高三数学二轮复习经典资料圆锥曲线综合应用

1、85 圆锥曲线综合应用一、明确复习目标1掌握椭圆的定义、标准方程和椭圆的简单几何性质，理解椭圆的参数方程 2掌握双曲线的定义、标准方程和双曲线的简单几何性质3掌握抛物线的定义、标准方程和抛物线的简单几何性质 4了解圆锥曲线的初步应用，掌握处理圆锥曲线综合问题的常用方法二建构知识网络解析几何是以数来研究形的学科，就是数形结合的学科；解析法就是通过坐标、方程所反映的数量间的关系和特征，来研究图形的几何性质。圆锥曲线的综合问题包括：解析法的应用，数形结合的思想，与圆锥曲线有关的定值、最值等问题；有圆锥曲线科内综合，还有与代数、三角、几何、向量等学科间的综合。复习中应注意掌握解析几何的常用方法，如求曲

2、线方程的方法、研究位置关系的方法、求范围与最值的方法等，通过问题的解决，进一步培养函数与方程、等价转化、分类讨论等数学思想。三、双基题目练练手1(2005北京)设，“”是“曲线为椭圆”的（ ）A充分非必要条件 B必要非充分条件C充分必要条件 D既非充分又非必要条件2已知双曲线的两个焦点是椭圆的两个顶点，双曲线的两条准线经过椭圆的两个焦点，则此双曲线的方程是 ( )ABCD3(2006江苏)已知两点M（2，0）、N（2，0），点P为坐标平面内的动点，满足0，则动点P（x，y）的轨迹方程为（）（A）（B）（C）（D）4（2006江西）为双曲线的右支上一点,、分别是圆上的点,则的最大值为（）A6B7

3、C8D95(2005山东)设直线关于原点对称的直线为，若与椭圆的交点为A、B，点为椭圆上的动点，则使的面积为的点的个数为_6 直线l过点M（1，1），与椭圆+=1相交于A、B两点，若AB的中点为M，则直线l的方程是_简答：1-BCBD；设左焦点为F1，右焦点为F2，由双曲线定义和三角形边的关系得：，选D； +=1， +=1相减得=·又M为AB中点，x1+x2=2，y1+y2=2直线l的斜率为得直线l的方程为3x+4y7=0四、经典例题做一做【例1】(2006福建) 已知椭圆的左焦点为F，O为坐标原点。（I）求过点O、F，并且与椭圆的左准线相切的圆的方程；（II）设过点F且不与坐标轴垂

4、直的直线交椭圆于A、B两点，线段AB的垂直平分线与轴交于点G，求点G横坐标的取值范围。解：（I）圆过点O、F，圆心M在直线上。设则圆半径xylGABFO由得解得所求圆的方程为（II）设直线AB的方程为代入整理得直线AB过椭圆的左焦点F，方程有两个不等实根。记中点则的垂直平分线NG的方程为令得点G横坐标的取值范围为【例2】(2006天津)如图，以椭圆的中心为圆心，分别以和为半径作大圆和小圆。过椭圆右焦点作垂直于轴的直线交大圆于第一象限内的点连结交小圆于点设直线是小圆的切线（1）证明，并求直线与轴的交点的坐标；（2）设直线交椭圆于、两点，证明（）证明：由题设条件知，故 ，即因此， 解：在中 于是，

5、直线OA的斜率设直线BF的斜率为，则 这时，直线BF与轴的交点为()证明：由（），得直线BF得方程为且 由已知，设、，则它们的坐标满足方程组 由方程组消去，并整理得 由式、和， 由方程组消去，并整理得 由式和， 综上，得到注意到，得 【例3】A、B、C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6 km，C在B正北偏西30°，相距4 km，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B、C两地比A距P地远，因此4 s后，B、C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1 km/s，A若炮击P地，求炮击的方位角解：如下图，以直线BA为x轴，线段BA的中垂线为y轴建立坐标系，则PCyxABD OB

6、（3，0）、A（3，0）、C（5，2）因为|PB|=|PC|，所以点P在线段BC的垂直平分线上因为kBC=，BC中点D（4，），所以直线PD的方程为y=（x+4） 又|PB|PA|=4，故P在以A、B为焦点的双曲线右支上设P（x，y），则双曲线方程为=1（x0） 联立，得x=8，y=5，所以P（8，5）因此kPA=故炮击的方位角为北偏东30° 【例4】 (2006春上海) 学校科技小组在计算机上模拟航天器变轨返回试验 设计方案如图：航天器运行（按顺时针方向）的轨迹方程为，变轨（即航天器运行轨迹由椭圆变为抛物线）后返回的轨迹是以轴为对称轴、 为顶点的抛物线的实线部分，降落点为 观测点同

