e0=61=5，g（x）g（0），x0，不等式的解集为（0，+）故选：A【点评】本题考查函数单

16、调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键二、填空题（本大题共5个小题，每小题5分，共25分）11若对任意x0，a恒成立，则a的取值范围是a【考点】基本不等式在最值问题中的应用【分析】根据x+2代入中求得的最大值为进而a的范围可得【解答】解：x0，x+2（当且仅当x=1时取等号），=，即的最大值为，故答案为：a【点评】本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用属基础题12定积分=2+4【考点】定积分【分析】=，由此能求出结果【解答】解： =，其中等于x2+y2=4（y0）的面积S=，=2=4，=，=2+4故答案为：2+4【点评】本题考查定积分的求法，是基础

17、题，解题时要认真审题，注意定积分的几何意义的合理运用13右面的程序框图输出的S的值为【考点】程序框图【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，n的值，当n=5时不满足条件n4，退出循环，输出S的值为：【解答】解：模拟执行程序框图，可得n=1，S=0满足条件n4，S=1，n=2满足条件n4，S=，n=3满足条件n4，S=，n=4满足条件n4，S=，n=5不满足条件n4，退出循环，输出S的值为：故答案为：；【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，n的值是解题的关键，属于基础题14ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a，b，c成等比数列，若si

18、nB=，cosB=，则a+c的值为3【考点】余弦定理【分析】由a，b，c成等比数列，可得b2=ac，由sinB=，cosB=，可解得ac=13，再由余弦定理求得a2+c2=37，从而求得（a+c）2的值，即可得解【解答】解：a，b，c成等比数列，b2=ac，sinB=，cosB=，可得=1，解得：ac=13，由余弦定理：b2=a2+c22accosB=ac=a2+c2ac，解得：a2+c2=37（a+c）2=a2+c2+2ac=37+213=63，故解得a+c=3故答案为：3【点评】本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，以及同角三角函数的基本关系、诱导公式的应用，属于中档题15设函数f（x）在

19、R上存在导数f（x），xR，有f（x）+f（x）=x2，在（0，+）上f（x）x，若f（2m）f（m）22m，则实数m的取值范围为（1，+）【考点】利用导数研究函数的单调性；函数的零点与方程根的关系【分析】利用构造法，推出g（x）为奇函数，判断g（x）的单调性，然后推出不等式得到结果【解答】解：f（x）+f（x）=x2，f（x）x2+f（x）=0函数g（x）为奇函数x（0，+）时，g（x）=f（x）x0，故函数g（x）在（0，+）上是减函数，故函数g（x）在（，0）上也是减函数，由f（0）=0，可得g（x）在R上是减函数f（2m）f（m）22m等价于，即g（2m）g（m），2mm，解得m1故答

20、案为：（1，+）【点评】本题考查函数奇偶性、单调性、导数的综合应用，考查分析问题解决问题的能力，难度比较大三、解答题（本大题共6小题，第1619每小题12分，第20题13分，第21题14分，共75分）16（12分）（2015北京）已知函数f（x）=sincossin（）求f（x）的最小正周期；（）求f（x）在区间，0上的最小值【考点】两角和与差的正弦函数；三角函数的周期性及其求法；三角函数的最值【分析】（）运用二倍角公式和两角和的正弦公式，化简f（x），再由正弦函数的周期，即可得到所求；（）由x的范围，可得x+的范围，再由正弦函数的图象和性质，即可求得最小值【解答】解：（）f（x）=sinco

21、ssin=sinx（1cosx）=sinxcos+cosxsin=sin（x+），则f（x）的最小正周期为2；（）由x0，可得x+，即有1，则当x=时，sin（x+）取得最小值1，则有f（x）在区间，0上的最小值为1【点评】本题考查二倍角公式和两角和的正弦公式，同时考查正弦函数的周期和值域，考查运算能力，属于中档题17（12分）（2016广西校级模拟）设nN*，数列an的前n项和为Sn，已知Sn+1=Sn+an+2，且a1，a2，a5成等比数列（I）求数列an的通项公式；（II）若数列bn满足=（），求数列bn的前n项和Tn【考点】数列的求和；数列递推式【分析】（I）利用递推关系、等差数列与等