7、时跟踪航天器（1）求航天器变轨后的运行轨迹所在的曲线方程；（2）试问：当航天器在轴上方时，观测点测得离航天器的距离分别为多少时，应向航天器发出变轨指令？解（1）设曲线方程为， 由题意可知， 曲线方程为 （2）设变轨点为，根据题意可知 得 ， 或（不合题意，舍去） 得 或（不合题意，舍去） 点的坐标为， 答：当观测点测得距离分别为时，应向航天器发出变轨指令【研讨欣赏】（2006重庆）已知一列椭圆，。若椭圆上有一点，使到右准线的距离是与的等差中项，其中、分别是的左、右焦点。（）试证：；（）取，并用表示的面积，试证：且证：（I）由题设及椭圆的几何性质有，故。设，则右准线方程为因此，由题意应满足即解之

8、得：。即，从而对任意（II）设点的坐标为，则由及椭圆方程易知。因，故的面积为，从而。令。由，得两根从而易知函数在内是增函数。而在内是减函数。 现在由题设取则是增数列。又易知。故由前已证，知，且。说明:如果建立Sn与n的函数,讨论单调性比较复杂.五提炼总结以为师1解决圆锥曲线的综合问题应根据曲线的几何特征，熟练运用圆锥曲线的知识将曲线的几何特征转化为数量关系，再结合代数等知识来解。2对于求曲线方程中参数范围或最值问题，应根据题设条件及曲线的几何性质构造参数满足的不等式，通过解不等式求得参数的范围；或建立关于参数的目标函数，转化为函数的值域来解，还有法,几何法,向量法等3 解决圆锥曲线应用问题时，

9、要善于抓住问题的实质，通过建立数学模型，实现应用性问题向数学问题的顺利转化；要注意认真分析数量间的关系，紧扣圆锥曲线概念，充分利用曲线的几何性质，确定正确的问题解决途径，灵活运用解析几何的常用数学方法，求得最终完整的解答四点重视：重视定义在解题中的作用；重视平面几何知识在解题中的简化功能；重视根与系数关系在解题中的作用；重视曲线的几何特征与方程的代数特征的统一注意用好以下数学思想、方法：数形结合思想；方程与函数思想；化归转化思想；分类讨论思想；对称思想；主元与参数思想此外，整体思想、正难则反思想、构造思想等也是解析几何解题中不可缺少的思想方法在复习中必须给予足够的重视，真正发挥其联系知识、简化

10、计算、提高能力中的作用同步练习 85 圆锥曲线综合应用 【选择题】1（2004湖北）已知椭圆+=1的左、右焦点分别为F1、F2，点P在椭圆上，若P、F1、F2是一个直角三角形的三个顶点，则点P到x轴的距离为（）A B3 C D 2(2005湖北)双曲线离心率为2，有一个焦点与抛物线的焦点重合，则mn的值为（）ABCD3（2006辽宁）曲线与曲线的 ()A焦距相等B离心率相等C焦点相同D准线相同4(2006湖北)设过点P（x，y）的直线分别与x轴的正半轴和y轴的正半轴交于A,B两点，点Q与点P关于y轴对称，O为坐标原点，若,且=1,则P点的轨迹方程是（）A 3x2+y2=1 (x>0,y&

11、gt;0) B3x2-y21（x>0, y>0）Cx2-3y2=1(x>0,y>0) D x2+3y2=1(x>0,y>0)【填空题】5(2005江苏卷)点P（-3，1）在椭圆的左准线上，过点P且方向为的光线，经直线反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为_6(2005江西)以下同个关于圆锥曲线的命题中设A、B为两个定点，k为非零常数，则动点P的轨迹为双曲线；设定圆C上一定点A作圆的动点弦AB，O为坐标原点，若则动点P的轨迹为椭圆；方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；双曲线有相同的焦点其中真命题的序号为 （写出所有真命题的序号）简答提示：DAAD；

12、【解答题】7已知椭圆的焦点是F1（1，0）,F2（1，0）,P为椭圆上的一点,且|F1F2|是|PF1|和|PF2|的等差中项。（1）求椭圆方程； （2）若点P在第三象限，且P F1F2=1200，求tanF1PF2。解：(1)由题设2|F1F2|=|PF1|+|PF2|，c=1。2a=4，b=。椭圆方程为。(2)设F1PF2=,则PF2 F1=600,由正弦定理并结合等比定理可得到,化简可得,从而可求得tanF1PF2=。思维点拨：解与P F1F2有关的问题（P为椭圆上的点）常用正弦定理或余弦定理，并且结合|PF1|+|PF2|=2a来求解。8(2005上海文)已知抛物线y2=2px(p&g

13、t;0)的焦点为F，A是抛物线上横坐标为4、且位于轴上方的点，A到抛物线准线的距离等于5过A作AB垂直于轴，垂足为B，OB的中点为M（1）求抛物线方程；（2）过M作MNFA，垂足为N，求点N的坐标；（3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当K(m0)是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系解：（1）抛物线y2=2px的准线为抛物线方程为y2= 4x（2）点A的坐标是（4，4）， 由题意得B（0，4），M（0，2），又F（1，0）， 则FA的方程为y=（x1），MN的方程为解方程组（3）由题意得，圆M的圆心是点（0，2），半径为2当m=4时，直线AK的方程为x=4，此时，直线AK与圆M相离，当

14、m4时，直线AK的方程为 即为圆心M（0，2）到直线AK的距离，令时，直线AK与圆M相离； 当m=1时，直线AK与圆M相切； 当时，直线AK与圆M相交9（2003上海）如下图，某隧道设计为双向四车道，车道总宽22 m，要求通行车辆限高45 m，隧道全长25 km，隧道的拱线近似地看成半个椭圆形状（1）若最大拱高h为6 m，则隧道设计的拱宽l是多少？（2）若最大拱高h不小于6 m，则应如何设计拱高h和拱宽l，才能使半个椭圆形隧道的土方工程量最小？（半个椭圆的面积公式为S=lh，柱体体积为底面积乘以高本题结果均精确到01 m）22l4.5h(单位 m):（1）解：如下图建立直角坐标系，则点P（11

15、，45），椭圆方程为+=1将b=h=6与点P坐标代入椭圆方程，得a=，此时l=2a=333因此隧道的拱宽约为333 m（2）解法一：由椭圆方程+=1，得+=1因为+，即ab99，且l=2a，h=b，所以S=lh=当S取最小值时，有=，得a=11，b=此时l=2a=22311，h=b64故当拱高约为64 m、拱宽约为311 m时，土方工程量最小解法二：由椭圆方程+=1，得+=1于是b2=·a2b2=（a2121+242）（2+242）=81×121，即ab99，当S取最小值时，有a2121=得a=11，b=，以下同解法一10 (2006四川)已知两定点满足条件的点P的轨迹是曲

16、线E，直线ykx1与曲线E交于A、B两点 如果且曲线E上存在点C，使求 解：由双曲线的定义可知，曲线是以为焦点的双曲线的左支，且，易知yACBOx 故曲线的方程为 设，由题意建立方程组 消去，得又已知直线与双曲线左支交于两点，有 解得又 依题意得 整理后得 或 但 故直线的方程为设，由已知，得，又，点将点的坐标代入曲线的方程，得 得，但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，点的坐标为到的距离为 的面积【探索题】（2002春全国）已知某椭圆的焦点是F1（4，0）、F2（4，0），过点F2，并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且F1BF2B10椭圆上不同的两点A（x1，y1）、C（x2，y

17、2）满足条件：F2A、F2B、F2C成等差数列（1）求该椭圆的方程；（2）求弦AC中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为ykxm，求m的取值范围y xFF12ABBC'O（1）解：由椭圆定义及条件知2aF1BF2B10，得a5又c4，所以b3故椭圆方程为1（2）解：由点B（4，yB）在椭圆上，得F2ByB方法一：因为椭圆右准线方程为x，离心率为根据椭圆定义，有F2A（x1），F2C（x2）由F2A、F2B、F2C成等差数列，得（x1）（x2）2×由此得出x1x28设弦AC的中点为P（x0，y0），则x04方法二：由F2A、F2B、F2C成等差数列，得2×， 由A（x1，y1）在椭圆1上，得y12（25x12），所以=（254x1） 同理可得（254x2） 将代入式，得（254x1）（254x2）所以x1x28设弦AC的中点为P（x0，y0），则x04（3）解法一：由A（x1，y1），C（x2，y2）在椭圆上，得9x1225y129×25， 9x2225y229×25 由得9（x12x22）25（y12y22）0，即9（）25（）（）0（x1x2）将x0=4，y0，（k0）代