22、比数列的通项公式即可得出；（II）数列bn满足=（），可得bn=（2n1）2n再利用“错位相减法”与等比数列的前n项和公式即可得出【解答】解：（I）Sn+1=Sn+an+2，an+1an=2，数列an是公差为2的等差数列，a1，a2，a5成等比数列，=a1a5，=a1（a1+8），解得a1=1an=1+2（n1）=2n1（II）数列bn满足=（），bn=（2n1）=（2n1）2n数列bn的前n项和Tn=2+322+523+（2n1）2n，2Tn=22+323+（2n3）2n+（2n1）2n+1，Tn=2+2（22+23+2n）（2n1）2n+1=（2n1）2n+1=6+（32n）2n+1，Tn

23、=6+（2n3）2n+1【点评】本题考查了递推关系、“错位相减法”、等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题18（12分）（2015北京）如图，在四棱锥AEFCB中，AEF为等边三角形，平面AEF平面EFCB，EFBC，BC=4，EF=2a，EBC=FCB=60，O为EF的中点（）求证：AOBE（）求二面角FAEB的余弦值；（）若BE平面AOC，求a的值【考点】二面角的平面角及求法；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质【分析】（）根据线面垂直的性质定理即可证明AOBE（）建立空间坐标系，利用向量法即可求二面角FAEB的余弦值；（）利用线面垂直的性

24、质，结合向量法即可求a的值【解答】证明：（）AEF为等边三角形，O为EF的中点，AOEF，平面AEF平面EFCB，AO平面AEF，AO平面EFCBAOBE（）取BC的中点G，连接OG，EFCB是等腰梯形，OGEF，由（）知AO平面EFCB，OG平面EFCB，OAOG，建立如图的空间坐标系，则OE=a，BG=2，GH=a，（a2），BH=2a，EH=BHtan60=，则E（a，0，0），A（0，0， a），B（2，0），=（a，0， a），=（a2，0），设平面AEB的法向量为=（x，y，z），则，即，令z=1，则x=，y=1，即=（，1，1），平面AEF的法向量为，则cos=即二面角FAEB的

25、余弦值为；（）若BE平面AOC，则BEOC，即=0，=（a2，0），=（2，0），=2（a2）3（a2）2=0，解得a=【点评】本题主要考查空间直线和平面垂直的判定以及二面角的求解，建立坐标系利用向量法是解决空间角的常用方法19（12分）（2015秋临沭县期末）已知向量，函数（1）若，求cos2x的值；（2）在ABC中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且满足，求f（B）的取值范围【考点】平面向量数量积的运算；正弦定理；余弦定理【分析】（1）利用三角恒等变换化简=，从而可得，从而解得；（2）化简可得，从而可得，从而解得【解答】解：（1）=，=；（2）由得，故【点评】本题考查了三角恒等变换、三角

26、函数求值及解三角形，考查了学生的化简运算能力20（13分）（2016秋历下区校级月考）已知等差数列an的前n项和为Sn，且a1=2，S5=30，数列bn的前n项和为Tn，且Tn=2n1（I）求数列an，bn的通项公式；（II）设cn=lnbn+（1）nlnSn，求数列cn的前n项和Mn【考点】数列的求和【分析】（I）利用等差数列的前n项和，求出公差，然后求数列an，利用求和公式，转化求解bn的通项公式；（II）化简cn=lnbn+（1）nlnSn，然后求解数列cn的前n项和Mn【解答】解：（）an是等差数列，an=2n（3分）数列bn的前n项和为Tn，且，b1=1，n2时，（6分）（）（7分）=（n1）ln2+（1）nlnn+ln（n+1）（8分）其中=（1）nln（n+1）（10分）（12分）【点评】本题考查数列求和等差数列和的应用，数列的递推关系式的应用，考查转化思想以及计算能力21（14分）（2014济南二模）已知函数f（x）=exx1，g（x）=x2eax（）求f（x）的最小值；（）求g（x）的单调区间；（）当a=1时，对于在（0，1）中的任一个常数m，是否存在正数x0使得f（x0）g（x）成立？如果存在，求出符合条件的一个x0；否则请说明理由【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值【分析】（）利用导